第1节、概率空间 随机变量

在例3中考虑波雷尔事件域F2，数学上可以证明在F2上存在 一个集合函数P，满足概率公理化定义在的三个条件，且 对 A (a , b ] ，有 P( A) P(b a )，其中 (ak , bk ] ，两两不相交（显然A 是G中元素），所以这个F2上的集合函数P是概率。此概率表示 集构成的波雷尔事件域，数学上已经证明并不存在的F1上的集
x
结束
§1 概率空间 随机变量
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概率空间 随机变量
例6. 向（0,1）区间上随机地掷一个点。按例3，Ω= （0,1）。规定函数X(w) =w，0<w<1。这样,X(w)是(Ω, F, P)上 的随机变量。 既然对任意一个实数x，有 ( : X () x) F ，那么对Ω的就子 集 ( : X () x) 可以讲概率。 定义： 设(Ω, F, P)是概率空间，而X=X(w)是(Ω, F, P)上的 随机变量。对任意一个实数x，有概率
F {w1 , w2 ,, w6（ , w1 , w2） （ , w1 , w3） ,（ , w5 , w6） （ , w1 , w2 , w3） ,（ , w4 , w5 , w6） , （w1 , w2 , w3 , w4） ,（ , w3 , w4 , w5 , w6） （ , w1 , w2 , w3 , w4 , w5） ,（ , w2 , w3 , w4 , w5 , w6） , （w1 , w2 , w3 , w4 , w5 , w6） }
三、随机变量及其概率分布
在随机试验中，若存在一个变量，它依试验出现的结果改 变而取不同的数值，则称此变量为随机变量。由于随机试验出 现的结果带有随机性，因而随机变量的取值也带有随机性。从 数学角度看，样本空间Ω中每一个样本点w（试验可能结果）对 应有一个数X(w)，这就是随机变量；或者说随机变量是定义在 样本空间Ω上的函数。但是，对这个函数需要有一些要求。
n
n
k
k
k 1
k 1
k
k
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n k 1 k k
合函数P，对上述事件A有P( A) P(b a )，且满足概率公理化定义 中的三个条件。 对随机试验E而言，样本空间Ω给出它的所有可能的实验结 果，F给出了由这些可能结果组成的各种各样事件，而P给出每 一事件发生的概率。(Ω, F, P)称为概率空间。
k k 1
特别指出，样本空间Ω称为必然事件，而空集Ф为不可能事件。
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概率空间 随机变量
在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是 基本事件。但是，一般并不要求样本点必须是基本事件。 在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。作 F= {正面或反面，正面，反面，空集}，它构成一个波 雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。需要说明， F表达式中的花括号，是指事件的集合。 在例2中共有六个样本点，记wi为出现“i点”的样本 点，i=1,2,3,4,5,6。作
k 1 k 1
Ak Aj Φ,k j,且Ak F,k 1,2， 则
那么称P是波雷尔事件域上的概率。
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概率空间 随机变量
在例1中定义P(A)=k/2 ，其中k是事件A包含的样本函数，k= 0,1,2，那么P是概率。另外，如果定义P(正面)=11/12 ，P(反 面)=9/20 ，P(正面或反面)=1，P(空集)=0，这样定义的P也是 概率。 在例2中定义P(A)=k/6，其中k是事件A包含的样本点数，k=0, 1,2,3,4,5,6，那么P是概率。
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概率空间 随机变量
概率论中曾经指出，概率是指一个事件发生的可能性大小的度量，而事 件是指“事情”。本节先用样本空间的观点讲述事件，进而介绍概率的公 理化定义。
一、样本空间
在概率论中，随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试 验。我们用E表示随机试验。随机试验的所有可能出现的结果构成一个集合， 而把每一可能出现的实验结果称为一个基本事件。随机试验E的所有基本事 件构成所谓样本空间。下面举几个实际例子。 例1 掷一枚分币。出现“正面”、“反面”都是基本事件。这两个基 本事件构成一个样本空间。 例2 掷一颗骰子。分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、 “5点”、“6点”都是基本事件。这六个基本事件构成一个样本空间。
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概率空间 随机变量
