第八章方差分析
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X 第八章 方差分析
教 学 目 的
一、理解
方差分析的基本原理。 二、掌握
1、完全随机设计的方差分析方法；
2、随机区组设计的方差分析方法；
3、多组方差齐性检验的方法。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的功能
我们学习了单样本、双样本的平均数差异的显著性检验。如果我们有四个样本资料，要检验四个总体平均数是否有显著性差异，仍用双样本方法（Z 或t ）进行检验，其效率很低，要进行：
次检验！
！！
6)24(2424
==
-⨯C
方差分析的功能就在于方差分析能够利用多个样本资料，对多个总体平均数差异的显著性进行概括、快速检验。 二、方差分析的逻辑原理
假如某次测试获得如下三组数据： 测试数据：
A B C n =5 10 15 10 12 20 12 K =3
14
17
6
11 8 10 12t X =
8 15 12 X
11
15
10
注：n 为样本容量、K 为组数、X 为小组平均数、t X 为总平均数。
总变异可分解为两部分：
1、一个数据与总平均数的离差可以分解为该数据与本组平均数的差和本组平均数与总平均数的差两部分。
)()()(t t X X X X X X -+-=-
2、一个小组n 个数据与总平均数t X 的离差平方和
()()[]
222222
2)()()(0
)()())((2)()(t t t t t t X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X -∑+-∑=-∑∴=-=∑-∑+--∑+-∑=-+-∑=-∑
K 组的离差平方和
w
b t n t b t t t t SS SS SS X X SS X X SS X X SS X X X X X X +=-∑∑=-∑∑=-∑∑=-∑∑+-∑∑=-∑∑2
2
2
2
22)
()()
()()()(组内平方和：组间平方和：总平方和：
当组间平方和远远大于组内平方和时，则变异主要是由分组（或实验处理）造成，则几个总体平均数差异显著。反之，则几个总体平均数差异不显著。在实际检验时，用组间方差与组内方差的F 比值作为检验统计量。 三、方差分析的基本过程
算其值
、选择检验统计量并计不相等。
至少有一对总体平均数、提出假设：：：2113210H H
μμμ==
※两个条件：总体为正态分布、多个总体方差为齐性，用F 检验。 （1）求平方和（常用原始数据计算）
n X X n n X n X x x
2
222
22
）（－＝∑∑→⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑-∑=σσ ）
（）
（）
（3.82.81.82
222
2
2
)()()()(kn
X n X SS n
X X SS n k X X SS b W t ∑∑-
∑∑=∑∑
-∑∑=⋅∑∑-
∑∑=∴
（2）确定自由度
)
(K K)(N N d 1
K d K N 1)K(n 1n n d ft
fb 21fw 11-+-=-=-=-=-=-+-=总自由度：组间自由度：组内自由度：）（ )1(
※总自由度可分解为：组间自由度与组内自由度两部分。 （3）计算方差
）
（：）（：）（：总方差组内方差组间方差6.85.84.8t
t t
W
W W b b
b df SS MS df SS MS df SS MS =
=
= （4）求F 比值
）（7.8w
b MS MS F =
3、统计决断
根据d fb 、d fw 及α查临界值,并进行决断。
四、方差分析中的几个概念
1、因素：实验中的自变量称为因素（单、多）。
2、水平：某一因素内的不同情况称为水平。
3、处理：水平或水平的不同组合。2×3实验设计举例。
主要学习单因素设计的方差分析。
第二节
完全随机设计的方差分析
完全随机设计：随机抽样、随机分组、随机安排处理。各样本间为独立样本。 一、各组n 相等的情况
【例题1】：从某年级随机抽取9名学生，并随机分为三组，分别施以A 、B 、C 三中教学方法，一学期后测试结果如下表8.1，问三种教学方法的效果是否有显著性差异？
表8.1 三种教学方法效果表
组
序号
A B C 1 76 78 86 2 73 81 84 3 70 81 85
n
3 3 3 ∑n =nk =9 ∑X 219 240 255 ∑∑X =71
4 ∑X 2
16005 19206 21677 ∑∑X 2=56888
n
X 2
)(∑ 15987
19200
21675
56862)(2
=∑∑n
X
检验：
值
、计算不相等。
至少有一对总体平均数、提出假设：：：F H H C
B A 2110μμμ== （1）求平方和
244
26218265686256888218
3
3714
5686222
2
22)()()(=+-⨯-=+===∑∑-∑∑===⋅∑∑-∑∑=w b t w b SS SS SS n
X X SS n k X n X SS
（2）确定自由度