高二数学必修二圆与圆的方程知识点总结
高中数学必修二课件:圆的一般方程(42张PPT)

此方程表示以(1,-2)为圆心,2为半径长的圆.
问题2:方程x2+y2+2x-2y+2=0表示什么图形?
提示:对方程x2+y2+2x-2y+2=0配方得
(x+1)2+(y-1)2=0,即x=-1且y=1. 此方程表示一个点(-1,1). 问题3:方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形? 提示:对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方得 (x-1)2+(y-2)2=-1. 由于不存在点的坐标(x,y)满足这个方程,所以这 个方程不表示任何图形.
3.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求 (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和半径.
解:(1)根据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2- 1 4(m +5m)>0,即4m +4-4m -20m>0,解得m<5,
2 2 2
1 故m的取值范围为(-∞,5).
(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准 方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 故圆心坐标为(-m,1),半径r= 1-5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开得,x2+y2 -2ax-2by+a2+b2-r2=0,这是一个二元二次方程的形 式,那么,是否一个二元二次方程都表示一个圆呢? 问题1:方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形? 提示:对x2+y2-2x+4y+1=0配方得 (x-1)2+(y+2)2=4.
1.若x2+y2-x+y-m=0表示一个圆的方程,则m的取值 范围是 1 A.m>-2 1 C.m<-2 1 B.m≥-2 D.m>-2 ( )
高中数学必修二圆与方程

高中数学必修二圆与方程高中数学必修二:圆与方程圆和方程作为高中数学必修二中的重要知识点,是数学学习中的基础内容。
圆是平面上到给定点距离等于定值的点的集合,是几何中的重要图形之一;而方程则是描述数学关系的一种数学语言。
本文将详细讲解圆和方程的相关知识,帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
1. 圆的基本概念在几何中,圆是一个封闭曲线,由一个平面上所有到指定点距离相等的点组成。
圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弦、弧等。
圆心是圆的中心点,通常用字母O表示;半径是从圆心到圆周上任意点的距离,通常用字母r表示;直径是通过圆心的两个端点的线段,通常用字母d表示。
弦是连接圆上两点的线段,弧是圆上的一段曲线。
圆的周长公式为C=2πr,面积公式为S=πr²。
2. 圆的相关定理在学习圆的过程中,我们需要掌握一些重要的定理,如圆的相交、切线、相切等相关定理。
其中,切线与圆的切点垂直、相切圆的切线垂径于切点等定理是解题中经常用到的重点内容。
此外,根据圆的位置关系,我们还可以推导出诸如同位角、同弦、相等弧等相关定理,这些定理在解题中能够帮助我们更快更准确地完成题目。
3. 圆的参数方程在高中数学中,我们还需要学习圆的参数方程。
当圆的中心不在坐标原点时,我们可以通过参数方程的方式来描述圆的位置。
圆的参数方程一般为x=rcosθ,y=rsinθ,其中θ为参数,r为半径。
通过参数方程,我们可以方便地描述圆的位置和形状,是解决复杂问题时的重要工具。
4. 一元二次方程另一个重要的数学概念是一元二次方程。
一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程,其中a、b、c为常数且a≠0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
掌握一元二次方程的解题方法对于高中数学的学习至关重要,同时也是解决实际问题的基础。
5. 二次函数一元二次方程的图像是抛物线,对应的函数为二次函数。
二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c,其中a≠0。
人教版高中数学必修二圆与方程小结与复习

(1)标准方程:以(a,b)为圆心,r(r>0) 为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 当D2+E2-4F>0时,表示圆的一般方程,其
D E 圆心的坐标为 ( , ),
半径 r 1
2
2
当D2+E2-4F=0时,只表示一个点;
d PC
2 2 1 4 25 r, 2
1 1
2
4 20 故所求
2
所以点P在圆外.
(Ⅱ)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为三点 A(4,1) , B(6 , -3) , C(-3,0) 都 在圆上, 所以它们的坐标都是方程的解,将它们 的坐标代入方程得,
因为圆过A(1,4),B(3,2)两点,
42 为kAB= =-1,故l的斜率为1, 1 3
所以圆心必在线段AB的中垂线l上,又因 又AB的中点为(2,3),故线段AB的中
垂线l的方程为x-y+1=0.
又知圆心在直线y=0上,故圆心为C(-1,0), 所以半径 r AC 圆的方程为(x+1)2+y2=20. 又点P(2,4)到圆心(-1,0)的距离为
题意,
设圆C2的圆心为(a,b),则依
a 1 b1 1 0 a=2 2 2 ,解得: b1 b=-2. 1 a 1
有
对称圆的半径不变,为1,故填(x-2)2+ (y+2)2=1.
5.若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线xy+1=0对称,则实数a= 3 .
高二数学必修2圆的参数方程知识点

即为点M的轨迹参数方程,消去参数得
即为点M的轨迹普通方程。
(1)参数方程
是椭圆的参数方程; (2)在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b,
称为离心角,规定参数
的取值范围是[0,2π); (3)焦点在y轴的参数方程为
高二数学必修2曲线的参数方程知识点
曲线的参数方程的定义:
高二数学必修2圆的参数方程知识点
圆的参数方程:
(θ∈[0,2π)),(a,b)为圆心坐标,r为圆的半径,θ为参数(x,y)为经过点的坐标。
圆心为原点,半径为r的圆的参数方程:
如图,如果点P的坐标为(x,y),圆半径为r,
根据三角函数定义,点P的横坐标x、纵坐标y都是θ的函数,即
高二数学必修2椭圆的参数方程知识点
椭圆的参数方程:
椭圆
的参数方程是,
θ∈[0,2π)。椭圆
>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时,点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设
(2)参数的取值范围:在表述曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围;取值范围的不同,所表示的曲线也可能会有所不同。
(3)参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行互化。
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数
高中数学必修2圆与方程(教师用)

圆的方程知识点与题型1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程:(x -a)2+(y -b)2=r 2,其中(a ,b)是圆心坐标,r 是圆的半径; (2) 圆的一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 (D 2+E 2-4F >0),圆心坐标为(2,2ED --),半径为r =2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一:直线:Ax +By +C =0;圆:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二:直线:Ax +By +C =0;圆:(x -a)2+(y -b)2=r 2,圆心(a ,b)到直线的距离为d =⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2,半径分别为r 1、 r 2, |O 1O 2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离;|O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切; |r 1-r 2|<|O 1O 2|<r 1+r 2⇔两圆相交;|O 1O 2|=|r 1-r 2|⇔两圆内切; 0<|O 1O 2|<|r 1-r 2|⇔两圆内含. 一、圆的方程1 、以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x(D)9)1()2(22=-++y x解:已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径,即2243546+++=d r ==3,∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ,故选(C).2、方程x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0(t ∈R )表示圆方程,则t 的取值范围是( )A.-1<t <71 B.-1<t <21 C.-71<t <1D .1<t <2 :由D 2+E 2-4F >0,得7t 2-6t -1<0,即-71<t <1.答案:C3、已知两点P 1(4,9)、P 2(6,3),求以P 1P 2为直径的圆的方程.【思考与分析】 根据已知条件,我们需要求出圆的圆心位置,又由点P 1P 2的坐标已知,且P 1P 2为所求圆的直径,所以圆的半径很容易求出,这是常规的解法,如下面解法1所示,另外还有一些其它的解法,我们大家一起来欣赏:解法1:设圆心为C (a ,b )、半径为r. 由中点坐标公式,得 a ==5,b ==6.∴ C (5,6),再由两点间距离公式,得∴ 所求的圆的方程为(x -5)2+(y -6)2=10.解法2:设P (x ,y )是圆上任意一点,且圆的直径的两端点为P 1(4,9)、P 2(6,3), ∴ 圆的方程为(x -4)(x -6)+(y -9)(y -3)=0, 化简得 (x -5)2+(y -6)2=10,即为所求.4、求过两点A (1,4)、B (3,2),且圆心在直线y =0上的圆的标准方程,并判断点M 1(2,3),M 2(2,4)与圆的位置关系.A 、B 两点,所以圆心在线段ABk AB =3124--=-1,AB 的中点为(2,3),故AB 的垂直平分线的方程为y -3=x -2,即x -yy =0上,因此圆心坐标是方程组x -y +1=0,y =0半径r =22)40()11(-+--=20,所以得所求圆的标准方程为(x +1)2+y 2=20.因为M 1到圆心C (-1,0)的距离为22)03()12(-++=18,|M 1C |<r ,所以M 1在圆C 内;而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20,所以M 2在圆C 外.5、已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点,且OP ⊥OQ (O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径长.解:将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=,得2520120y y m -++=.的解,即圆心坐标为(-1,0).设P ()11,x y ,Q ()22,x y ,则12,y y 满足条件:1212124,5m y y y y ++==. ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-,2232x y =-,∴()121212964x x y y y y =-++.∴3m =,此时Δ0>,圆心坐标为(-12,3),半径52r =.二、位置关系问题(点、直线、圆与圆的位置关系)1、点P (5a +1,12a )在圆(x -1)2+y 2=1的内部,则a 的取值范围是( D )A.|a |<1B.a <131C.|a |<51 D .|a |<131解析:点P 在圆(x -1)2+y 2=1内部⇔(5a +1-1)2+(12a )2<1⇔|a |<131.答案:D 2、直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( A )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+,即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点,∴线心距a r a d =>-=21,平方去分母得22212a a a >+-,解得1212-<<--a ,注意到0>a ,∴120-<<a ,故选(A).点评:一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系:⇔>r d 线圆相离;⇔=r d 线圆相切;⇔<r d 线圆相交.3、 直线2x -y +1=0与圆O ∶x 2+y 2+2x-6y-26=0的位置关系是( ).A . 相切B . 相交且过圆心C . 相离D . 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系,我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为:圆O ∶(x+1)2+(y-3)2=36.圆心为(-1,3),半径为r =6,圆心到直线的距离为d =从而知0<d <r ,所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D4、已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切,并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ,求圆C 的方程设圆C 的圆心为),(b a ,则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或三、切线问题1、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =,即0=-y kx ,∴线心距251122==++=r k k d ,平方去分母得0)3)(13(=+-k k ,解得3-=k 或31,∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=,故选(A). 点评:一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法,或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.2、求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程:(1)经过点)1,3(P ,(2)经过点)0,3(Q ,(3)斜率为1-解:(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上,故所求切线方程为43=+y x 。
高中数学必修2直线与圆常考题型:圆的标准方程

圆的标准方程【知识梳理】1.圆的标准方程(1)圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.(2)确定圆的要素是圆心和半径,如图所示.(3)圆的标准方程:圆心为A (a ,b ),半径长为r 的圆的标准方程是(x -a )2+(y -b )2=r 2. 当a =b =0时,方程为x 2+y 2=r 2,表示以原点为圆心、半径为r 的圆.2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,圆心A (a ,b ),半径为r .设所给点为M (x 0,y 0),则题型一、求圆的标准方程【例1】 过点A (1,-1),B (-1,1)且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是( )A .(x -3)2+(y +1)2=4B .(x +3)2+(y -1)2=4C .(x -1)2+(y -1)2=4D .(x +1)2+(y +1)2=4[解析] 法一:设所求圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧ (1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,a +b -2=0,解此方程组,得⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =1,r 2=4.故所求圆的标准方程为(x -1)2+(y -1)2=4.法二:设点C 为圆心,∵点C 在直线x +y -2=0上,∴可设点C 的坐标为(a,2-a ).又∵该圆经过A ,B 两点,∴|CA |=|CB |. ∴(a -1)2+(2-a +1)2 =(a +1)2+(2-a -1)2,解得a =1.∴圆心坐标为C (1,1),半径长r =|CA |=2.故所求圆的标准方程为(x -1)2+(y -1)2=4.法三:由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0),k AB =1-(-1)-1-1=-1,所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k =1,所以AB 的垂直平分线的方程为y -0=1·(x -0),即y =x .则圆心是直线y =x 与x +y -2=0的交点,由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x ,x +y -2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1, 即圆心为(1,1),圆的半径为(1-1)2+[1-(-1)]2=2,故所求圆的标准方程为(x -1)2+(y -1)2=4.[答案] C【类题通法】确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ,b )及半径r ,其求解的方法:一是待定系数法,如解法一,建立关于a ,b ,r 的方程组,进而求得圆的方程;二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径,如解法二、三.一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.【对点训练】1.求下列圆的标准方程:(1)圆心是(4,-1),且过点(5,2);(2)圆心在y 轴上,半径长为5,且过点(3,-4);(3)求过两点C (-1,1)和D (1,3),圆心在x 轴上的圆的标准方程.解:(1)圆的半径长r = (5-4)2+(2+1)2=10,故圆的标准方程为(x -4)2+(y +1)2=10.(2)设圆心为C (0,b ),则(3-0)2+(-4-b )2=52,解得b =0或b =-8,则圆心为(0,0)或(0,-8).又∵半径r =5,∴圆的标准方程为x 2+y 2=25或x 2+(y +8)2=25.(3)直线CD 的斜率k CD =3-11+1=1,线段CD 中点E 的坐标为(0,2),故线段CD 的垂直平分线的方程为y -2=-x ,即y =-x +2,令y =0,得x =2,即圆心为(2,0).由两点间的距离公式,得r = (2-1)2+(0-3)2=10.所以所求圆的标准方程为(x -2)2+y 2=10.题型二、点与圆的位置关系【例2】 如图,已知两点P 1(4,9)和P 2(6,3).(1)求以P 1P 2为直径的圆的方程;(2)试判断点M (6,9),N (3,3),Q (5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外.[解] (1)设圆心C (a ,b ),半径长为r ,则由C 为P 1P 2的中点,得a=4+62=5,b =9+32=6.又由两点间的距离公式得r =|CP 1|= (4-5)2+(9-6)2=10,故所求圆的方程为(x -5)2+(y -6)2=10.(2)由(1)知,圆心C (5,6),则分别计算点到圆心的距离:|CM |= (6-5)2+(9-6)2=10;|CN |= (3-5)2+(3-6)2=13>10;|CQ |= (5-5)2+(3-6)2=3<10.因此,点M 在圆上,点N 在圆外,点Q 在圆内.【类题通法】1.判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离,与半径作比较即可;(2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的符号,并作出判断.2.灵活运用若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围.【对点训练】2.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是()A.-1<a<1B.0<a<1C.a>1或a>-1 D.a=±1解析:选A由于点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,a2<1,所以-1<a<1.【练习反馈】1.圆(x-1)2+(y+3)2=1的圆心坐标是()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3) D.(-1,-3)答案:C2.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是()A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定解析:选A∵m2+25>24,∴点P在圆外.3.若点P(-1,3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=________.解析:∵P点在圆x2+y2=m2上,∴(-1)2+(3)2=4=m2,∴m=±2.答案:±24.经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的方程是________.解析:圆心是(-2,0),半径是2,所以圆的方程是(x+2)2+y2=4.答案:(x+2)2+y2=45.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的方程.解:设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.将点A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧ (2-a )2+(2-b )2=r 2,(5-a )2+(3-b )2=r 2,(3-a )2+(-1-b )2=r 2,解此方程组,得⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =1,r 2=5. 所以,△ABC 的外接圆方程是(x -4)2+(y -1)2=5.。
