DVD在线租赁(2005年数学建模D题)
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DVD在线租赁 DVD在线租赁
2005年数学建模D题
问题重述
考虑如下的在线DVD租赁问题。 考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成 DVD租赁问题 为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣， DVD租赁服务 DVD有兴趣 为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提 交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。 交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的 订单包括多张DVD 这些DVD是基于其偏爱程度排序的。 DVD， DVD是基于其偏爱程度排序的 订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根 据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。 DVD数量和会员的订单进行分发 据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租 赁次数不得超过2 每次获得3 DVD。会员看完3 DVD之后 之后， 赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只 需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担）， DVD放进网站提供的信封里寄回 ），就可 需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可 以继续下次租赁。请考虑以下问题： 以继续下次租赁。请考虑以下问题： 网站正准备购买一些新的DVD 通过问卷调查1000个会员， DVD， 1000个会员 1. 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了 愿意观看这些DVD的人数（ 给出了其中5 DVD的数据）。此外 DVD的人数 的数据）。此外， 愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外， 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次 而另外的40% 的会员每月租赁DVD两次， 40%只租一 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一 假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说， 10万个会员 DVD来说 次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至 少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50% DVD的会员中至少50%在一个 少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个 月内能够看到该DVD 如果要求保证在三个月内至少95% DVD？ 95%的会员能 月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能 够看到该DVD DVD呢 够看到该VD租给哪个会员，即分配方案，对于每 种DVD,每个会员都要知道是租还是不租。因此我们引 入 x ij 表示第j种DVD是否租给第i个会员。
1, 第j种DVD租给第i个人 xij = 0, 第j种DVD不租给第i个人
分析： 分析： 如果会员预定的3 DVD不全有 是否就不租？ 不全有， 1. 如果会员预定的3张DVD不全有，是否就不租？为使全体 的满意度最高，可以先租部分缓解一下。因此， 的满意度最高，可以先租部分缓解一下。因此，每次租 赁可以少于或等于3 赁可以少于或等于3张。 会员满意度的数字越小，则满意度越高。注意到0最小， 2. 会员满意度的数字越小，则满意度越高。注意到0最小， 但是并不表示满意，因此，要对表中数据处理，使其能 但是并不表示满意，因此，要对表中数据处理， 显示出满意的一致性（数字大表示满意，或相反）。 显示出满意的一致性（数字大表示满意，或相反）。 符号： 符号：
分析： 分析： 1. 要满足一定的观看人数，同时为了节约采购费用，又要 要满足一定的观看人数，同时为了节约采购费用， 尽可能少买些DVD。显然，这是个优化问题。 尽可能少买些DVD。显然，这是个优化问题。 DVD DVD1来说 1000名被调查者里面有200人想看 来说， 名被调查者里面有200人想看， 2. 就DVD1来说，1000名被调查者里面有200人想看，意味 着10万名会员里面有 × 10万名会员里面有 10
q = 60%, u1 = x 30 s= T
uk 为第k次出租的DVD数量
于是得到
min s.t.
x
∑u
k =1
s
k
≥ p × n × 50%
模型Ⅱ 模型Ⅱ
uk = uk −1 × q, k = 1,2, L , s q = 60%, u1 = x 30 s= T
4.1.2考虑连续三个月的返还
Z1 = ∑∑ aij xij
i =1 j =1 100 20
• 约束条件
① 每人至多租3张DVD；
∑x
j =1
20
ij
≤ 3, i = 1,2, L,100
② 每种DVD租出去的量小于或等于存量；
∑x
i =1
100
ij
≤ b j , j = 1,2, L,20
b j 为j种DVD的存量
因此，建立模型
三个月内租到DVD的人占总人数的95％以上。
∑u
k =1
3s
k
≥ n × 95 %
这里 u1 = x,
uk = uk −1 × q, k ≤ s , (k ∈ N ) 30 s= T
uk = uk −1 × q + u k − s × (1 − q ), k > s
于是有模型如下：
min x s.t.
