第3章 连续系统建模总结

第3章
4. 状态空间 为描述系统的内部特征，引入状态变量。向量X表示动态系 统的状态。
AX Bu X y CX Du
（2-5）
T 式中， X x x x 为n维状态向量； u为r维输入向量； n 1 2 y为m维输出向量： A 为系 统矩 阵： B 为输入矩 阵； D nn nr mr 为直 传矩 阵 。
或
d L L ( ) Fqjd dt q j q j
L T V
L—拉格朗日函数，T—动能，V—势能，Fdqj----广义消散力。
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3．4 电子（电气）系统的数学建模
3．4．1电器元件及数学模型 1．电阻
e(t ) R(t )i (t )
2．电容
1 t e(t ) e(t0 ) i (t )dt C t0
3．电感
e(t )
d ( L(t )i(t )) di dL L i dt dt dt
第3章 3．4．2集总电路系统的数学建模 1．电路系统基本定理 （1）克希霍夫第一定理
（2）克希霍夫第二定理
（3）戴维南定理
（4）诺顿定理
第3章 3．4．3 电子网络的广义拉格朗日方程 以电荷为广义坐标，分别为广义速度和广义加速度。对于电子系统 （具有S个线圈）的磁能： 1 S Te Lij Qi Q j 2 i , j 1 系统势能： 1 t Qi2 m
（1）差分方程
（2）脉冲传递函数
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（3）权序列
(4)离散状态空间表达式
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3．1．2 非线性系统的数学模型
1. 饱和非线性
第3章 3．1．2 非线性系统的数学模型
1. 饱和非线性
u出 (m)
c1
0
c1
c1
u入 (m)
图 饱和非线性特征
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2. 死区非线性
u出 (m)
c1
0
45
第3章 典型的工程技术学科中的微分-积分方程式：
第3章
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3.3 机械系统的数学建模 3.3.1机械系统中的几个重要力学模型 1．空间任意力学的平衡方程
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M
x y z ox oy
oz
0
3.推导数学模型
第3章 3．2．2物理系统的数学模型通式
1)通式中的系数A、B、C为确定系统响应特性的常系数，它构成系 统的传输集，A是容性的，如电容、质量惯性等，通过这些元件的 流是超前于源的，B为耗散的，如电阻、阻尼等，通过这些元件的 流和源是同位的，C是感性的，如电感和柔性等，通过这些元件的 流是滞后于源的。 2)通式中的 w和E分别为系统的输入和输出。这两个参数确定了通 过系统的功率谱。 3)A、B、C、w和E可以是单变量，也可以是一个矩阵或向量。 4)借助此式可以建立比较复杂物理系统的数学模型。
c1
u入 (m)
图 死区非线性特征
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3. 间隙（磁带回环）非线性
u出 (m)
c1
0
45
c1
u入 (m)
源自文库
c1
图 4-15 间隙非线性特征
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3.2 连续物理系统的数学建摸
1.确定系统基本物理变量
2. 选择独立的特征变量
基本物理量需要用一个或几个特征变量表示。如能量可以用电流和电压来表 示。
常 用 的 连 续 系 统 数 学 模 型
1.微分方程 2.传递函数 3.权函数 4. 状态空间
5.结构图表示
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1. 微分方程
设系统的输入为u (t )，输出为y (t )，它们之间的关系的微 分方程为
d n y (t ) dt n
an1
d m1u ( t ) dt m1
d n1 y ( t ) dt n1
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第3章 连续系统建模
3.1连续系统的数学模型形式 3.2 连续物理系统的数学建摸 3.3 机械系统的数学建模 3.4 电子（电气）系统的数学建模 3.5 机电系统的数学建模 3.6流体动力学系统的数学建模
3.7集中参数连续系统的数学建模
3.8分布参数连续系统的数学建模 3.9控制系统建模实例
第3章 3.1连续系统的数学模型形式 3.1.1 连续系统的数学模型形式 1．连续时间模型 系统输入u(t)、输出y(t)、内部状态变量x(t)都是时间的连续函数。
2．牛顿方程
d 2s F ma m dt 2
第3章 3．质点运动的功和能的数学描述
W Fds Fx dx Fy dy Fz dz
a a b b
4．拉格朗日方程
d T T ( ) Fqj dt q j q j
p
xi yi zi Fxi Fyi Fzi Fqj为对于广义坐标qj的广义力： Fqj q j q j q j i 1
a
dy ( t ) 1 dt
a0 y(t ) bm
d mu ( t ) dt m

（2-1）
bm1
(t ) b1 dudt b0u(t )
（m n）
式中ai (i o,1,, n 1),b j ( j 0,1,, m)为常系数。
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2. 传递函数
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5.结构图表示 结构图 比较直观，对单输入单输出线性系统可通过结构图变换很容易的 传递函数；而对多输入多输出或具有非线性环节的系统也可以通过面向结构 图仿真方法得到系统的动态特征。如图2-1为线性系统的结构图.
F1
+
u
-

K1

1K2
图2-1 系统的结构图
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2．离散时间模型
系统输入u(k)、输出y(k)、内部状态变量x(k)都是时间的离 散函数。
（2-2）
设系统的传递函数为
G(s)
（2-3）
Y (s) U (s)
则有
bms m bm1s m1b1s b0 G( s) n s an1s n1a1s a0
（2-4）
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3.权函数
y(t ) u( ) g (t )d
0
t
式中g(t)是系统的单位脉冲响应。
对式（2.1)两边取拉普拉斯变换, 并假设y (t )和u (t )及其各阶 导数为零, 则可得
s nY ( s) an 1s n1Y ( s) a1sY ( s) a0Y ( s) bm s U ( s) bm1s
m m 1
U ( s) b0U ( s)