高中数学必修二第四章 章末复习题圆的相关试题(含答案)

章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0,y0)及圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d,圆的半径为r,则d>r⇒相离;d=r⇒相切;d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d,半径分别为r1与r2,则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2| d<|r1-r2|关系(1)求相交两圆的弦长时,可先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则,空间上的任意一点都与有序实数组(x,y,z)一一对应.(2)空间中P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.(3)可利用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2+y2-2x=0相外切,并与直线l:x+3y=0相切于M(3,-3)点,求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2+y2-2x=0相外切,故两个圆心之间的距离等于半径的和,又∵圆C与直线l:x+3y=0相切于M(3,-3)点,可得圆心与点M(3,-3)的连线与直线x+3y=0垂直,其斜率为 3.设圆C的圆心为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧ b +3a -3=3,(a -1)2+b 2=1+|a +3b |2.解得a =4,b =0,r =2或a =0,b =-43,r =6,∴圆C 的方程为(x -4)2+y 2=4或x 2+(y +43)2=36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法求解,采用待定系数法求圆的方程的一般步骤:第一步:选择圆的方程的某一形式.第二步:由题意得a ,b ,r (或D ,E ,F )的方程(组).第三步:解出a ,b ,r (或D ,E ,F ).第四步:代入圆的方程.注:解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量,例如:圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点连线垂直于弦;当两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共弦;当两圆相切时,连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示,圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |=2,则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x -1)2+(y -2)2=2解析 取AB 的中点D ,连接CD ,AC ,则CD ⊥AB .由题意知,|AD |=|CD |=1,故|AC |=|CD |2+|AD |2=2,即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0),所以圆心C (1,2),故圆的标准方程为(x -1)2+(y -2)2=2.(2)求半径为10,圆心在直线y =2x 上,被直线x -y =0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,则圆心坐标为(a ,b ),半径r =10,圆心(a ,b )到直线x -y =0的距离d =|a -b |2, 由半弦长,弦心距,半径组成的直角三角形得,d 2+⎝⎛⎭⎫4222=r 2, 即(a -b )22+8=10, ∴(a -b )2=4,又∵b =2a ,∴a =2,b =4或a =-2,b =-4,故所求圆的方程是(x -2)2+(y -4)2=10或(x +2)2+(y +4)2=10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22+(2)2=a 2,解得a 2=4, ∴圆M :x 2+(y -2)2=4, ∴圆M 与圆N 的圆心距d =(0-1)2+(2-1)2= 2.∵2-1<2<2+1,∴两圆相交.(2)已知直线l :x -3y +6=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,则|CD |=________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x -3y +6=0,x 2+y 2=12,消去x 得y 2-33y +6=0, 解得⎩⎨⎧ x =-3,y =3或⎩⎨⎧x =0,y =2 3. 不妨设A (-3,3),B (0,23),则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x +y +23=0,令y =0得x C =-2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D =2,∴|CD |=4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为:①位置关系的判断,②弦长问题,③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种,一种代数法,一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x +1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2+y 2-2ay -2=0,即x 2+(y -a )2=a 2+2,则圆心为C (0,a ).又|AB |=23,C 到直线y =x +2a 的距离为|0-a +2a |2, 所以⎝⎛⎭⎫2322+⎝ ⎛⎭⎪⎫|0-a +2a |22=a 2+2, 得a 2=2,所以圆C 的面积为π(a 2+2)=4π.题型三 对称问题例3 从点B (-2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射,反射光线所在的直线与圆x 2+y 2=12相切,求点A 的坐标.考点题点解 点B (-2,1)关于x 轴对称的点为B ′(-2,-1),易知反射光线所在直线的斜率存在,设反射光线所在的直线方程为y +1=k (x +2),即kx -y +2k -1=0.由题意,得|0-0+2k -1|k 2+1=12, 化简得7k 2-8k +1=0,解得k =1或k =17, 故所求切线方程为x -y +1=0或x -7y -5=0.令y =0,则x =-1或x =5.所以A 点的坐标为(-1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称,其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y =x 对称,则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2+(y -1)2=1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1),半径为1,所以圆C 的标准方程为x 2+(y -1)2=1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2+y 2+2ax +2ay +2a 2-1=0与x 2+y 2+2bx +2by +2b 2-2=0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得,两圆的标准方程分别为(x +a )2+(y +a )2=1和(x +b )2+(y +b )2=2,两圆的圆心坐标分别为(-a ,-a ),(-b ,-b ),半径分别为1,2,则当公共弦为圆(x +a )2+(y +a )2=1的直径时,公共弦长最大,最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离:d max =|OP |+r ,d min =||OP |-r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离:设圆心到直线的距离为m ,则d max =m +r ,d min=|m -r |.(3)已知点的运动轨迹是(x -a )2+(y -b )2=r 2,求①y x ;②y -m x -n;③x 2+y 2等式子的最值,一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点,P A ,PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的圆心为C (1,1),半径为1,由题意知,当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离),四边形的面积最小,又圆心到直线的距离d =|3+4+8|32+42=3, ∴|P A |=|PB |=d 2-r 2=22,∴S 四边形P ACB =2×12|P A |r =2 2.1.以点(-3,4)为圆心,且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x -3)2+(y +4)2=16B.(x +3)2+(y -4)2=16C.(x -3)2+(y +4)2=9D.(x +3)2+(y -4)2=9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x -y =0和x -y -4=0都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为( )A.(x +1)2+(y -1)2=2B.(x -1)2+(y +1)2=2C.(x -1)2+(y -1)2=2D.(x +1)2+(y +1)2=2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x -3)2+(y +8)2=121;(x +2)2+(y -4)2=64,则两圆的圆心与半径分别为C 1(3,-8),r 1=11;C 2(-2,4),r 2=8.圆心距为|C 1C 2|=(3+2)2+(-8-4)2=13.∵r 1-r 2<|C 1C 2|<r 1+r 2,∴两圆相交,则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0),A 1(a ,a ),且圆心在直线y =13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x -32a 2+⎝⎛⎭⎫y -a 22=a 22 解析 圆过点A (a,0),A 1(a ,a ),则圆心在直线y =a 2上. 又圆心在直线y =13x 上, 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ,a 2,则半径r =⎝⎛⎭⎫a -32a 2+⎝⎛⎭⎫-a 22=22|a |, 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x -32a 2+⎝⎛⎭⎫y -a 22=a 22. 5.已知直线x -my +3=0和圆x 2+y 2-6x +5=0.(1)当直线与圆相切时,求实数m 的值;(2)当直线与圆相交,且所得弦长为2105时,求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2+y 2-6x +5=0可化为(x -3)2+y 2=4,所以圆心坐标为(3,0),r =2. 因为直线x -my +3=0与圆相切, 所以|3+3|1+(-m )2=2, 解得m =±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x -my +3=0的距离为d =|3+3|1+(-m )2.由24-⎝ ⎛⎭⎪⎫|3+3|1+(-m )22=2105, 得2+2m 2=20m 2-160,即m 2=9.故m =±3.。
高中数学必修2__第四章《圆与方程》知识点总结与练习

第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1.圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)圆心:(a ,b ),半径:r一般 方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)圆心:⎝⎛⎭⎫-D 2,-E 2, 半径:12D 2+E 2-4F2.点与圆的位置关系点M (x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的位置关系: (1)若M (x 0,y 0)在圆外,则(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2. (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2.[小题能否全取]1.(教材习题改编)方程x 2+y 2+4mx -2y +5m =0表示圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B .m <14或m >1C .m <14D .m >1解析:选B 由(4m )2+4-4×5m >0得m <14或m >1.2.(教材习题改编)点(1,1)在圆(x -a )2+(y +a )2=4内,则实数a 的取值范围是( ) A .(-1,1)B .(0,1)C .(-∞,-1)∪(1,+∞)D .(1,+∞)解析:选A ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a )2+(1+a )2<4, ∴-1<a <1.3.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A .x 2+(y -2)2=1B .x 2+(y +2)2=1C .(x -1)2+(y -3)2=1D .x 2+(y -3)2=1解析:选A 设圆心坐标为(0,b ),则由题意知(0-1)2+(b -2)2=1,解得b =2,故圆的方程为x 2+(y -2)2=1.4.(2012·潍坊调研)圆x 2-2x +y 2-3=0的圆心到直线x +3y -3=0的距离为________.解析:圆心(1,0),d =|1-3|1+3=1.答案:15.(教材习题改编)圆心在原点且与直线x +y -2=0相切的圆的方程为 ____________________.解析:设圆的方程为x 2+y 2=a 2(a >0) ∴|2|1+1=a ,∴a =2,∴x 2+y 2=2. 答案:x 2+y 2=21.方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是: (1)B =0;(2)A =C ≠0;(3)D 2+E 2-4AF >0.2.求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上.(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.圆的方程的求法典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332+y 2=43B.⎝⎛⎭⎫x ±332+y 2=13C .x 2+⎝⎛⎭⎫y ±332=43D .x 2+⎝⎛⎭⎫y ±332=13(2)已知圆C 经过A (5,1),B (1,3)两点,圆心在x 轴上,则圆C 的方程为________________. [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上,且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3,设圆心(0,b ),半径为r ,则r sin π3=1,r cos π3=|b |,解得r =23,|b |=33,即b =±33.故圆的方程为x 2+⎝⎛⎭⎫y ±332=43.(2)圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +F =0,则⎩⎪⎨⎪⎧26+5D +F =0,10+D +F =0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-4,F =-6.圆C 的方程为x 2+y 2-4x -6=0. [答案] (1)C (2)x 2+y 2-4x -6=0由题悟法1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ,b ,r 或D ,E ,F 的方程组. 2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形结合思想的运用.以题试法1.(2012·浙江五校联考)过圆x 2+y 2=4外一点P (4,2)作圆的两条切线,切点分别为A ,B ,则△ABP 的外接圆的方程是( )A .(x -4)2+(y -2)2=1B .x 2+(y -2)2=4C .(x +2)2+(y +1)2=5D .(x -2)2+(y -1)2=5解析:选D 易知圆心为坐标原点O ,根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ,OB ⊥PB ,因此P ,A ,O ,B 四点共圆,△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆,这个圆的方程是(x -2)2+(y -1)2=5.与圆有关的最值问题典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y )|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )A .x +y -2=0B .y -1=0C .x -y =0D .x +3y -4=0(2)P (x ,y )在圆C :(x -1)2+(y -1)2=1上移动,则x 2+y 2的最小值为________. [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时,符合条件.圆心O 与P 点连线的斜率k =1,∴直线OP 垂直于x +y -2=0.(2)由C (1,1)得|OC |=2,则|OP |min =2-1,即(x 2+y 2)min =2-1.所以x 2+y 2的最小值为(2-1)2=3-2 2.[答案] (1)A (2)3-2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u =y -bx -a的最值问题,可转化为定点(a ,b )与圆上的动点(x ,y )的斜率的最值问题(如A 级T 9);9.(2012·南京模拟)已知x ,y 满足x 2+y 2=1,则y -2x -1的最小值为________.解析:y -2x -1表示圆上的点P (x ,y )与点Q (1,2)连线的斜率,所以y -2x -1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ 的方程为y -2=k (x -1)即kx -y +2-k =0.由|2-k |k 2+1=1得k =34,结合图形可知,y -2x -1≥34,故最小值为34. 