模型I 模型
5 ，即最少需要数量： × p × n 。 16
利用模型I，可以逐个算出5种DVD所需的张数。 （结果、程序略）
4.1.1.2模型的进一步思考 前面假设还DVD的周期是15天，但这不见得符合实际情 况，会有短时间就归还的情况。这里重新假设租赁2次 的会员返还周期为T，于是一个月就有 s = 次租赁机会。
DVD名称 DVD名称 愿意观看的人数 DVD1 200 DVD2 100 DVD3 50 DVD4 25 DVD5 10
至少要准备多少张DVD（上述5 ），才能使： 至少要准备多少张DVD（上述5种），才能使： DVD 才能使 10万会员中 至少50 能看到想看的DVD？（一个月内 万会员中， 50％ DVD？（一个月内） ① 10万会员中，至少50％能看到想看的DVD？（一个月内） 10万会员中 至少95 能看到DVD？（三个月内 万会员中， 95％ DVD？（三个月内） ② 10万会员中，至少95％能看到DVD？（三个月内）
1 2
60％
s
前一次的60％
s+1
60％
u1
u2
us
u s × 60%
u1 × 40%
一 个 月 到
u s +1
s =
30 Τ
u1 = x,
期
uk = uk −1 × q, k ≤ s , (k ∈ N )
uk = uk −1 × q + uk − s × (1 − q), k > s
•约束条件（注意条件的差别）
•决策变量 x 表示需要准备DVD1的张数。 •目标函数
找到最小的 x
•为方便下面讨论，先算出愿意观看的人数比 为方便下面讨论， 为方便下面讨论
DVD名称 DVD名称 愿意观看的比例 DVD1 20％ 20％ DVD2 10％ 10％ DVD3 5％ DVD4 2.5% DVD5 1%
符号假设： 符号假设： p 为希望看到DVD1的会员人数比； 为希望看到DVD1的会员人数比； DVD1的会员人数比 为网站总人数；（ ；（这里 n 为网站总人数；（这里 n = 105）
D001～D020表示20种 表示20 C0001～C0100表示100个会 表示100 注：D001～D020表示20种DVD, C0001～C0100表示100个会 会员的在线订单用数字1,2, 表示， 1,2,…表示 员，会员的在线订单用数字1,2, 表示，数字越小表示会 员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD DVD当前不在会员的 员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的 在线订单中。 在线订单中。
max Z1 = ∑∑ aij xij
i =1 j =1 100 20
s.t.
∑x
j =1
20
ij
≤ 3, i = 1,2, L ,100 ≤ b j , j = 1,2, L ,20
∑x
i =1
100
ij
模型Ⅳ
xij = 0或1 1 , cij ≠ 0时 aij = cij 0, cij = 0时
选择关键信息，理清思路 选择关键信息，
信息： 信息： 会员每月至多租2 1. 每个会员每月至多租2次 每次租赁可租3 寄回可再租）； 2. 每次租赁可租3张（寄回可再租）； 60％会员每月租2 40％会员每月租1 3. 60％会员每月租2次，40％会员每月租1次 4.1 问题1模型 调查1000名会员，有以下观看意愿的统计： 调查1000名会员，有以下观看意愿的统计： 1000名会员
表示取上整
30 Τ
(s ∈ N)
30 次出租 T
1次出租
2次出租
x × 60 %
3次出租
x × (60 % )
类推……
x
u1
2
……
前一次的60％
u2
u3
u
30 T
•约束条件(不变)
一个月内租到DVD的人占想看的人50％以上。
∑u
k =1
s
k
≥ p × n × 50 %
这里 u k = u k −1 × q, k = 1,2,L , s
cij 表示i个会员对j种DVD的满意度数字（表格数据） 表示i个会员对j DVD的满意度数字（表格数据） 的满意度数字
1 , cij ≠ 0时 aij = cij 0, cij = 0时
表示i个会员对j DVD的偏爱系数 表示i个会员对j种DVD的偏爱系数
•目标函数
总体满意度最高（租到的会员对DVD的偏爱系数 和 Z1 最大）
5
月只出租一次，则则DVD1就准备 × 200 × 50% 月只出租一次，则则DVD1就准备 DVD1 10
5
200 1000
人想看，如果每张DVD每个 人想看，如果每张DVD每个 DVD
1000
张。但是这
样谈不上优化，也不能提高DVD利用率。所以有二次出 样谈不上优化，也不能提高DVD利用率。所以有二次出 DVD利用率 租。 如果考虑实际情况，每张DVD还的时间不一样，有些DVD DVD还的时间不一样 3. 如果考虑实际情况，每张DVD还的时间不一样，有些DVD 多租几次，有些只会被租一次，则情况就很复杂。 多租几次，有些只会被租一次，则情况就很复杂。有必 要转变考虑角度。尝试从简单的角度考虑。 要转变考虑角度。尝试从简单的角度考虑。 从简单的角度考虑
∑u
k =1
3s
k
≥ n × 95%
u1 = x,
uk = uk −1 × q, k ≤ s , (k ∈ N ) uk = uk −1 × q + uk − s × (1 − q ), k > s 30 s= T
模型Ⅲ
4.2 问题2模型
中列出了网站手上20 DVD的现有张数和当前需要处理的100位会 20种 的现有张数和当前需要处理的100 2. 表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会 员的在线订单，如何对这些DVD进行分配， DVD进行分配 员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满 意度？请具体列出前30位会员（ C0001～C0030）分别获得哪些DVD 30位会员 DVD。 意度？请具体列出前30位会员（即C0001～C0030）分别获得哪些DVD。
从最保守的估计看：如果一个会员一个月租2次的话， 4. 从最保守的估计看：如果一个会员一个月租2次的话， 可以简单的认为每次租赁的DVD在他手上停留15 DVD在他手上停留15天 可以简单的认为每次租赁的DVD在他手上停留15天；租 一次的会员DVD在手上停留30 DVD在手上停留30天 则我们在月初第一次 一次的会员DVD在手上停留30天。则我们在月初第一次 发出DVD DVD后 月中利用返还的DVD再出租一次。 DVD再出租一次 发出DVD后，月中利用返还的DVD再出租一次。 4.1.1.1简单模型的建立