例3 向实数轴（0，1）区间上随意地投掷一个点。在（0，1）区间 中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合(即（0，1）区间)构成 一个样本空间。 抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本 点。样本空间记为Ω ={w}，其中w表示样本点。这里大括号表示所有样 本点构成的集合。 样本空间的某些子集称为事件。从数学观点看，要求事件（样本点 的集合）之间有一定的联系，亦即对、概率的公理化定义
在概率论中曾提及概率的统计定义和古典概率定义。概率 的统计定义与大量重复试验相联系。古典概率定义要求样本空 间由N个等可能的基本事件构成，具有一定的局限性。现在介绍 一种概率的抽象的数学定义——公理化定义。这种定义是从一 些具体的概率定义（如概率的统计定义，古典概率定义等）抽 象出来的，同时又保留了具体概率定义中的一些特征。事件的 概率是对应于波雷尔事件域F中每一个Ω的子集的一个数，即可 以看成集合函数。
F ( x) P( : X () x)
或简写为
F ( x ) P( X x )
则称F(x)是随机变量X 的分布函数 。 最常见的是离散型和连续型随机变量。
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概率空间 随机变量
若存在有限个或可列多个实数集合 ( x1, x2 ,) ，使随机变量X 有 P{X ( x1, x2 ,)} 1 。则称X是离散(型)随机变量： 而 pk P{X xk }, k 1,2, ，称为离散随机变量X的概率分布列。 若对任意实数x，存在非负实函数f(x)，使随机变量X的分布 函数有 F ( x) f ( x)dx 。则称X是连续（型）随机变量，又称f(x) 为 连续随机变量X的概率分布密度。
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概率空间 随机变量
定义 设样本空间 {} 的某些子集构成的集合记为F，如果 满足下列性质：
(1) Ω∈F ； (2) 若A∈F ，则 A =Ω-A∈F ； (3) 若Ak ∈ F ，k=1,2，…，则 A ∈F 那么称F是一个波雷尔（Borel）事件域，或σ事件域。波雷尔 事件域中每一个样本空间Ω的子集称为一个事件。
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它构成一个波雷尔事件域。这里每一对小括号表示它所包 含的样本点的集合。F中每一元素（即w1,w2,…,w6或每一对小 括号表示的样本点集合）是一个事件。
在例3中，做F1={(0,1)区间中任意子集}。F1构成一个波雷 尔事件域，其中每一个元素是一个事件。再构造另一个波雷尔 事件域。若取
第二章 概率论的补充知识
学习随机过程，仅有工程数学中《概率论》的知识 是不够的，还需要更多一些概率论知识，例如：概率空 间、多维正态分布等等。这里给出概率论的补充内容， 不仅是为了学习随机过程的需要，而且对于阅读应用概 率论的工程技术书籍和文献亦会有所帮助。内容包括概 率空间、随机变量及其概率分布、特征函数、随机矢 量及其多维特征函数、多维正态分布等。
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概率空间 随机变量
概率的公理化定义： 设P(A)是定义在样本空间Ω中的波雷 尔事件域F上的集合函数。如果P(A)满足
（1）对任一A∈F ，有 0 P( A) 1 ；
（2） P( ) 1, P( ) 0 ； （3）若A1,A2,…两两不相交，即
P( Ak ) P( Ak )
G { (ak , bk ] : 0 ak bk 1, k 1,2,, n, 而n 1}
k 1 n
即G是(0,1)区间中所有的左开右闭区间有限和集构成的集 类。集类是指以点集作为元素的集合。显然G不具有波雷尔事
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概率空间 随机变量
件域的第三条性质，这是因为G中可列无限个元素之和，也可以 是无限多个左开右闭区间之和，这种和不再是G中的元素，因而 G不是波雷尔事件域。记F2是包含G的最小的波雷尔事件域。数 学上可以证明F2与F1并不重合，而F2中的元素比F1少。波雷尔事 件域F2中的每一个元素都是事件。 需要指出，在上面的三个例子中，四个F有三个取为样本空 间Ω中任意子集全体构成的波雷尔域，因而样本空间的任意一个 子集都是事件。但是F还可以选Ω的一部分子集构成一个波雷尔 事件域，如例3中的F2 。又如在例1中取F ={Ω , Ф }，这种F也 构成波雷尔事件域。此时只有两个事件，但这样取F的实际意义 不大。
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概率空间 随机变量
定义: 设X=X(w)是定义在样本空间Ω上的函数。如果对任意 ( : X ( ) x) 。那么称 F 一个实数x，有Ω中的子集 X(w)是概率空 间(Ω, F, P)上的随机变量，或者称波雷尔可测函数。 例4.掷一枚分币。按例1，Ω=（正面，反面）。规定函数X 的值：X(正面)=1， X(反面)=0。这样， X(w)是(Ω, F, P)上的 随机变量。 例5. 掷一枚骰子。按例2， Ω =（1点，2点，3点，4点， 5点，6点）。规定函数X(k点)=k，k=1,2,3,4,5,6，即X(w) =w。 这样， X(w)是(Ω, F, P)上的随机变量。