答案:34(2)形如t =ax +by 的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2)); (3)形如(x -a )2+(y -b )2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2)).以题试法2.(1)(2012·东北三校联考)与曲线C :x 2+y 2+2x +2y =0相内切,同时又与直线l :y =2-x 相切的半径最小的圆的半径是________.(2)已知实数x ,y 满足(x -2)2+(y +1)2=1则2x -y 的最大值为________,最小值为________.解析:(1)依题意,曲线C 表示的是以点C (-1,-1)为圆心,2为半径的圆,圆心C (-1,-1)到直线y =2-x 即x +y -2=0的距离等于|-1-1-2|2=22,易知所求圆的半径等于22+22=322.(2)令b =2x -y ,则b 为直线2x -y =b 在y 轴上的截距的相反数,当直线2x -y =b 与圆相切时,b 取得最值.由|2×2+1-b |5=1.解得b =5±5,所以2x -y 的最大值为5+5,最小值为5- 5.答案:(1)322 (2)5+5 5-5与圆有关的轨迹问题典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图,已知点A (-1,0)与点B (1,0),C 是圆x 2+y 2=1上的动点,连接BC 并延长至D ,使得|CD |=|BC |,求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程.[自主解答] 设动点P (x ,y ),由题意可知P 是△ABD 的重心. 由A (-1,0),B (1,0),令动点C (x 0,y 0), 则D (2x 0-1,2y 0),由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+1+2x 0-13,y =2y 03,则⎩⎪⎨⎪⎧x 0=3x +12,y 0=3y 2(y 0≠0),代入x 2+y 2=1,整理得⎝⎛⎭⎫x +132+y 2=49(y ≠0), 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x +132+y 2=49(y ≠0).由题悟法求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.以题试法3.(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍,则动点P 的轨迹方程为( )A .x 2+y 2=32B .x 2+y 2=16C .(x -1)2+y 2=16D .x 2+(y -1)2=16解析:选B 设P (x ,y ),则由题意可得2(x -2)2+y 2=(x -8)2+y 2,化简整理得x 2+y 2=16.与圆有关的交汇问题是近几年高考命题的热点,这类问题,要特别注意圆的定义及其性质的运用. 同时,要根据条件,合理选择代数方法或几何方法, 凡是涉及参数的问题,一定要注意参数的变化对问 题的影响,以便确定是否分类讨论.同时要有丰富 的相关知识储备,解题时只有做到平心静气地认真 研究,不断寻求解决问题的方法和技巧,才能真正 把握好问题.[典例] (2011·江苏高考)设集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎪⎪m2≤(x -2)2+y 2≤m 2,x ,y ∈R ,B ={(x ,y )|2m ≤x +y ≤2m +1,x ,y ∈R }.若A ∩B ≠∅,则实数m 的取值范围是________.[解析] 由题意知A ≠∅,则m 2≤m 2,即m ≤0或m ≥12.因为A ∩B ≠∅,则有:(1)当2m +1<2,即m <12时,圆心(2,0)到直线x +y =2m +1的距离为d 1=|2-2m -1|2≤|m |,化简得2m 2-4m +1≤0,解得1-22≤m ≤1+22,所以1-22≤m ≤12; (2)当2m ≤2≤2m +1,即12≤m ≤1时,A ∩B ≠∅恒成立;(3)当2m >2,即m >1时,圆心(2,0)到直线x +y =2m 的距离为d 2=|2-2m |2≤|m |,化简得m 2-4m +2≤0, 解得2-2≤m ≤2+2, 所以1<m ≤2+ 2.综上可知:满足题意的m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12,2+2. [答案] ⎣⎡⎦⎤12,2+2 [题后悟道] 该题是圆与集合,不等式交汇问题,解决本题的关键点有: ①弄清集合代表的几何意义;②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围. 针对训练若直线l :ax +by +4=0(a >0,b >0)始终平分圆C :x 2+y 2+8x +2y +1=0,则ab 的最大值为( )A .4B .2C .1D.14解析:选C 圆C 的圆心坐标为(-4,-1), 则有-4a -b +4=0,即4a +b =4. 所以ab =14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +b 22=14×⎝⎛⎭⎫422=1.当且仅当a =12,b =2取得等号.1.圆(x +2)2+y 2=5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A .(x -2)2+y 2=5 B .x 2+(y -2)2=5 C .(x +2)2+(y +2)2=5D .x 2+(y +2)2=5解析:选A 圆上任一点(x ,y )关于原点对称点为(-x ,-y )在圆(x +2)2+y 2=5上,即(-x +2)2+(-y )2=5.即(x -2)2+y 2=5.2.(2012·辽宁高考)将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( )A .x +y -1=0B .x +y +3=0C .x -y +1=0D .x -y +3=0解析:选C 要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2).A ,B ,C ,D 四个选项中,只有C 选项中的直线经过圆心.3.(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x -3y =0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是( )A .(x -3)2+⎝⎛⎭⎫y -732=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y -3)2=1D.⎝⎛⎭⎫x -322+(y -1)2=1 解析:选B 依题意设圆心C (a,1)(a >0),由圆C 与直线4x -3y =0相切,得|4a -3|5=1,解得a =2,则圆C 的标准方程是(x -2)2+(y -1)2=1.4.(2012·海淀检测)点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y +1)2=4 C .(x +4)2+(y -2)2=4D .(x +2)2+(y -1)2=1解析:选A设圆上任一点为Q (x 0,y 0),PQ 的中点为M (x ,y ),则⎩⎨⎧x =4+x 02,y =-2+y2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -4,y 0=2y +2.因为点Q 在圆x 2+y 2=4上,所以(2x -4)2+(2y +2)2=4,即(x -2)2+(y +1)2=1.5.(2013·杭州模拟)若圆x 2+y 2-2x +6y +5a =0,关于直线y =x +2b 成轴对称图形,则a -b 的取值范围是( )A .(-∞,4)B .(-∞,0)C .(-4,+∞)D .(4,+∞)解析:选A 将圆的方程变形为(x -1)2+(y +3)2=10-5a ,可知,圆心为(1,-3),且10-5a >0,即a <2.∵圆关于直线y =x +2b 对称,∴圆心在直线y =x +2b 上,即-3=1+2b ,解得b =-2,∴a -b <4.6.已知点M 是直线3x +4y -2=0上的动点,点N 为圆(x +1)2+(y +1)2=1上的动点,则|MN |的最小值是( )A.95B .1C.45D.135解析:选C 圆心(-1,-1)到点M 的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离d =|-3-4-2|5=95,故点N 到点M 的距离的最小值为d -1=45. 7.如果三角形三个顶点分别是O (0,0),A (0,15),B (-8,0),则它的内切圆方程为________________.解析:因为△AOB 是直角三角形,所以内切圆半径为r =|OA |+|OB |-|AB |2=15+8-172=3,圆心坐标为(-3,3),故内切圆方程为(x +3)2+(y -3)2=9.答案:(x +3)2+(y -3)2=98.(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2=4x 的焦点关于直线y =x 对称,直线4x -3y -2=0与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=6,则圆C 的方程为__________.解析:设所求圆的半径是R ,依题意得,抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(1,0),则圆C 的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x -3y -2=0的距离d =|4×0-3×1-2|42+(-3)2=1,则R 2=d 2+⎝⎛⎭⎫|AB |22=10,因此圆C 的方程是x 2+(y -1)2=10.答案:x 2+(y -1)2=109.(2012·南京模拟)已知x ,y 满足x 2+y 2=1,则y -2x -1的最小值为________.解析:y -2x -1表示圆上的点P (x ,y )与点Q (1,2)连线的斜率,所以y -2x -1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ 的方程为y -2=k (x -1)即kx -y +2-k =0.由|2-k |k 2+1=1得k =34,结合图形可知,y -2x -1≥34,故最小值为34. 答案:3410.过点C (3,4)且与x 轴,y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1,r 2,求r 1r 2. 解:由题意知,这两个圆的圆心都在第一象限, 且在直线y =x 上,故可设两圆方程为 (x -a )2+(y -a )2=a 2,(x -b )2+(y -b )2=b 2,且r 1=a ,r 2=b .由于两圆都过点C , 则(3-a )2+(4-a )2=a 2,(3-b )2+(4-b )2=b 2 即a 2-14a +25=0,b 2-14b +25=0. 则a 、b 是方程x 2-14x +25=0的两个根. 故r 1r 2=ab =25.11.已知以点P 为圆心的圆经过点A (-1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且|CD |=410.(1)求直线CD 的方程; (2)求圆P 的方程.解:(1)直线AB 的斜率k =1,AB 的中点坐标为(1,2). 则直线CD 的方程为y -2=-(x -1), 即x +y -3=0.(2)设圆心P (a ,b ),则由P 在CD 上得a +b -3=0.① 又∵直径|CD |=410,∴|P A |=210, ∴(a +1)2+b 2=40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-3,b =6或⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =-2.∴圆心P (-3,6)或P (5,-2). ∴圆P 的方程为(x +3)2+(y -6)2=40 或(x -5)2+(y +2)2=40.12.(2012·吉林摸底)已知关于x ,y 的方程C :x 2+y 2-2x -4y +m =0. (1)当m 为何值时,方程C 表示圆;(2)在(1)的条件下,若圆C 与直线l :x +2y -4=0相交于M 、N 两点,且|MN |=455,求m 的值.解:(1)方程C 可化为(x -1)2+(y -2)2=5-m ,显然只要5-m >0,即m <5时方程C 表示圆.(2)因为圆C 的方程为(x -1)2+(y -2)2=5-m ,其中m <5,所以圆心C (1,2),半径r =5-m ,则圆心C (1,2)到直线l :x +2y -4=0的距离为d =|1+2×2-4|12+22=15,因为|MN |=455,所以12|MN |=255, 所以5-m =⎝⎛⎭⎫152+⎝⎛⎭⎫2552, 解得m =4.1.(2012·常州模拟)以双曲线x 26-y 23=1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A .(x -3)2+y 2=1B .(x -3)2+y 2=3C .(x -3)2+y 2=3D .(x -3)2+y 2=9解析:选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y =0,其右焦点为(3,0),所求圆半径r =|3|12+(±2)2=3,所求圆方程为(x -3)2+y 2=3.2.由直线y =x +2上的点P 向圆C :(x -4)2+(y +2)2=1引切线PT (T 为切点),当|PT |最小时,点P 的坐标是( )A .(-1,1)B .(0,2)C .(-2,0)D .(1,3)解析:选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系,可知|PT |=|PC |2-1,故|PT |最小时,即|PC |最小,此时PC 垂直于直线y =x +2,则直线PC 的方程为y +2=-(x-4),即y =-x +2,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y =x +2,y =-x +2,解得点P 的坐标为(0,2).3.已知圆M 过两点C (1,-1),D (-1,1),且圆心M 在x +y -2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)设P 是直线3x +4y +8=0上的动点,P A 、PB 是圆M 的两条切线,A ,B 为切点,求四边形P AMB 面积的最小值.解:(1)设圆M 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0).根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,a +b -2=0.解得a =b =1,r =2,故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4. (2)因为四边形P AMB 的面积S =S △P AM +S △PBM =12|AM |·|P A |+12|BM |·|PB |, 又|AM |=|BM |=2,|P A |=|PB |,所以S =2|P A |, 而|P A |=|PM |2-|AM |2=|PM |2-4,即S =2|PM |2-4.因此要求S 的最小值,只需求|PM |的最小值即可, 即在直线3x +4y +8=0上找一点P ,使得|PM |的值最小, 所以|PM |min =|3×1+4×1+8|32+42=3,所以四边形P AMB 面积的最小值为S =2|PM |2min -4=232-4=2 5.1.在圆x 2+y 2-2x -6y =0内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( )A .5 2B .10 2C .15 2D .20 2解析:选B 由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是10,且点E (0,1)位于该圆内,故过点E (0,1)的最短弦长|BD |=210-(12+22)=25(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC |=210,且AC ⊥BD ,因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |=12×210×25=10 2.2.已知两点A (-2,0),B (0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x =0上任意一点,则△ABC 面积的最小值是________.解析:l AB :x -y +2=0,圆心(1,0)到l 的距离d =32,则AB 边上的高的最小值为32-1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32-1=3- 2.答案:3- 23.(2012·抚顺调研)已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程.解:(1)设AP 的中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). 因为P 点在圆x 2+y 2=4上,所以(2x -2)2+(2y )2=4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1.(2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中,|PN |=|BN |,设O 为坐标原点,连接ON ,则ON ⊥PQ ,所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2,所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0.第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[知识能否忆起]一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d ,圆的半径为r )相离相切相交图形量化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点d >rd =rd <r二、圆与圆的位置关系(⊙O 1、⊙O 2半径r 1、r 2,d =|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量化 d >r 1+r 2d =r 1+r 2|r 1-r 2|<d <r 1+r 2d =|r 1-r 2|d <|r 1-r 2|[小题能否全取]1.(教材习题改编)圆(x -1)2+(y +2)2=6与直线2x +y -5=0的位置关系是( ) A .相切 B .相交但直线不过圆心 C .相交过圆心D .相离解析:选B 由题意知圆心(1,-2)到直线2x +y -5=0的距离d =5,0<d <6,故该直线与圆相交但不过圆心.2.(2012·银川质检)由直线y =x +1上的一点向圆x 2+y 2-6x +8=0引切线,则切线长的最小值为( )A.7B .2 2C .3D. 2解析:选A 由题意知,圆心到直线上的点的距离最小时,切线长最小.圆x 2+y 2-6x +8=0可化为(x -3)2+y 2=1,则圆心(3,0)到直线y =x +1的距离为42=22,切线长的最小值为(22)2-1=7.3.直线x -y +1=0与圆x 2+y 2=r 2相交于A ,B 两点,且AB 的长为2,则圆的半径为( )A.322B.62C .1D .2解析:选B 圆心(0,0)到直线x -y +1=0的距离d =12.则r 2=⎝⎛⎭⎫12|AB |2+d 2=32,r =62. 4.(教材习题改编)若圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点,则实数k 的取值范围是________.解析:由题意知21+k 2>1,解得-3<k < 3.答案:(-3, 3)5.已知两圆C 1:x 2+y 2-2x +10y -24=0,C 2:x 2+y 2+2x +2y -8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是____________.解析:两圆相减即得x-2y+4=0.答案:x-2y+4=01.求圆的弦长问题,注意应用圆的几何性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.2.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的情况.直线与圆的位置关系的判断典题导入[例1](2012·陕西高考)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则() A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能[自主解答]将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得32+02-4×3=9-12=-3<0,所以点P(3,0)在圆内.故过点P的直线l定与圆C相交.[答案] A本例中若直线l为“x-y+4=0”问题不变.解:∵圆的方程为(x-2)2+y2=4,∴圆心(2,0),r=2.=32>2.又圆心到直线的距离为d=62∴l与C相离.由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.