4.3 问题3模型
继续考虑表2 并假设表2 DVD的现有数量全部为 的现有数量全部为0 3. 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网 站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量， DVD的购买量 站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些 DVD进行分配 才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD 进行分配， 95%的会员得到他想看的DVD， DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且 满意度最大？ 满意度最大？
•约束条件
一个月内租到DVD的人占想看的人50％以上。
（第一次出租
x 张，月中有
x ×？ % 张还回来，再次租出去。） 60 张还回来，再次租出去。）
x + x × 60 % ≥ 50 % p × n
整理得
min x s.t. p × n × 50% ≤ x + x × 60%
解得
5 x≥ × p×n 16
2005年数学建模D题
问题重述
考虑如下的在线DVD租赁问题。 考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成 DVD租赁问题 为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣， DVD租赁服务 DVD有兴趣 为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提 交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。 交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的 订单包括多张DVD 这些DVD是基于其偏爱程度排序的。 DVD， DVD是基于其偏爱程度排序的 订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根 据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。 DVD数量和会员的订单进行分发 据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租 赁次数不得超过2 每次获得3 DVD。会员看完3 DVD之后 之后， 赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只 需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担）， DVD放进网站提供的信封里寄回 ），就可 需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可 以继续下次租赁。请考虑以下问题： 以继续下次租赁。请考虑以下问题： 网站正准备购买一些新的DVD 通过问卷调查1000个会员， DVD， 1000个会员 1. 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了 愿意观看这些DVD的人数（ 给出了其中5 DVD的数据）。此外 DVD的人数 的数据）。此外， 愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外， 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次 而另外的40% 的会员每月租赁DVD两次， 40%只租一 历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一 假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说， 10万个会员 DVD来说 次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至 少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50% DVD的会员中至少50%在一个 少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个 月内能够看到该DVD 如果要求保证在三个月内至少95% DVD？ 95%的会员能 月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能 够看到该DVD DVD呢 够看到该VD租给哪个会员，即分配方案，对于每 种DVD,每个会员都要知道是租还是不租。因此我们引 入 x ij 表示第j种DVD是否租给第i个会员。
1, 第j种DVD租给第i个人 xij = 0, 第j种DVD不租给第i个人
分析： 分析： 如果会员预定的3 DVD不全有 是否就不租？ 不全有， 1. 如果会员预定的3张DVD不全有，是否就不租？为使全体 的满意度最高，可以先租部分缓解一下。因此， 的满意度最高，可以先租部分缓解一下。因此，每次租 赁可以少于或等于3 赁可以少于或等于3张。 会员满意度的数字越小，则满意度越高。注意到0最小， 2. 会员满意度的数字越小，则满意度越高。注意到0最小， 但是并不表示满意，因此，要对表中数据处理，使其能 但是并不表示满意，因此，要对表中数据处理， 显示出满意的一致性（数字大表示满意，或相反）。 显示出满意的一致性（数字大表示满意，或相反）。 符号： 符号：
分析： 分析： 1. 要满足一定的观看人数，同时为了节约采购费用，又要 要满足一定的观看人数，同时为了节约采购费用， 尽可能少买些DVD。显然，这是个优化问题。 尽可能少买些DVD。显然，这是个优化问题。 DVD DVD1来说 1000名被调查者里面有200人想看 来说， 名被调查者里面有200人想看， 2. 就DVD1来说，1000名被调查者里面有200人想看，意味 着10万名会员里面有 × 10万名会员里面有 10
q = 60%, u1 = x 30 s= T
uk 为第k次出租的DVD数量
于是得到
min s.t.
