微专题椭圆中三角形面积最值问题探究

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4丿3(9 _ "厂丄,$ =斗■仙■ 4 9
=y 7(9 - TH2)(771 + 3)2，令 f{m}
(m+3)2,f(m)二(m + 3 )2 (6 - 4m)
令=0
(0,三 3 )心)>0,
=I■时,
四、问题的一般形式
2
例4 已知椭圆E:〒+ y2 = 1,直线= kx +
中学数学研究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2019年第6期
此时"吐间的距离"芳，直线与椭圆联立
方程得
卩=尽 + "*22 lx2 + 4y2 = 4
+ %血皿 +4m*2 -4 = 0.
由 A = ( - 8Qm) - 36(4m2 -4) > OnO < m _ &匹m
< 3.由韦达定理知衍+ % = ―g ，光1%2 二
4(m2_~ ,AB = ^3 \ xx -x2
AB = a/1 + ni I Ji -y21 ,</ = 1* 1* ,S^Oab = V
71 + m2*
2
⑷.」心严)[联立 7f+ry,消去“,
2
■x + 4y = 4
得到(m2 + 4)y2 + 2mty + i2 - 4 = 0, A = 4m2f2 -
4)(i2 -4) >0 9 4 > f2，由韦达定理知
若 c <0,令 a = - ctan0,b = c2 sec20,由 abc
方法一:借助三角函数辅助角公式求最值.
解皿(-1晋),0(0,0) ,B(x,y)，则OA的方程 y/3x + 2y = O,B(%,y)到 OA 的距离是 d " 胳兀二 , 令兀二 2cos0,y = sin0, 贝!| d
I 2舛cos。+ 2sin0 I 7
4 sin(0 +寺)
,所以
sin(& + 乎)=± l,Jmax =
解:作直线的平行线人与椭圆右下方相切，
切点为 P,设 Z] = y/2x + n{n < 0),联立
[y -
* 71,消 丁 得到 9%2 * ^^2nx _|_ 仏？ 一 4 = 0,
U2 + 4y2 二 4,
由 4 = (- 8Q/i)2 - 16 x9(/i2 - 1)二 Onn 二一3,
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聽% + 2y ± 4 = 0, 弟% + 2y = 0,1 和 04 之间的
.当 fi = ^-，即 m" + 4 = 2t2 时,
三、一边定向三动点，利用导数求最值
例3已知椭圆E-^+y2 = 1,直线l-y =
(m >0)与椭圆E相交于A,B两点,P为椭圆上 的任意一点，求APAB的面积最大值.
= 1.
3
#
方法二:借助一元二次方程的判别式求最值
解:作0A的平行线I与椭圆相切于点此时
AOAB 面积最大，Z：y =-^-x+m.
__A
联立 y
2 % +皿，消去了,得至!] / _存加;+
'x2 + 4y2 二 4, m2 - 1 = 0.
令△ = 3m2 - 4(nx2 -1)二 Onm 二 ± 2,此时 2：
- ,21---- ，故 ab5 + be5 + ca5 二 c^cosO sin10^ + sin 0cos0
c7 si. n20n +, c2 cos50n = - -s-i-『厂o +, ---&--1-- 厂 - — cos°厂0 cos 0 cos 0 sin 0 sin 0
1 -(cos+ sir?。) _ q cos 0 sin 0
类型 1 X2 + y2 = A2 >0,(% = 4cos0,y 二 4sin0).
例1 (2013年清华大学自主招生试题)已知
7
[/
abc = — 1,— +
b
= 1,求 ab5 + be5 + ca
的值.
cc
2
1
解析:若c>0,对于牛+厂1可进行三角代
7
换 a = 7ccos0,6 = c2 sin% 由 abc = - 1,可知 R
一、定边一动点，转化为点到线的距离求最值
距离d =寻 4 ，所以(SA^)max = 1.
二、动弦一定点,巧用韦达定理转化为函数求最值
2
例2已知椭圆E：^+y2 = 1,动直线Z与椭圆
E相交于A"两点，求AOAB的面积最大值.
解：设直线 AB：% = t + my,A(xl,y1) ,B(x2 ,y2),
4 a/1 + A2 a/4%2 + ] _ 肌2
1
------------------------- Q 二
也谈几类赛题的三角换元法
湖北省武昌实验中学 广东省珠海市实验中学
(430061) (519090)
彭景 王恒亮
三角换元法是解决高中数学问题的常用方法, 合理利用此方法不仅能降低思维难度还能简化相关 运算，它是高中生必须熟练掌握的几种方法之一 •高 中阶段的各级各类数学竞赛中都不乏有三角换元的 影子，合理利用此法有时候可以给我们带来意想不 到的效果，笔者结合自己的教学实际谈谈几类赛题 中的三角换元，希望对读者有所帮助.
>0)与椭圆E相交于4,B两点』为椭圆上的 任意一点，求APAB的面积最大值.
解:设£ ：y = kx +n{n < 0),且人与椭圆务+ y2
=1相切，得到/ =4^+1,此时两直线之间的距离
是& = " + /1 +,4斥，联立Z和椭圆方程，由 71 + k2
A > 0=>m2 < 4k2 + 1,且佔=
2019年第6期
中学数学研究
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微专题椭圆中三角形面积最值问题探究
江苏省海门中学 (226100) 汪香丽
本微专题给出椭圆中三角形面积最值问题的 数学模型，按照三个顶点的动静状态分类为一个动 点、两个动点及三个动点的椭圆内接三角形，分别给 出了相应的处理优化策略，其数学模型具有通用化 与迁移性，体现出数学的核心素养.每个例题均渗透 两种数学思想一转化与化归思想、数形结合思 想，让学生掌握一项技能即设而不求，优化运算求解 的过程，选取恰当的合理的可操作的方法处理解析 几何问题.