(2)代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交.以题试法1.(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(-2,0),当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时,其斜率k 的取值范围是( )A .(-22,22)B .(-2,2) C.⎝⎛⎭⎫-24,24D.⎝⎛⎭⎫-18,18 解析:选C 易知圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,直线l 的方程是y =k (x +2),即kx -y +2k =0,根据点到直线的距离公式得|k +2k |k 2+1<1,即k 2<18,解得-24<k <24.直线与圆的位置关系的综合典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中,直线3x +4y -5=0与圆x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于( )A .33B .2 3 C. 3D .1(2)(2012·天津高考)设m ,n ∈R ,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切,则m +n 的取值范围是( )A .[1-3,1+ 3 ]B .(-∞,1- 3 ]∪[1+3,+∞)C .[2-22,2+2 2 ]D .(-∞,2-2 2 ]∪[2+22,+∞)[自主解答] (1)圆x 2+y 2=4的圆心(0,0),半径为2,则圆心到直线3x +4y -5=0的距离d =532+42=1.故|AB |=2r 2-d 2=24-1=2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m +1)x +(n +1)y -2=0的距离为|m +n |(m +1)2+(n +1)2=1,所以m +n+1=mn ≤14(m +n )2,整理得[(m +n )-2]2-8≥0,解得m +n ≥2+22或m +n ≤2-2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1.圆的弦长的常用求法:(1)几何法:设圆的半径为r ,弦心距为d ,弦长为l ,则⎝⎛⎭⎫l 22=r 2-d 2. (2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式: |AB |=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题.2.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无解;若点在圆上,有一解;若点在圆外,有两解.以题试法2.(2012·杭州模拟)直线y =kx +3与圆(x -2)2+(y -3)2=4相交于M ,N 两点,若|MN |≥23,则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤-34,0B.⎣⎡⎦⎤-33,33 C .[-3, 3]D.⎣⎡⎦⎤-23,0 解析:选B 如图,设圆心C (2,3)到直线y =kx +3的距离为d ,若|MN |≥23,则d 2=r 2-⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4-3=1,即|2k |21+k 2≤1,解得-33≤k ≤ 33.圆与圆的位置关系典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x +2)2+y 2=4与圆(x -2)2+(y -1)2=9的位置关系为( )A .内切B .相交C .外切D .相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C 1C 2|=________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d =42+1=17.∵3-2<d <3+2,∴两圆相交.(2)由题意可设两圆的方程为(x -r i )2+(y -r i )2=r 2i ,r i >0,i =1,2.由两圆都过点(4,1)得(4-r i )2+(1-r i )2=r 2i ,整理得r 2i -10r i +17=0,此方程的两根即为两圆的半径r 1,r 2,所以r 1r 2=17,r 1+r 2=10,则|C 1C 2|=(r 1-r 2)2+(r 1-r 2)2=2×(r 1+r 2)2-4r 1r 2=2×100-68=8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.以题试法3.(2012·青岛二中月考)若⊙O :x 2+y 2=5与⊙O 1:(x -m )2+y 2=20(m ∈R )相交于A 、B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长是________.解析:依题意得|OO 1|=5+20=5,且△OO 1A 是直角三角形,S △O O 1A =12·|AB |2·|OO 1|=12·|OA |·|AO 1|,因此|AB |=2·|OA |·|AO 1||OO 1|=2×5×255=4. 答案:4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(-4,0)且与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,那么直线l的方程为()A.5x+12y+20=0B.5x-12y+20=0或x+4=0C.5x-12y+20=0D.5x+12y+20=0或x+4=0[尝试解题]过点(-4,0)的直线若垂直于x轴,经验证符合条件,即方程为x+4=0满足题意;若存在斜率,设其直线方程为y=k(x+4),由被圆截得的弦长为8,可得圆心(-1,2)到直线y=k(x+4)的距离为3,即|3k-2|1+k2=3,解得k=-512,此时直线方程为5x+12y+20=0,综上直线方程为5x+12y+20=0或x+4=0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时,可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在,以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1.过点A(2,4)向圆x2+y2=4所引切线的方程为__________________.解析:显然x=2为所求切线之一.当切线斜率存在时,设切线方程为y-4=k(x-2),即kx -y +4-2k =0,那么|4-2k |k 2+1=2,k =34,即3x -4y +10=0.答案:x =2或3x -4y +10=02.已知直线l 过(2,1),(m,3)两点,则直线l 的方程为________________. 解析:当m =2时,直线l 的方程为x =2; 当m ≠2时,直线l 的方程为y -13-1=x -2m -2,即2x -(m -2)y +m -6=0.因为m =2时,方程2x -(m -2)y +m -6=0, 即为x =2,所以直线l 的方程为2x -(m -2)y +m -6=0. 答案:2x -(m -2)y +m -6=0一、选择题1.(2012·人大附中月考)设m >0,则直线2(x +y )+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为( )A .相切B .相交C .相切或相离D .相交或相切解析:选C 圆心到直线l 的距离为d =1+m 2,圆半径为m .因为d -r =1+m 2-m =12(m -2m +1)=12(m -1)2≥0,所以直线与圆的位置关系是相切或相离.2.(2012·福建高考)直线x +3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,则弦AB 的长度等于( )A .2 5B .2 3 C. 3D .1解析:选B 因为圆心(0,0)到直线x +3y -2=0的距离为1,所以AB =24-1=2 3.3.(2012·安徽高考)若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( )A .[-3,-1]B .[-1,3]C .[-3,1]D .(-∞,-3]∪[1,+∞)解析:选C 欲使直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可,即|a -0+1|12+(-1)2≤2,化简得|a +1|≤2,解得-3≤a ≤1.4.过圆x 2+y 2=1上一点作圆的切线与x 轴,y 轴的正半轴交于A ,B 两点,则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C .2 D .3解析:选C 设圆上的点为(x 0,y 0),其中x 0>0,y 0>0,则切线方程为x 0x +y 0y =1.分别令x =0,y =0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0,0,B ⎝⎛⎭⎫0,1y 0,则|AB |= ⎝⎛⎭⎫1x 02+⎝⎛⎭⎫1y 02=1x 0y 0≥1x 20+y 202=2.当且仅当x 0=y 0时,等号成立.5.(2013·兰州模拟)若圆x 2+y 2=r 2(r >0)上仅有4个点到直线x -y -2=0的距离为1,则实数r 的取值范围为( )A .(2+1,+∞)B .(2-1, 2+1)C .(0, 2-1)D .(0, 2+1)解析:选A 计算得圆心到直线l 的距离为22= 2>1,如图.直线l :x -y -2=0与圆相交,l 1,l 2与l 平行,且与直线l 的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2+1.6.(2013·临沂模拟)已知点P (x ,y )是直线kx +y +4=0(k >0)上一动点,P A ,PB 是圆C :x 2+y 2-2y =0的两条切线,A ,B 是切点,若四边形P ACB 的最小面积是2,则k 的值为( )A. 2B.212 C .2 2 D .2解析:选D 圆心C (0,1)到l 的距离d =5k 2+1, 所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2-1=2, 解得k 2=4,即k =±2.又k >0,即k =2.7.(2012·朝阳高三期末)设直线x -my -1=0与圆(x -1)2+(y -2)2=4相交于A 、B 两点,且弦AB 的长为23,则实数m 的值是________.解析:由题意得,圆心(1,2)到直线x -my -1=0的距离d =4-3=1,即|1-2m -1|1+m 2=1,解得m =±33. 答案:±338.(2012·东北三校联考)若a ,b ,c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边),则圆C :x 2+y 2=4被直线l :ax +by +c =0所截得的弦长为________.解析:由题意可知圆C :x 2+y 2=4被直线l :ax +by +c =0所截得的弦长为2 4-⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2+b 22,由于a 2+b 2=c 2,所以所求弦长为2 3. 答案:2 39.(2012·江西高考)过直线x +y -22=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是________.解析:∵点P 在直线x +y -22=0上,∴可设点P (x 0,-x 0+22),且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°,∴∠OPM =30°.故在Rt △OPM 中,有OP =2OM =2.由两点间的距离公式得OP = x 20+(-x 0+22)2=2,解得x 0= 2.故点P 的坐标是( 2, 2).答案:( 2, 2)10.(2012·福州调研)已知⊙M :x 2+(y -2)2=1,Q 是x 轴上的动点,QA ,QB 分别切⊙M 于A ,B 两点.(1)若|AB |=423,求|MQ |及直线MQ 的方程; (2)求证:直线AB 恒过定点.解:(1)设直线MQ 交AB 于点P ,则|AP |=223,又|AM |=1,AP ⊥MQ ,AM ⊥AQ ,得|MP |= 12-89=13, 又∵|MQ |=|MA |2|MP |,∴|MQ |=3. 设Q (x,0),而点M (0,2),由x 2+22=3,得x =±5, 则Q 点的坐标为(5,0)或(-5,0).从而直线MQ 的方程为2x +5y -25=0或2x -5y +25=0.(2)证明:设点Q (q,0),由几何性质,可知A ,B 两点在以QM 为直径的圆上,此圆的方程为x (x -q )+y (y -2)=0,而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦,相减可得AB 的方程为qx-2y +3=0,所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0,32. 11.已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ,2t (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ,与y 轴交于点O 、B ,其中O 为原点.(1)求证:△AOB 的面积为定值;(2)设直线2x +y -4=0与圆C 交于点M 、N ,若|OM |=|ON |,求圆C 的方程.解:(1)证明:由题设知,圆C 的方程为(x -t )2+⎝⎛⎭⎫y -2t 2=t 2+4t 2, 化简得x 2-2tx +y 2-4ty =0, 当y =0时,x =0或2t ,则A (2t,0);当x =0时,y =0或4t,则B ⎝⎛⎭⎫0,4t , 所以S △AOB =12|OA |·|OB | =12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t =4为定值. (2)∵|OM |=|ON |,则原点O 在MN 的中垂线上,设MN 的中点为H ,则CH ⊥MN , ∴C 、H 、O 三点共线,则直线OC 的斜率k =2t t =2t 2=12,∴t =2或t =-2. ∴圆心为C (2,1)或C (-2,-1),∴圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5或(x +2)2+(y +1)2=5,由于当圆方程为(x +2)2+(y +1)2=5时,直线2x +y -4=0到圆心的距离d >r ,此时不满足直线与圆相交,故舍去,∴圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5.12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2-12x +32=0的圆心为Q ,过点P (0,2),且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围;(2)是否存在常数k ,使得向量OA +OB 与PQ 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.解:(1)圆的方程可写成(x -6)2+y 2=4,所以圆心为Q (6,0).过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y =kx +2,代入圆的方程得x 2+(kx +2)2-12x +32=0,整理得(1+k 2)x 2+4(k -3)x +36=0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ=[4(k -3)]2-4×36(1+k 2)=42(-8k 2-6k )>0,解得-34<k <0,即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-34,0. (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)则OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2),由方程①得x 1+x 2=-4(k -3)1+k 2.② 又y 1+y 2=k (x 1+x 2)+4.③ 因P (0,2)、Q (6,0),PQ =(6,-2), 所以OA +OB 与PQ 共线等价于-2(x 1+x 2)=6(y 1+y 2),将②③代入上式,解得k =-34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫-34,0,故没有符合题意的常数k .1.已知两圆x 2+y 2-10x -10y =0,x 2+y 2+6x -2y -40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为________________;公共弦长为________.解析:由两圆的方程x 2+y 2-10x -10y =0,x 2+y 2+6x -2y -40=0,相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x +y -5=0.圆心(5,5)到直线2x +y -5=0的距离为105=25,弦长的一半为50-20=30,得公共弦长为230. 答案:2x +y -5=0 2302.(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2+y 2-6x -8y =0,a 1,a 2,…,a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长,若数列a 1,a 2,…,a 11成等差数列,则该等差数列公差的最大值是________.解析:容易判断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的弦最短,因此,过(3,5)的弦中,最长为10,最短为46,故公差最大为10-4610=5-265. 答案:5-2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线为l ,焦点为F ,圆M 的圆心在x 轴的正半轴上,圆M 与y 轴相切,过原点O 作倾斜角为π3的直线n ,交直线l 于点A ,交圆M 于不同的两点O 、B ,且|AO |=|BO |=2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程;(2)若P 为抛物线C 上的动点,求PM ,·PF ,的最小值;(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线,切点分别为S 、T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.解:(1)易得B (1,3),A (-1,-3),设圆M 的方程为(x -a )2+y 2=a 2(a >0), 将点B (1,3)代入圆M 的方程得a =2,所以圆M 的方程为(x -2)2+y 2=4,因为点A (-1,-3)在准线l 上,所以p 2=1,p =2,所以抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由(1)得,M (2,0),F (1,0),设点P (x ,y ),则PM ,=(2-x ,-y ),PF ,=(1-x ,-y ),又点P 在抛物线y 2=4x 上,所以PM ,·PF ,=(2-x )(1-x )+y 2=x 2-3x +2+4x =x 2+x +2,因为x ≥0,所以PM ,·PF ,≥2,即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明:设点Q (-1,m ),则|QS |=|QT |=m 2+5,以Q 为圆心,m 2+5为半径的圆的方程为(x +1)2+(y -m )2=m 2+5,即x 2+y 2+2x -2my -4=0,①又圆M 的方程为(x -2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x =0,②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x -my -2=0,显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23,0.1.两个圆:C 1:x 2+y 2+2x +2y -2=0与C 2:x 2+y 2-4x -2y +1=0的公切线有且仅有( )A .1条B .2条C .3条D .4条解析:选B 由题知C 1:(x +1)2+(y +1)2=4,则圆心C 1(-1,-1),C 2:(x -2)2+(y。
必修二《圆与方程》

位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
d与r的关系
d<r
d=r
d>r
另外:① 在圆 内 点在圆内
② 在圆 上 点在圆上
③ 在圆 外 点在圆外
5、直线与圆的位置关系:
直线 : 与圆 的位置关系及判断:
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判
定
方
法
几何法:设圆心到直线的距离d=
d<r
d=r
d>r
代数法:由
消元得到一元二次方程的判别式
6、两圆的位置关系
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2, .