x
∑u
k =1
s
k
≥ p × n × 50%
模型Ⅱ 模型Ⅱ
uk = uk −1 × q, k = 1,2, L , s q = 60%, u1 = x 30 s= T
4.1.2考虑连续三个月的返还
Z1 = ∑∑ aij xij
i =1 j =1 100 20
• 约束条件
① 每人至多租3张DVD；
∑x
j =1
20
ij
≤ 3, i = 1,2, L,100
② 每种DVD租出去的量小于或等于存量；
∑x
i =1
100
ij
≤ b j , j = 1,2, L,20
b j 为j种DVD的存量
因此，建立模型
三个月内租到DVD的人占总人数的95％以上。
∑u
k =1
3s
k
≥ n × 95 %
这里 u1 = x,
uk = uk −1 × q, k ≤ s , (k ∈ N ) 30 s= T
uk = uk −1 × q + u k − s × (1 − q ), k > s
于是有模型如下：
min x s.t.
模型I 模型
5 ，即最少需要数量： × p × n 。 16
利用模型I，可以逐个算出5种DVD所需的张数。 （结果、程序略）
4.1.1.2模型的进一步思考 前面假设还DVD的周期是15天，但这不见得符合实际情 况，会有短时间就归还的情况。这里重新假设租赁2次 的会员返还周期为T，于是一个月就有 s = 次租赁机会。
DVD名称 DVD名称 愿意观看的人数 DVD1 200 DVD2 100 DVD3 50 DVD4 25 DVD5 10
至少要准备多少张DVD（上述5 ），才能使： 至少要准备多少张DVD（上述5种），才能使： DVD 才能使 10万会员中 至少50 能看到想看的DVD？（一个月内 万会员中， 50％ DVD？（一个月内） ① 10万会员中，至少50％能看到想看的DVD？（一个月内） 10万会员中 至少95 能看到DVD？（三个月内 万会员中， 95％ DVD？（三个月内） ② 10万会员中，至少95％能看到DVD？（三个月内）
1 2
60％
s
前一次的60％
s+1
60％
u1
u2
us
u s × 60%
u1 × 40%
一 个 月 到
u s +1
s =
30 Τ
u1 = x,
期
uk = uk −1 × q, k ≤ s , (k ∈ N )
uk = uk −1 × q + uk − s × (1 − q), k > s
•约束条件（注意条件的差别）
•决策变量 x 表示需要准备DVD1的张数。 •目标函数
找到最小的 x
•为方便下面讨论，先算出愿意观看的人数比 为方便下面讨论， 为方便下面讨论
DVD名称 DVD名称 愿意观看的比例 DVD1 20％ 20％ DVD2 10％ 10％ DVD3 5％ DVD4 2.5% DVD5 1%
符号假设： 符号假设： p 为希望看到DVD1的会员人数比； 为希望看到DVD1的会员人数比； DVD1的会员人数比 为网站总人数；（ ；（这里 n 为网站总人数；（这里 n = 105）
D001～D020表示20种 表示20 C0001～C0100表示100个会 表示100 注：D001～D020表示20种DVD, C0001～C0100表示100个会 会员的在线订单用数字1,2, 表示， 1,2,…表示 员，会员的在线订单用数字1,2, 表示，数字越小表示会 员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD DVD当前不在会员的 员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的 在线订单中。 在线订单中。
max Z1 = ∑∑ aij xij
i =1 j =1 100 20
s.t.
