圆的弦长的计算公式

圆的弦长公式

知识梳理

一、直线与圆的位置关系 1．几何判定法：

设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离： (1)d >r ⇔圆与直线相离； (2)d ＝r ⇔圆与直线相切； (3)d

由⎩

⎨⎧=-+-=++2

22)()(0r b y a x C By Ax 消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则 (1)Δ>0⇔直线与圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与圆相切； (3)Δ<0⇔直线与圆相离． 二、圆的切线问题 1.切线方程

（1）圆()()2

2

2x a y b r -+-=上一点()00,P x y 处的切线方程为()()()()2

00x a x a y b y b r --+--=

（2）圆22

0x y Dx Ey F ++++=上一点()00,P x y 处的切线方程为00

00022

x x y y x x y y D

E F ++++++= 2.切线长公式

过圆外一点()00,P x y 引圆的切线，设点为T ,则切线长MT =

MT =

三、弦长问题 1.几何法

直线l 与圆C 交于,A B 两点，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆的半径r ，d 与弦长AB 的一半

构成直角三角形的三边，即2

22

2AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

，故求出2AB 后再求AB ． 2.代数法——弦长公式

设圆()()2

2

2x a y b r -+-=，直线l ：y kx b =+，则l 被圆截得的弦长()

2

12L x x =+或()

122

L y y =-

典型例题

例1：已知圆C ：x 2＋(y －1)2

＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.

(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；

(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝17时，求m 的值．

解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．(1)问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，(2)问可利用弦长公式求解．

答案：(1)解法一：由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 2

＋y －12

＝5

mx －y ＋1－m ＝0，消去y 整理，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2

－5＝0.

∵Δ＝(－2m 2)2

－4(m 2

＋1)(m 2

－5)＝16m 2

＋20>0，对一切m ∈R 成立，∴直线l 与圆C 总有两个

不同交点．

解法二：由已知l ：y －1＝m (x －1)， 故直线恒过定点P (1,1)． ∵12＋(1－1)2

<5，∴P (1,1)在圆C 内． ∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点．

(2)解法一：圆半径r ＝5， 圆心(0,1)到直线l 的距离为d ，

d ＝

r 2－⎝

⎛⎭⎪⎫|AB |22＝32

.

由点到直线的距离公式，得

|－m |

m 2＋－1

2

＝3

2

， 解得m ＝± 3.

解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝

(1＋k 2)

⎣

⎢⎡⎦⎥⎤100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ∴m ＝± 3.

练习1：直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2

＋y 2

＝25相交，截得的弦长为45，求l 的方程．

答案：解法一：设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)且与圆C 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，

⎩

⎪⎨⎪⎧

y －5＝k x －5x 2

＋y 2

＝25消去y ，

得(k 2

＋1)x 2

＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0.

∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2

＋1)·25k (k －2)>0. 解得k >0.

x 1＋x 2＝－10k 1－k k 2

＋1，x 1x 2＝25k k －2

k 2＋1. 由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)． ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2

＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝

(1＋k 2

)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 2(1－k )2(k 2＋1)2

－4·25k (k －2)k 2＋1

＝4 5.两边平方，整理得：2k 2

－5k ＋2＝0.

解得：k ＝1

2

，或k ＝2.

故直线l 的方程为：x －2y ＋5＝0，或2x －y －5＝0.

解法二：如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半，

在Rt △AHO 中，|OA |＝5，|AH |＝12|AB |＝1

2

×45＝25，

∴|OH |＝|OA |2－|AH |2

＝ 5. ∴|51－k |k 2

＋1＝ 5.解得：k ＝12或k ＝2. ∴直线l 的方程为：x －2y ＋5＝0，或2x －y －

练习2：求直线:360l x y +-=被圆2

2

:240C x y y +--=解得的弦长 答案： 解法一：圆2

2

:240C x y y +--=可化为()2

215x y +-=

∴圆心()0,1C ,半径5r =

点C 到直线l 的距离为22

301610

2

31d ⨯+-=

=

+ ∴

()

2

2

2210

10

5

2

22AB

r d ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭

∴10AB = 解法二：联立直线l 与圆C 的方程22

360

240

x y x y y +-=⎧⎨+--=⎩ 消去y 得：2

320x x -+=

设两交点,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y 由韦达定理有12123,2x x x x +== ∴弦长()

2

21334210AB =+--⨯=例2：已知圆C 1：x 2

＋y 2

＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2

＋y 2

－4x ＋2y －11＝0.求两圆的公共弦所在的直