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) ;
(5) ;
外离外切相交内切内含
考点一:求圆心和半径
例1、已知下列圆的标准方程,求圆心和半径.
(1)、 (2)、
(3)、 (4)、
例2、已知下列圆的一般方程,求圆心和半径.(方法:配方)
(1)
(2)、
(3)、
练一练:
1、求下列圆的圆心和半径:
(1)、(x-3)2+y2=9(2)、
(3) (4)、x +y -2y-4=0
2、圆 的周长是( )
A、 B、 C、 D、
考点二:点与圆的位置关系
例1、若点(1,1)在圆 的外部,求实数a的取值范围.
A、相切B、相交
C、相离D、内含
2、已知圆 和点P(-5,4),点Q(4,-4),则P、Q两点( )
A、P在圆上,Q在圆外B、Q在圆上,P在圆外
人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_圆的方程_提高
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人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型(常考知识点)巩固练习圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程,能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题,并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点,能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程.【要点梳理】【圆的方程370891 知识要点】 要点一:圆的标准方程222()()x a y b r -+-=,其中()a b ,为圆心,r 为半径.要点诠释:(1)如果圆心在坐标原点,这时00a b ==,,圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化:如:圆心在x 轴上:b=0;圆与y 轴相切时:||a r =;圆与x 轴相切时:||b r =;与坐标轴相切时:||||a b r ==;过原点:222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ,,半径为r ,它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知,确定一个圆的方程,只需要a 、b 、r 这三个独立参数,因此,求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二:点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=,圆心为()C a b ,,半径为r ,则有(1)若点()00M x y ,在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ,在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ,在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点三:圆的一般方程当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心,为半径. 要点诠释:由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时,方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.(3)当2240D E F +->时,可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 要点四:几种特殊位置的圆的方程求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件,建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组,求出a b r 、、或D E F 、、的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. 要点六:轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程.1.当动点满足的几何条件易于“坐标化”时,常采用直接法;当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时,常采用定义法;当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时,可采用代入法(或称相关点法).2.求轨迹方程时,一要区分“轨迹”与“轨迹方程”;二要注意检验,去掉不合题设条件的点或线等. 3.求轨迹方程的步骤:(1)建立适当的直角坐标系,用(,)x y 表示轨迹(曲线)上任一点M 的坐标; (2)列出关于,x y 的方程;(3)把方程化为最简形式;(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点); (5)作答. 【典型例题】类型一:圆的标准方程例1.求满足下列条件的各圆的方程: (1)圆心在原点,半径是3;(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点,圆心在x 轴上; (3)经过点()5,1P ,圆心在点()8,3C -.【思路点拨】一般情况下,如果已知圆心或易于求出圆心,可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.【答案】(1)229x y +=(2)22(2)10x y -+=(3)()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=,与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标,所以半径为||CB =,所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一:∵圆的半径||5r CP ===,圆心在点()8,3C -∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二:∵圆心在点()8,3C -,故设圆的方程为()()22283x y r -++=又∵点()5,1P 在圆上,∴()()2225813r -++=,∴225r =∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r 2; (2)根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组;(3)解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.举一反三:【变式1】圆心是(4,―1),且过点(5,2)的圆的标准方程是( ) A .(x―4)2+(y+1)2=10 B .(x+4)2+(y―1)2=10C .(x―4)2+(y+1)2=100D .22(4)(1)x y -++=【答案】A例2.(2015秋 湖北宜昌月考)求下列各圆的标准方程: (1)圆心在直线y =0上,且圆过两点A (1,4),B (3,2);(2)圆心在直线2x +y =0上,且圆与直线x +y ―1=0切于点M (2,―1). 【思路点拨】(1)求出圆心和半径,即可求圆C 的方程;(2)设出圆心坐标,列方程组解之.其中由圆心在直线2x +y =0上得出一个方程;再由圆心到直线x +y ―1=0的距离即半径得出另一个方程.【答案】(1)22(1)20x y ++=;(2)22(1)(2)2x y -++= 【解析】(1)∵圆心在直线y =0上, ∴设圆心坐标为C (a ,0), 则|AC |=|BC |,= 即 22(1)16(3)4a a -+=-+, 解得a =―1,即圆心为(―1,0),半径||r AC ===, 则圆的标准方程为 22(1)20x y ++=, (2)设圆心坐标为(a ,b ),则20a b +=⎧⎪=解得a =1,b =-2,∴r =∴要求圆的方程为 22(1)(2)2x y -++=. 举一反三:【圆的方程370891 典型例题1】【变式1】(1)过点(2,3),(2,5)A B ---且圆心在直线230x y --=上;(2)与x 轴相切,圆心在直线30x y -=上,且被直线0x y -=截得的弦长为 【答案】(1)22(1)(2)10x y +++=(2)22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++= 【解析】(1)设圆的方程为:()222()x a y b r -+-=,则()()()()2222222325230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+--=⎨⎪--=⎪⎩,解得:21,2,10a b r =-=-= 所求圆的方程为:22(1)(2)10x y +++=(2)设圆的方程为:()222()x a y b r -+-=,则()222230142r b a b a b r ⎧=⎪⎪-=⎨⎪-+=⎪⎩解得:2139a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或2139a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩ 所求圆的方程为:22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=.类型二:圆的一般方程例3.已知直线x 2+y 2―2(t+3)x+2(1―4t 2)y+16t 4+9=0表示一个圆. (1)求t 的取值范围;(2)求这个圆的圆心和半径;(3)求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程.【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示,则它具备隐含条件D 2+E 2―4F >0,解题时,应充分利用这一隐含条件.【答案】(1)117t -<<(2)(t+3,4t 2-1)3222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】(1)已知方程表示一个圆⇔D 2+E 2―4F >0,即4(t+3)2+4(1―4t 2)2―4(16t 4+9)>0,整理得7t 2―6t―1<0117t ⇔-<<. (2)圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t 2)]2=1+6t―7t 2. ∴它的圆心坐标为(t+3,4t 2-1).(3)由7r ===≤. ∴r的最大值为7,此时圆的标准方程为 222413167497x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【总结升华】 在本例中,当t 在1,17⎛⎫-⎪⎝⎭中任取一个值,它对应着一个不同的圆,它实质上是一系列的圆,因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程,由2341x t y t =+⎧⎨=-⎩得y=4(x―3)2―1,再由117t -<<,知2047x <<,因此它是一个圆心在抛物线2204(3)147y x x ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的圆系方程. 举一反三:【圆的方程370891 典型例题2】【变式1】(1)求过(2,2),(5,3),(3,1)A B C -的圆的方程,及圆心坐标和半径; (2)求经过点(2,4)A --且与直线3260x y +-=相切于点(8,6)的圆的方程. 【答案】(1)()224(1)5x y -+-= (4,1)(2)22113300x y x y +-+-=【解析】(1)法一:设圆的方程为:220x y Dx Ey F ++++=,则8220345301030D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩,解得:8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以所求圆的方程为:228220x y x y +--+=,即()224(1)5x y -+-=,所以圆心为(4,1),法二:线段AB 的中点为为75,22⎛⎫⎪⎝⎭,321523AB k -==-线段AB 的中垂线为57322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,即3130x y --= 同理得线段BC 中垂线为260x y +-=联立2603130x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得41x y =⎧⎨=⎩所以所求圆的方程为(4,1),半径r ==所以()224(1)5x y -+-=.(2)法一:设圆的方程为:220x y Dx Ey F ++++=,则2024062382100860D E F ED DEF --+=⎧⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪⎪+++=⎩,解得:11330D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以圆的方程为22113300x y x y +-+-=.法二:过点B 与直线3260x y +-=垂直的直线是3180x y --=, 线段AB 的中垂线为40x y +-=,由318040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得:圆心坐标为113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,由两点间距离公式得半径21252r =,所以圆的方程为22113125222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【变式2】判断方程ax 2+ay 2―4(a―1)x+4y=0(a≠0)是否表示圆,若表示圆,写出圆心和半径长.【答案】表示圆,圆心坐标2(1)2,a aa -⎛⎫- ⎪⎝⎭,半径2222||a a r a -+= 【变式3】方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆,则a 的取值范围是 A .2a <-或23a > B .203a -<< C .20a -<< D .223a -<< 【答案】D【解析】方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0转化为2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭,所以若方程表示圆,则有23104a a --+>,∴ 23440a a +-<,∴ 223a -<<. 例4.(1)△ABC 的三个顶点分别为A (―1,5),B (―2,―2),C (5,5),求其外接圆的方程; (2)圆C 过点P (1,2)和Q (―2,3),且圆C 在两坐标轴上截得的弦长相等,求圆C 的方程. 【思路点拨】在(1)中,由于所求的圆过三个点,因而选用一般式,从而只要确定系数D 、E 、F 即可;注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点,所以也可先求圆心,再求半径,从而求出圆的方程.在(2)中,可用圆的一般方程,但这样做计算量较大,因此我们可以通过作图,利用图形的直观性来进行分析,从而得到圆心或半径所满足的条件.【答案】(1)x 2+y 2―4x―2y―20=0(2)(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25 【解析】(1)解法一:设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由题意有5260228055500D E F D E F D E F -+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩,解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩. 故所求的圆的方程为x 2+y 2―4x―2y―20=0.解法二:由题意可求得AC 的中垂线的方程为x=2,BC 的中垂线方程为x+y―3=0.∴圆心是两中垂线的交点(2,1),∴半径22(21)(15)5r =++-=,∴所求的圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=25,即x 2+y 2―4x―2y―20=0.(2)解法一:如右图所示,由于圆C 在两坐标轴上的弦长相等,即|AD|=|EG|,所以它们的一半也相等,即|AB|=|GF|,又|AC|=|GC|,∴Rt △ABC ≌Rt △GFC ,∴|BC|=|FC|. 设C (a ,b ),则|a|=|b|. ①又圆C 过点P (1,2)和Q (―2,3), ∴圆心在PQ 的垂直平分线上,即51322y x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,即y=3x+4,∴b=3a+4. ②由①知a=±b ,代入②得11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩.∴22(1)(2)5r a b =-+-=或5.