∑x
j =1
20
ij
≤ 3, i = 1,2, L ,100 ≤ b j , j = 1,2, L ,20
∑x
i =1
100
ij
模型Ⅳ
xij = 0或1 1 , cij ≠ 0时 aij = cij 0, cij = 0时
选择关键信息，理清思路 选择关键信息，
信息： 信息： 会员每月至多租2 1. 每个会员每月至多租2次 每次租赁可租3 寄回可再租）； 2. 每次租赁可租3张（寄回可再租）； 60％会员每月租2 40％会员每月租1 3. 60％会员每月租2次，40％会员每月租1次 4.1 问题1模型 调查1000名会员，有以下观看意愿的统计： 调查1000名会员，有以下观看意愿的统计： 1000名会员
表示取上整
30 Τ
(s ∈ N)
30 次出租 T
1次出租
2次出租
x × 60 %
3次出租
x × (60 % )
类推……
x
u1
2
……
前一次的60％
u2
u3
u
30 T
•约束条件(不变)
一个月内租到DVD的人占想看的人50％以上。
∑u
k =1
s
k
≥ p × n × 50 %
这里 u k = u k −1 × q, k = 1,2,L , s
cij 表示i个会员对j种DVD的满意度数字（表格数据） 表示i个会员对j DVD的满意度数字（表格数据） 的满意度数字
1 , cij ≠ 0时 aij = cij 0, cij = 0时
表示i个会员对j DVD的偏爱系数 表示i个会员对j种DVD的偏爱系数
•目标函数
总体满意度最高（租到的会员对DVD的偏爱系数 和 Z1 最大）
5
月只出租一次，则则DVD1就准备 × 200 × 50% 月只出租一次，则则DVD1就准备 DVD1 10
5
200 1000
人想看，如果每张DVD每个 人想看，如果每张DVD每个 DVD
1000
张。但是这
样谈不上优化，也不能提高DVD利用率。所以有二次出 样谈不上优化，也不能提高DVD利用率。所以有二次出 DVD利用率 租。 如果考虑实际情况，每张DVD还的时间不一样，有些DVD DVD还的时间不一样 3. 如果考虑实际情况，每张DVD还的时间不一样，有些DVD 多租几次，有些只会被租一次，则情况就很复杂。 多租几次，有些只会被租一次，则情况就很复杂。有必 要转变考虑角度。尝试从简单的角度考虑。 要转变考虑角度。尝试从简单的角度考虑。 从简单的角度考虑
∑u
k =1
3s
k
≥ n × 95%
u1 = x,
uk = uk −1 × q, k ≤ s , (k ∈ N ) uk = uk −1 × q + uk − s × (1 − q ), k > s 30 s= T
模型Ⅲ
4.2 问题2模型
中列出了网站手上20 DVD的现有张数和当前需要处理的100位会 20种 的现有张数和当前需要处理的100 2. 表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会 员的在线订单，如何对这些DVD进行分配， DVD进行分配 员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满 意度？请具体列出前30位会员（ C0001～C0030）分别获得哪些DVD 30位会员 DVD。 意度？请具体列出前30位会员（即C0001～C0030）分别获得哪些DVD。
从最保守的估计看：如果一个会员一个月租2次的话， 4. 从最保守的估计看：如果一个会员一个月租2次的话， 可以简单的认为每次租赁的DVD在他手上停留15 DVD在他手上停留15天 可以简单的认为每次租赁的DVD在他手上停留15天；租 一次的会员DVD在手上停留30 DVD在手上停留30天 则我们在月初第一次 一次的会员DVD在手上停留30天。则我们在月初第一次 发出DVD DVD后 月中利用返还的DVD再出租一次。 DVD再出租一次 发出DVD后，月中利用返还的DVD再出租一次。 4.1.1.1简单模型的建立
4.3 问题3模型
继续考虑表2 并假设表2 DVD的现有数量全部为 的现有数量全部为0 3. 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网 站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量， DVD的购买量 站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些 DVD进行分配 才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD 进行分配， 95%的会员得到他想看的DVD， DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且 满意度最大？ 满意度最大？
•约束条件
一个月内租到DVD的人占想看的人50％以上。
（第一次出租
x 张，月中有
x ×？ % 张还回来，再次租出去。） 60 张还回来，再次租出去。）
x + x × 60 % ≥ 50 % p × n
整理得
min x s.t. p × n × 50% ≤ x + x × 60%
解得
5 x≥ × p×n 16