2014湖北高考数学压轴题

八、白天不懂夜的黑，今年湖北有点水

湖北的6道大题分别是17三角、18数列、19立几、20概率、21解几、22比数大小. 湖北压轴题是22比数大小，考初等函数的函数图象，这里就不比较了.下面对其余题分别解析. 45、[湖北17]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间(单位：h)的变化近似满足函数关系：

f t 10t t 12

12

()sin

π

π

=-- （t 024[,)∈）

⑴求实验室这一天的最大温差；

⑵若要求实验室温度不高于o 11C ，则哪段时间实验室需要降温？ [解析] ⑴求实验室这一天的最大温差

1

f t 10t t 102t t 12

12

12212

()sin

sin )π

π

ππ

=--=-+ 102t 3

12

sin(

)π

π

=-+

因为t 113

12

sin(

)[,]π

π

+

∈-，故其最大温差为4.

⑵若要求实验室温度不高于o 11C ，则哪段时间实验室需要降温？ 若：f t 102t 113

12

()sin(

)π

π

=-+

>，则：2t 13

12

sin(

)π

π

-+

>

即：1t 3122sin()ππ+<-，即：t 263126ππππ

ππ+<+

<- 即：3t 26

12

6π

π

πππ-

<

<-

，即：59t 6126

πππ

<<

即：10t 18<<

答案：⑴ 4； ⑵ 10t 18<<.

46、[湖北18]已知等差数列{}n a 满足：1a 2=，且1a ，2a ，5a 成等比数列.

⑴求数列{}n a 的通项公式.

⑵记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60n 800>+? 若存在，求

n 的最小值；若不存在，说明理由.

[解析] ⑴ 求数列{}n a 的通项公式

设等差数列{}n a 的通项公式为：n 1a a n 1d ()=+-，则：n a 2n 1d ()=+- ① 若1a ，2a ，5a 成等比数列，则：2215a a a =，即：2111a d a a 4d ()()+=+ 即：22d 224d 412d ()()()+=+=+ ②

由②得：244d d 48d ++=+，即：2d 4d 0-=，故：d 4=或d 0= 代入①式得{}n a 的通项公式为：n a 2= 或 n a 24n 14n 2()=+-=- ⑵等差数列{}n a 的前n 项和：

对于通项公式为：n a 4n 2=-，其前n 项和为：n 1n n 1S na d 2

()

-=+ 即：2n 1n n 1S na 42n 2n n 12n 2

()

()-=+

⨯=+-= ③ 若有n S 60n 800>+，即：22n 60n 800>+ 即：2n 30n 4000-->，则：n 40>.

对于通项公式为：n a 2=，其前n 项和为：n S 2n = ④ 若有n S 60n 800>+，即：2n 60n 800>+

即：58n 8000+<，因为n N +∈，所以此时不存在n S 60n 800>+. 综上，对于n a 2=，不存在n S 60n 800>+成立的等差数列.

对于n a 4n 2=-，当n 40>时，存在n S 60n 800>+成立的等差数列，此时最小的n 41=. 47、[湖北19]如图，在棱长为2的正方体

1111ABCD A B C D -中，E F M N ,,,分别是棱1111AB AD A B A D ,,,的中点，点P Q ,分别在棱1DD ,1

BB 上移动，且DP BQ λ==(02λ<<).

D D 1 A 1

B 1

C 1

M

N P Q

⑴ 当1λ=时，证明：直线1BC ∥平面EFPQ ;

⑵ 是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出

λ的值；若不存在，说明理由.

[解析] ⑴当1λ=时，证明：直线1BC ∥平面EFPQ

根据平行四边形判定法则：“三对一组平分线”

三对：两组对边分别平行；两组对边分别相等；两组对角分别相等. 一组：一组对边平行且相等. 平分线：对角线互相平分.

满足上述条件之一的四边形，是平行四边形. 参见《23个深度几何专题》

四边形11ABC D 由于两组对边分别相等，故四边形11ABC D 是平行四边形. 故：11BC AD ∥ ①

又因为F 是AD 中点，P 是1DD 中点，所以FP 是1ADD ∆的中位线， 故：1FP AD ∥ ② 由①②得：11BC AD FP ∥∥

根据直线与平面平行的判定定理：若平面外一直线与平面内一直线平行，则该直线与此平面平行. 故直线1BC ∥平面EFPQ . 证毕.

⑵ 是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？ 以A 为原点、AB 为x 轴、AD 为y 轴、1AA 为z 轴，建立三维直角坐标系. 各点坐标为：A 000(,,)，P 02(,,)λ，Q 20(,,)λ，E 100(,,)，M 102(,,). 则各向量为：PQ 220(,,)=-，EQ 10(,,)λ=，MQ 102(,,)λ=- 设平面EFPQ 的法向量为：111m (,,)αβγ=，则：m PQ ⊥，m EQ ⊥ 即：m PQ 0⋅=，m EQ 0⋅=