故所求的圆的方程为(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25.即x 2+y 2+2x―2y―3=0或x 2+y 2+4x+4y―17=0. 解法二:设所求的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. ∵圆C 过点P (1,2)和Q (-2,3),∴22122049230D E F D E F ⎧++++=⎨+-++=⎩,解得38117E D F D =-⎧⎨=-⎩.∴圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+(3D―8)y+11―7D=0,将y=0代入得x 2+Dx+11―7D=0. ∴圆C 在x 轴上截得的弦长为212||4(117)x x D D -=--.将x=0代入得y 2+(3D―8)y+11―7D=0,∴圆C 在y 轴上截得的弦长为212||(38)4(117)y y D D -=---.由题意有224(117)(38)4(117)D D D D --=---,即D 2―4(11―7D)=(3D―8)2―4(11―7D),解得D=4或D=2.故所求的圆的方程为x 2+y 2+4x+4y―7=0或x 2+y 2+2x―2y―3=0.【总结升华】 (1)本例(1)的解法二思维迂回链过长,计算量过大,而解法一则较为简捷,因此,当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系,在求该圆的方程时,一般设圆的方程为一般方程,再用待定系数法来确定系数即可.(2)本例(2)中,尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系,但可通过画图分析,利用平面几何知识,找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹,从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算.(3)一般地,当给出了圆上的三点坐标,特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时,选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷;而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程,此时要注意从几何角度来分析问题,以便找到与圆心和半径相联系的可用条件.举一反三:【变式1】如图,等边△ABC 的边长为2,求这个三角形的外接圆的方程,并写出圆心坐标和半径长.【答案】30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,233,223433x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭ 类型三:点与圆的位置关系例5.判断点M (6,9),N (3,3),Q (5,3)与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系. 【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内 【解析】∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10, 分别将M (6,9),N (3,3),Q (5,3)代入得 (6―5)2+(9―6)2=10,∴M 在圆上; (3―5)2+(3―6)2=13>10,∴N 在圆外;(5―5)2+(3―6)2=9<10,∴Q 在圆内.【总结升华】点与圆的位置关系,从形的角度来看,设圆心为O ,半径为r ,则点P 在圆内⇔|PQ |<r ;点P 在圆上⇔|PQ |=r ;点P 在圆外⇔|PO |>r .从数的角度来看,设圆的标准方程为(x ―a )2+(y ―b )2=r 2,圆心为A (a ,b ),半径为r ,则点M (x 0,y 0)在圆上⇔(x 0―a )2+(y 0―b )2=r 2;点M (x 0,y 0)在圆外⇔(x 0―a )2+(y 0―b )2>r 2;点M (x 0,y 0)在圆内⇔(x 0―a )2+(y 0―b )2<r 2.举一反三:【变式1】点(a +1,a ―1)在圆22240x y ay +--=的内部,则a 的取值范围是________. 【思路点拨】直接把点(a +1,a ―1)代入圆的方程左边小于0,解不等式可得a 的范围. 【答案】(-∞,1) 【解析】∵点(a +1,a ―1)在圆22240x y ay +--=的内部(不包括边界), ∴ 22(1)(1)2(1)40a a a a ++----<,整理得:a <1. 故答案为:(-∞,1). 类型四:轨迹问题 例6.(2016 广东中山市模拟)已知曲线C 上任意一点到原点的距离与到A (3,―6)的距离之比均为12. (1)求曲线C 的方程. (2)设点P (1,―2),过点P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于B ,C 两点,且直线PB 和直线PC 的倾斜角互补,求证:直线BC 的斜率为定值.【思路点拨】(1)利用直接法,建立方程,即可求曲线C 的方程.(2)直线与圆的方程联立,求出A ,B 的坐标,利用斜率公式,即可证明直线BC 的斜率为定值.【答案】(1)22(1)(2)20x y ++-=;(2)直线BC 的斜率为定值12-. 【解析】(1)曲线C 上的任意一点为Q (x ,y ),221(1)(2)202x y =⇒++-= (2)证明:由题意知,直线PB 和直线PC 的斜率存在,且互为相反数,P (1,―2), 故可设P A :y +2=k (x ―1), 由2222222(1)(1)2(14)830(1)(2)20y k x k x k k x k k x y +=-⎧⇒++--++-=⎨++-=⎩因为点P 的横坐标x =1一定是该方程的解,故可得22831A k k x k +-=+, 同理,22831B k k x k --=+,所以(1)(1)2()12B A B A B A AB B A B A B A y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====----故直线BC 的斜率为定值12-. 【总结升华】本例求轨迹方程的方法是直接法.用直接法求曲线方程的步骤如下: (1)建系设点:建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点坐标为M (x ,y ); (2)几何点集:写出满足题设的点M 的集合P ={M |P (M )};(3)翻译列式:将几何条件P (M )用坐标x 、y 表示,写出方程f (x ,y )=0; (4)化简方程:通过同解变形化简方程;(5)查漏除杂:验证方程表示的曲线是否为已知的曲线,重点检查方程表示的曲线是否有多余的点,曲线上是否有遗漏的点. 例7.已知定点A (4,0),P 点是圆x 2+y 2=4上一动点,Q 点是AP 的中点,求Q 点的轨迹方程. 【答案】(x―2)2+y 2=1【解析】 设Q 点坐标为(x ,y ),P 点坐标为(x ',y '),则4'2x x +=且0'2y y +=,即x '=2x―4,y '=2y .又P 点在圆x 2+y 2=4上,∴x '2+y '2=4,将x '=2x―4且y '=2y 代入得(2x―4)2+(2y)2=4,即(x―2)2+y 2=1.故所求的轨迹方程为(x―2)2+y 2=1.【总结升华】 本题是求轨迹时常用的方法——代入法,对于“双动点”问题,即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时,通常用这一方法.代入法是先设所求轨迹的动点坐标为(x ,y ),在已知曲线上运动的点的坐标为(x ',y '),用x ,y 表示x ',y ',即x '=f (x,y),y '=g (x,y),并将它代入到已知曲线方程,即求出所求动点的轨迹方程.一般情况下,证明可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说明,即扣除不合题意的解或补上失去的解.举一反三:【变式1】已知定点A (2,0),点Q 是圆x 2+y 2=1上的动点,∠AOQ 的平分线交AQ 于M ,当Q 点在圆上移动时,求动点M 的轨迹方程.【答案】222439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【圆的方程370891 典型例题5】【变式2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆.【解析】以两定点所在的直线为x 轴,以两定点所在线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系,设两定点分别为()1,0,(1,0)A B -,设动点(,)P x y ,则||(1)||PA c c PB =≠,c =,整理得:()2222221(1)(22)10cxc y c x c -+-+++-=所以222222101c x y x c ++++=-,即()22222221411c c x y c c ⎛⎫+++= ⎪-⎝⎭- 所以动点的轨迹是一个圆.。
人教A高中数学必修二4. 圆的一般方程

10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守: 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体, 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致,绘 声绘色 ,令人 神往。
12简·爱人生追求有两个基本旋律:富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神; 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
2对教育来说,阅读是最基础的教学手 段,教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。
3但是现在,我们的教育在一定程度上 ,还不 够重视 阅读, 尤其是 延伸阅 读和课 外阅读 。
4. “山不在高,有仙则名。水不在深 ,有龙 则灵” 四句, 简洁有 力,类 比“斯 是陋室 ,惟吾 德馨” ,说明 陋室也 可借高 尚之士 散发芬 芳
例4.求过三点 O ( 0 , 0 ) ,M 1 (1,1) , M 2 (4, 2) 的圆的方程,并求出
这个圆的半径长和圆心坐标。
人 教 A 高 中数 学必修 二4. 圆 的 一 般方程
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同步练习:
1.求过三点 A (0,0),B (6,0),C (0,8)的圆的方 程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标。
谢谢!
人 教 A 高 中数 学必修 二4. 圆 的 一 般方程
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1应该认识到,阅读是学校教育的重要 组成部 分,一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ,一旦 离开校 园,很 可能把 书永远 丢弃在 一边, 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
设M (x,y )为⊙A 上任意一点,则圆的集合可以写作:P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程(1)标准方程()()222r b y a x =-+-,圆心()b a ,,半径为r ;点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系:当2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ,点在圆内; (2)一般方程022=++++F Ey Dx y x(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 (0422>-+F E D )当0422>-+F E D 时,方程表示圆,此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ,半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时,表示一个点;当0422<-+F E D 时,方程不表示任何图形。
(3)求圆的方程的方法:①待定系数法:先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出D ,E ,F ;②直接法:直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线0:=++C By Ax l ,圆()()222:r b y a x C =-+-,圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=,则有相离与C l r d ⇔>;相切与C l r d ⇔=;相交与C l r d ⇔<(2)过圆外一点的切线:设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k ,①若求得两个不同的解,带入所设切线的方程即可;②若求得两个相同的解,带入切线方程,得到一条切线;接下来验证过该点的斜率不存在的直线(此 时,该直线一定为另一条切线)(3) 过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆上一点为(x 0,y 0),则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系 判断条件 公切线条数外离 d>r1+r2 4条 外切 d=r1+r2 3条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 2条 内切 d=|r1-r2| 1条 内含d<|r1-r2|0条★4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d )之间的大小比较来确定。
必修二数学圆与方程知识点总结

必修二数学圆与方程知识点总结1. 圆的定义:圆是由平面上与一点(圆心)距离相等的点的集合。
2. 圆的元素:圆心、半径。
可以用(x-a)² + (y-b)² = r²表示,其中(a,b)表示圆心的坐标,r表示半径。
3. 圆的方程:一般方程:Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0,其中A、B、C、D、E为常数,A和B不能同时为零。
4. 圆的标准方程:(x-h)² + (y-k)² = r²,其中(h,k)表示圆心的坐标,r表示半径。
5. 圆的性质:- 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离,直径的长度是半径的两倍。
- 圆的半径垂直于切线,切线与半径的夹角为90度。
- 圆的弦是圆上两点之间的线段,弦的中点与圆心连线垂直,且中点在弦的中垂线上。
- 圆的弧是圆上的一段连续的线段。
- 圆心角是以圆心为顶点的角,在弧上所对的圆心角相等的弧相等。
6. 圆的相关公式:- 圆的周长:C = 2πr,其中r为半径。
- 圆的面积:A = πr²,其中r为半径。
7. 方程相关知识点:- 一次方程:形如ax + b = 0的方程,其中a和b为常数,a ≠ 0。
- 二次方程:形如ax² + bx + c = 0的方程,其中a、b、c为常数,a ≠ 0。
- 一元二次方程:只含有一个未知数的二次方程。
- 二元二次方程:同时含有两个未知数的二次方程。
- 解方程的方法:因式分解法、配方法、求根公式等。
这些是必修二数学中关于圆与方程的一些重要知识点总结,希望能对你有所帮助!。
人教A版高中数学必修二第四章圆与方程复习课件

2.(2011·高考广东卷)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2 +y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 x+y=1},则 A∩B 的元 素个数为( ). A.4 B.3 C.2 D.1 解析 集合 A 表示圆 x2+y2=1 上的点构成的集合,集合 B 表 示直线 x+y=1 上的点构成的集合,可判断直线与圆相交,故 A∩B 的元素的个数为 2. 答案 C
0
无根
d>r
离
4.2.2圆与圆的位置关系
R r
•
•
O1
d
O2
R r
•
•
O1
d
O2
两圆外离
R r
•
•
O1 d
O2
R • •r O1 d O2
两圆外切
R O1 • • r
d O2
两圆相交
两圆内切
两圆内含
判断两圆的位置关系的两种方法: 1.根据圆心距与半径和之间的大小关系. 若d<|R-r|,则两圆内含; 若d=|R-r|,则两圆内切; 若|R-r|<d<R+r,则两圆相交; 若d=R+r,则两圆外切; 若d>R+r,则两圆外离.
高考真题 1.(2011·高考安徽卷)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y =0 的圆心,则 a 的值为( ). A.-1 B.1 C.3 D.-3 解析 化圆为标准形式(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为(-1,2).∵ 直线过圆心,∴3×(-1)+2+a=0,∴a=1. 答案 B
2.联立两圆方程,看截得解得个数.
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2
人教版数学必修二圆与方程知识点总结

第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程1.以(3,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为()A.(x+3)2+(y-1)2=4B.(x-3)2+(y+1)2=4C.(x-3)2+(y+1)2=16D.(x+3)2+(y-1)2=162.一圆的标准方程为x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为()A.(1,0),4 B.(-1,0),2 2C.(0,1),4 D.(0,-1),2 23.圆(x+2)2+(y-2)2=m2的圆心为________,半径为________.4.若点P(-3,4)在圆x2+y2=a2上,则a的值是________.5.以点(-2,1)为圆心且与直线x+y=1相切的圆的方程是____________________.6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=17.一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1),圆心在直线x-3y-10=0上,求此圆的方程.8.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则a的取值范围是()A.|a|<1B.a<113C.|a|<1 5D.|a|<1 139.圆(x-1)2+y2=25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________.10.设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,且弦AB的长为2 3,求a的值.4.1.2 圆的一般方程1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是________.2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F=________.3.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则k的取值范围是()A.k>1B.k<1C.k≥1D.k≤14.已知圆的方程是x2+y2-2x+4y+3=0,则下列直线中通过圆心的是()A.3x+2y+1=0B.3x+2y=0C.3x-2y=0D.3x-2y+1=05.圆x2+y2-6x+4y=0的周长是________.6.点(2a,2)在圆x2+y2-2y-4=0的内部,则a的取值范围是()A.-1<a<1B.0<a<1C .-1<a <15D .-15<a <1 7.求下列圆的圆心和半径.(1)x 2+y 2-x =0;(2)x 2+y 2+2ax =0(a ≠0);(3)x 2+y 2+2ay -1=0.8.过点A (11,2)作圆x 2+y 2+2x -4y -164=0的弦,其中弦长为整数的共有( )A .16条B .17条C .32条D .34条9.已知点A 在直线2x -3y +5=0上移动,点P 为连接M (4,-3)和点A 的线段的中点,求P 的轨迹方程.10.已知方程x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0表示一个圆.(1)求t 的取值范围;(2)求圆的圆心和半径;(3)求该圆的半径r 的最大值及此时圆的标准方程.4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系1.直线y =x +3与圆x 2+y 2=4的位置关系为( )A .相切B .相交但直线不过圆心C .直线过圆心D .相离2.下列说法中正确的是( )A .若直线与圆有两个交点,则直线与圆相切B .与半径垂直的直线与圆相切C .过半径外端的直线与圆相切D .过圆心且与切线垂直的直线过切点3.若直线x +y =2与圆x 2+y 2=m (m >0)相切,则m 的值为( )A.12B.22C. 2 D .2 4.(2013年陕西)已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( )A .相切B .相交C .相离D .不确定5.经过点M (2,1)作圆x 2+y 2=5的切线,则切线方程为( )A.2x +y =5B.2x +y +5=0C .2x +y =5D .2x +y +5=06.(2013年浙江)直线y =2x +3被圆x 2+y 2-6x -8y =0所截得的弦长等于________.7.已知直线kx -y +6=0被圆x 2+y 2=25所截得的弦长为8,求k 的值.8.由直线y =x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2=1引切线,则切线长的最小值为( )A .1B .2 2 C.7 D .39.已知圆C :(x -2)2+(y -3)2=4,直线l :(m +2)x +(2m +1)y =7m +8.(1)证明:无论m 为何值,直线l 与圆C 恒相交;(2)当直线l 被圆C 截得的弦长最短时,求m 的值.10.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l ∶ax +y +2a =0.(1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;(2)当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且AB =2 2时,求直线l 的方程.4.2.2 圆与圆的位置关系1.已知两圆的方程x2+y2=4和x2+y2-6x+8y+16=0,则此两圆的位置关系是() A.外离B.外切C.相交D.内切2.圆x2+y2+2x+1=0和圆x2+y2-y+1=0的公共弦所在直线方程为()A.x-2y=0 B.x+2y=0C.2x-y=0 D.2x+y=03.已知直线x=a(a>0)和圆(x+1)2+y2=9相切,那么a的值是()A.2 B.3C.4 D.54.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条5.已知两圆相交于两点A(1,3),B(m,-1),两圆圆心都在直线2x-y+c=0上,则m +c的值是()A.-1 B.2C.3D.06.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为AB,则线段AB的垂直平分线方程为()A.x+y-1=0B.2x-y+1=0C.x-2y+1=0D.x-y+1=07.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2 3,求实数a的值.8.两圆(x-3)2+(y-4)2=25和(x-1)2+(y-2)2=r2相切,则半径r=____________.9.已知两圆C1:x2+y2-10x-10y=0与C2:x2+y2+6x-2y-40=0,求:(1)它们的公共弦所在直线的方程;(2)公共弦长.10.已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0.(1)求证:对任意实数a,该圆恒过一定点;(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求a的值.4.2.3 直线与圆的方程的应用1.方程x2+y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示的圆()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线x-y=0对称D.关于直线x+y=0对称2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m为()A.0或2 B.2C. 2 D.无解3.过原点的直线与圆(x+2)2+y2=1相切,若切点在第三象限,则该直线方程为() A.y=3xB.y=-3xC.y=3 3xD.y=-3 3x4.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相离,则点P(a,b)与圆的位置关系是() A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.都有可能5.圆x 2+y 2-4x -4y -1=0上的动点P 到直线x +y =0的最小距离为( )A .1B .0C .2 2D .2 2-36.过点P (2,1)作圆C :x 2+y 2-ax +2ay +2a +1=0的切线只有一条,则a 的取值是( )A .a =-3B .a =3C .a =2D .a =-27.与圆x 2+y 2-4x -6y +12=0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )A .4条B .3条C .2条D .1条8.设圆x 2+y 2-4x -5=0的弦AB 的中点P (3,1),则直线AB 的方程为____________.9.若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3,那么y x的最大值为( ) A.12 B.33 C.32D. 3 10.已知圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0及点Q (-2,3).(1)若点P (a ,a +1)在圆上,求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率;(2)若M 为圆C 上任一点,求|MQ |的最大值和最小值;(3)若实数m ,n 满足m 2+n 2-4m -14n +45=0,求k =n -3m +2的最大值和最小值. 4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系1.点P (-1,0,1)位于( )A .y 轴上B .z 轴上C .xOz 平面内D .yOz 平面内2.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x 轴的对称点的坐标是( )A .(-2,1,-4)B .(-2,-1,-4)C .(2,-1,4)D .(2,1,-4)3.点P (-4,1,3)在平面yOz 上的投影坐标是( )A .(4,1,0)B .(0,1,3)C .(0,3,0)D .都不对4.在空间直角坐标系中,点P (1,2,3),过点P 作平面yOz 的垂线PQ 垂足为Q ,则Q 的坐标为( )A .(0,2,0)B .(0,2,3)C .(1,0,3)D .(1,2,0)5.点(2,-3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )A .y 轴上B .xOy 平面上C .xOz 平面上D .第一象限内6.设x ,y 为任意实数,相应的点P (x ,y,3)的集合是( )A .z 轴上的两个点B .过z 轴上的点(0,0,3),且与z 轴垂直的直线C .过z 轴上的点(0,0,3),且与z 轴垂直的平面D .以上答案都有可能7.点A(1,-3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为()A.(3,-1,5)B.(3,7,4)C.(0,-8,1)D.(7,3,1)8.已知点A(3,y,4),B(x,4,2),线段AB的中点是C(5,6,z),则x=______,y=______,z=________.9.点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________.10.如图K4-3-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且边长为2a,棱PD ⊥底面ABCD,|PD|=2b,取各侧棱的中点E,F,G,H,试建立适当的空间直角坐标系,写出点E,F,G,H的坐标.图K4-3-14.3.2 空间两点间的距离公式1.在空间直角坐标系中,点A(2,1,5)与点B(2,1,-1)之间的距离为()A. 6 B.6C. 3 D.22.坐标原点到下列各点的距离最大的是()A.(1,1,1) B.(2,2,2)C.(2,-3,5) D.(3,3,4)3.已知A(1,1,1),B(-3,-3,-3),点P在x轴上,且|P A|=|PB|,则点P的坐标为() A.(-3,0,0) B.(-3,0,1)C.(0,0,-3) D.(0,-3,0)4.设点B是A(-3,2,5)关于xOy平面的对称点,则|AB|=()A.10 B.10C.2 10 D.405.已知空间坐标系中,A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB的中点为M,线段CM的长|CM|=()A.534 B.532C.532 D.1326.方程(x-12)2+(y+3)2+(z-5)2=36的几何意义是____________________________.7.已知点A在y轴上,点B(0,1,2),且|AB|=5,求点A的坐标.8.以A(1,2,1),B(1,5,1),C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形.9.已知点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为________.10.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),问:(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|;(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标.第四章 圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程1.C 2.D3.(-2,2) |m | 4.±5 5.(x +2)2+(y -1)2=26.A 解析:方法一(直接法):设圆心坐标为(0,b ),则由题意知?0-1?2+?b -2?2=1,解得b =2,故圆的方程为x 2+(y -2)2=1.方法二(数形结合法):作图由点到圆心的距离为1,易知圆心为(0,2),故圆的方程为x 2+(y -2)2=1.7.解:方法一:设圆心P (a ,b ),则⎩⎨⎧a -3b -10=0,?a -5?2+b 2=?a +2?2+?b -1?2, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-3. 圆的半径r =?a -5?2+b 2=?1-5?2+?-3?2=5.∴圆的标准方程为(x -1)2+(y +3)2=25.方法二:线段AB 的中点P ′⎝⎛⎭⎫5-22,0+12,即P ′⎝⎛⎭⎫32,12.直线AB 的斜率k =1-0-2-5=-17. ∴弦AB 的垂直平分线的方程为y -12=7⎝⎛⎭⎫x -32, 即7x -y -10=0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x -3y -10=0,7x -y -10=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-3.即圆心P (1,-3). 圆的半径r =?1-5?2+?-3?2=5.∴圆的标准方程为(x -1)2+(y +3)2=25.8.D9.41+510.解:∵弦AB 的长为2 3,则由垂径定理,圆心(1,2)到直线的距离等于1,∴|a -2+3|a 2+1=1,∴a =0.4.1.2 圆的一般方程1.(3,0) 2.4 3.B 4.A5.2 13π6.A7.解:(1)⎝⎛⎭⎫x -122+y 2=14,圆心⎝⎛⎭⎫12,0,半径r =12. (2)(x +a )2+y 2=a 2,圆心(-a,0),半径r =|a |.(3)x 2+(y +a )2=1+a 2,圆心(0,-a ),半径r =1+a 2.8.C 解析:圆的标准方程是:(x +1)2+(y -2)2=132,圆心(-1,2),半径r =13.过点A (11,2)的最短的弦长为10,最长的弦长为26(分别只有一条),还有长度为11,12,…,25的各2条,所以共有长为整数的弦2+2×15=32(条).9.解:设点P 的坐标为(x ,y ),A 的坐标为(x 0,y 0).∵点A 在直线2x -3y +5=0上,∴有2x 0-3y 0+5=0.又∵P 为MA 的中点,∴有⎩⎨⎧ x =4+x 02,y =-3+y 02.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -4,y 0=2y +3. 代入直线的方程,得2(2x -4)-3(2y +3)+5=0,化简,得2x -3y -6=0即为所求.10.解:(1)由圆的一般方程,得[-2(t +3)]2+4(1-4t 2)2-4(16t 4+9)>0,解得-17<t <1. (2)圆心为⎝⎛⎭⎫--2?t +3?2,-2?1-4t 2?2,即(t +3,4t 2-1),半径r =12[-2?t +3?]2+4?1-4t 2?2-4?16t 4+9? =-7t 2+6t +1.(3)r =-7t 2+6t +1=-7⎝⎛⎭⎫t -372+167, 所以当t =37时,r max =4 77, 故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x -2472+⎝⎛⎭⎫y +13492=167. 4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系1.D 2.D 3.D4.B 解析:点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,有a 2+b 2>1,圆心到直线ax +by =1的距离为d =1a 2+b 2<1=r ,所以直线与圆O 相交. 5.C 解析:因为点(2,1)在圆x 2+y 2=5上,所以切线方程为2x +y =5.6.4 5 解析:圆(x -3)2+(y -4)2=25,圆心(3,4)到直线2x -y +3=0的距离为d =|6-4+3|5=5,弦长等于252-?5?2=4 5. 7.解:设直线kx -y +6=0被圆x 2+y 2=25所截得的弦长为AB ,其中点为C ,则△OCB 为直角三角形.因为圆的半径为|OB |=5,半弦长为|AB |2=|BC |=4, 所以圆心到直线kx -y +6=0的距离为3.由点到直线的距离公式得6k 2+1=3.解得k =±3. 8.C9.(1)证明:由(m +2)x +(2m +1)y =7m +8,得mx +2x +2my +y =7m +8,即m (x +2y -7)+(2x +y -8)=0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +2y -7=0,2x +y -8=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =2. ∴无论m 为何值,直线l 恒过定点(3,2).(2)解:过圆内的一点的所有弦中,最长的弦是过该点的直径,最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦,∵圆心(2,3),定点(3,2),直径的斜率为-1,∴最短的弦的斜率为1,故最短弦的方程为x -y -1=0.∴m =-1.10.解:将圆C 的方程x 2+y 2-8y +12=0配方,得标准方程为x 2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切,则有|4+2a |a 2+1=2. 解得a =-34.故当a =-34时,直线l 与圆C 相切. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质,得⎩⎨⎧ CD =|4+2a |a 2+1,CD 2+DA 2=AC 2=22,DA =12AB =2,解得a =-7或a =-1.∴直线l 的方程是7x -y +14=0或x -y +2=0.4.2.2 圆与圆的位置关系1.B 2.D 3.A4.C 解析:圆化为标准方程,得(x -2)2+(y +1)2=4,(x +2)2+(y -2)2=9,∴圆心O 1(2,-1),r 1=2,O 2(-2,2),r 2=3.∵|O 1O 2|=5=r 1+r 2,∴两圆外切.∴公切线有3条.5.D 6.A7.解:由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为y =1a .利用圆心(0,0)到直线的距离d =⎪⎪⎪⎪1a ,得⎪⎪⎪⎪1a =22-?3?2=1,解得a =1或a =-1(舍). 8.5-2 29.解:(1)将两圆方程C 1:x 2+y 2-10x -10y =0与C 2:x 2+y 2+6x -2y -40=0相减,得2x +y -5=0.∴公共弦所在直线的方程为2x +y -5=0. (2)圆C 1:x 2+y 2-10x -10y =0的标准方程为(x -5)2+(y -5)2=50,圆心为(5,5),半径为5 2,圆心到直线2x +y -5=0的距离为2 5,根据勾股定理和垂径定理,知公共弦长为2 30.10.(1)证明:将圆的方程整理,得(x 2+y 2-20)+a (-4x +2y +20)=0,此方程表示过圆x 2+y 2=20与直线-4x +2y +20=0的交点的圆系,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+y 2=20,4x -2y -20=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =-2. 故对任意实数a ,该圆恒过定点(4,-2).(2)解:圆的方程可化为(x -2a )2+(y +a )2=5a 2-20a +20=5(a -2)2.①若两圆外切,则2+5?a -2?2=5a 2,解得a =1+55或a =1-55(舍); ②若两圆内切,则|5?a -2?2-2|=5a 2,解得a =1-55,或a =1+55(舍). 综上所述,a =1±55. 4.2.3 直线与圆的方程的应用1.D 解析:该圆的圆心(-a ,a ),在直线x +y =0上,故关于直线x +y =0对称.2.B 解析:圆心(0,0)到直线x +y +m =0的距离d =|m |2=m ,m =2. 3.C4.C 解析:由于直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相离,则1a 2+b2>1,即a 2+b 2<1, ∴P 在圆内.5.C 6.A7.A 解析:过原点的直线也满足条件.8.x +y -4=09.D 解析:方法一:∵实数x ,y 满足(x -2)2+y 2=3,∵记P (x ,y )是圆(x -2)2+y 2=3上的点,y x是直线OP 的斜率,记为k .∴直线OP :y =kx ,代入圆的方程,消去y ,得(1+k 2)x 2-4x +1=0.直线OP 与圆有公共点的充要条件是Δ=(-4)2-4(1+k 2)≥0,∴-3≤k ≤ 3.方法二:同方法一,直线OP 与圆有公共点的条件是|k ·2-0|k 2+1≤3,∴-3≤k ≤ 3. 10.解:(1)∵点P (a ,a +1)在圆上,∴a 2+(a +1)2-4a -14(a +1)+45=0.解得a =4,∴P (4,5).∴|PQ |=?4+2?2+?5-3?2=210,k PQ =3-5-2-4=13. (2)∵圆心坐标C 为(2,7),半径为2 2,∴|QC |=?2+2?2+?7-3?2=4 2.∴|MQ |max =4 2+2 2=6 2,|MQ |min =4 2-2 2=2 2.(3)设点(-2,3)的直线l 的方程为y -3=k (x +2),即kx -y +2k +3=0,方程m 2+n 2-4m -14n +45=0,即(m -2)2+(n -7)2=8表示圆.易知直线l 与圆方程相切时,k 有最值,∴|2k -7+2k +3|1+k 2=2 2.∴k =2±3. ∴k =n -3m +2的最大值为2+3,最小值为2- 3. 4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系1.C 解析:点P 的y 轴坐标为0,则点P 在平面xOz 上.2.B 解析:点P (a ,b ,c )关于x 轴的对称点为P ′(a ,-b ,-c ).3.B 4.B 5.B 6.C 7.B8.7 8 3 9.510.解:由图知,DA ⊥DC ,DC ⊥DP ,DP ⊥DA ,故以D 为原点,DA ,DC ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系. ∵E ,F ,G ,H 分别为侧棱中点,由立体几何知识可知,平面EFGH ∥底面ABCD , 从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半,也就是b .由H 为DP 的中点,得H (0,0,b ).E 在底面ABCD 上的投影为AD 的中点,∴E (a,0,b ).同理G (0,a ,b ).F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ,故F 与E 的横坐标相同,都是a ,点F 与G 的纵坐标也同为a ,又F 的竖坐标为b ,故F (a ,a ,b ).4.3.2 空间两点间的距离公式1.B 2.C 3.A 4.A 5.C6.以点(12,-3,5)为球心,半径长为6的球7.解:由题意设A (0,y,0),则?y -1?2+4=5,得y =0或y =2,故点A 的坐标为(0,0,0)或(0,2,0).8.直角 解析:因为|AB |2=9,|BC |2=9+36=45,|AC |2=36,所以|BC |2=|AB |2+|AC |2,所以△ABC 为直角三角形.9.87解析:|AB | =?x -1?2+?5-x -x -2?2+?2x -1-2+x ?2=14⎝⎛⎭⎫x -872+57, 故当x =87时,|AB |取得最小值. 10.解:(1)假设在y 轴上存在点M ,满足|MA |=|MB |.设M (0,y,0),由|MA |=|MB |,可得32+y 2+12=12+y 2+32.显然,此式对任意y ∈R 恒成立.∴y 轴上所有点都满足关系|MA |=|MB |.(2)假设在y 轴上存在点M ,使△MAB 为等边三角形.由(1)可知,y 轴上任一点都有|MA |=|MB |,∴只要满足|MA |=|AB |,就可以使得△MAB 是等边三角形. ∵|MA |=10+y 2,|AB |=?1-3?2+?0-0?2+?-3-1?2=20,∴10+y 2=20,解得y =±10.故y 轴上存在点M ,使△MAB 为等边三角形,点M 的坐标为(0,10,0)或(0,-10,0).。
【高中数学必修二】4.1.1圆的标准方程

Q(7, 1)是在圆上,在圆内,在圆外?
2 2 (x-2) +(y+3) =25
例2:已知圆过点 A(2, -3)和B (-2, -5),若圆心在直线L:
x-2y –3 =0上,试求圆的标准方程。 解法1: 设所求圆的方程为: (x-a)2+(y-b)2=r2 则有 (2 -a)2+(-3 -b)2= r2
2 2
思考1:在平面几何中,点与圆有哪几种位置 关系? 思考2:在平面几何中,如何确定点与圆的位 置关系? A
A O OA<r O OA=r A O OA>r
从几何角度判断点圆之间的位置关系: A A O O O
A
OA<r OA=r OA>r
点M在圆内 点M在圆上 点M在圆外
从代数角度判断点圆之间的位置关系:
思考3:在直角坐标系中,已知点M(x0,y0) 和圆C:( x a)2 ( y b)2 r 2 ,如何判断 点M在圆外、圆上、圆内? (x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点M在圆上 点M在圆内 点M在圆外
例1:已知圆心A(2, -3) ,半径等于5的圆
2 2
1, 0
练一练:
2、根据已知条件,求圆的标准方程:
(1)圆心在原点,半径是3: 1 (2)圆心在( 3,- ),半径为5: 2 (3)经过点(5,1),圆心在点(8,-3):
1 2 ( x 3) ( y ) 25 2
2
x y 9
2 2
( x 8) ( y 3) 25
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高二数学必修二圆与圆的方程知识点总结Jenny was compiled in January 2021第四章 圆 与 方程★1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆定长为圆的半径。
设M (x,y )为⊙A 上任意一点,则圆的集合可以写作:P = {M | = r }★2(1 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系:当2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ,点在圆内;(2 (x+D/2)+(y+E/2)=(D +E -4F)/4 (0422>-+F E D )当0422>-+F E D 时,方程表示圆,此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ,半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时,表示一个点;当0422<-+F E D 时,方程不表示任何图形。
(3)求圆的方程的方法:待定系数法:先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出D ,E ,F ; 直接法:直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线0:=++C By Ax l ,圆()()222:r b y a x C =-+-,圆心()b a C ,到l 的距离为,则有相离与C l r d ⇔>;相切与C l r d ⇔=;相交与C l r d ⇔<(2)过圆外一点的切线k ,②若求得两个相同的解,带入切线方程,得到一条切线;接下来验证过该点的斜率不存在的直线(此 时,该直线一定为另一条切线)(3) 22=r 2,圆上一点为(x 0,y 0),则过此点★4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d )之间的大小比较来确定。
设圆()()221211:r b y a x C =-+-,()()222222:R b y a x C =-+-两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差的绝对值),与圆心距(d )之间的大小比较来确定。
(即几何法)注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 ★5、.圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 圆C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0 联立圆C 1的方程与圆C 2的方程得到一个二元一次方程① 若两圆相交,则该二元一次方程表示:圆C 1与圆C 2公共弦所在的直线方程; ② 若两圆相切,则该二元一次方程表示:圆C 1与圆C 2的公切线的方程; ③ 若两圆外离,则该二元一次方程表示的直线具有一个性质:从直线上任意一点向两个圆引切线, 得到的切线长相等(反之,亦成立) ★6、已知一直线与圆相交,求弦的长度①代数法:联立圆与直线的方程求出交点坐标,利用两点间的距离公式求弦长 ②几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理)③代数法:直线方程与圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程;利用弦长公式 :|AB|=21k +•|x1-x2| (或者|AB|=211k +•|y 1-y 2|)求解 ★7、已知两圆相交,求公共弦的长度①代数法:联立两圆的方程求出交点坐标;利用两点间的距离公式求弦长②代数法:联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程(设公共弦的端点分别为A 、B );公共弦直线方程 与任一圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程;利用弦长公式 : |AB|=21k +•|x1-x2| (或者|AB|=211k +•|y 1-y 2|)求解 ③几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理)④几何法:根据图像求解(两个直角三角形,两个未知数,解二元一次方程组) ★8、圆系与圆系方程(1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系。
(2) 圆系方程:(一).圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 圆C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0圆系方程:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0 (λ≠-1) -- (Ⅰ) ①若圆 C 1与圆C 2交于P 1、P 2点,那么,方程(Ⅰ)代表过P 1、P 2两点的圆的方程。
②若圆 C 1与圆C 2交于P点(一个点),则方程(Ⅰ)代表与圆C1 、圆C2相切于P点的圆的方程。
(二).直线l:Ax+By+C=0与圆C:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交或相切 则过它们的交点的圆系方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ★9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论x轴对称例1、已知点A(4,1),B(0,4),在直线L :y=3x-1上找一点P ,求使|PA|-|PB|最大时P 的坐标。
解:如图,设点C(x,y)是点B 关于直线L 对称点,则由3=l k , ,得:31-=BC k∴直线BC 的方程为:431+-=x y ,将其与直线y=3x-1联立,解得:D ⎪⎭⎫⎝⎛27,23,其中D 为BC 中点,利用中点坐标公式,得C (3,3)。
显然:|PA|-|PB|=|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A 、C 、P 三点共线时,|PA|-|PB|最大。
可求得:直线AC 方程为:092=-+y x ,与L 方程联立解得P 的坐标为(2,5)。
例2、光线由点C (3,3)出发射到直线L :y=3x-1上,已知其被直线L 反射后经过点A(4,1),求反射光线方程。
解:设点B 是点C 关于L 的对称点,则由光线反射的知识易知:点B 在反射光线上,故所求的反射光线的方程即为直线AB 所在的直线方程。
由例1知点C 关于L 的对称点为B (0,4),故直线AB 的方程易求得为:443+-=x y 。
它即为反射光线方程。
直线和圆1.自点(-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切,求光线L 所在直线方程.解:已知圆的标准方程是(x -2)2+(y -2)2=1,它关于x 轴的对称圆的方程是(x -2)2+(y +2)2=1。
设光线L 所在直线方程是:y -3=k(x +3)。
由题设知对称圆的圆心C ′(2,-2)到这条直线的距离等于1,即11|55|2=++=kk d .整理得,01225122=++k k 解得3443-=-=k k 或.故所求的直线方程是)3(433+-=-x y ,或)3(343+-=-x y , 即3x +4y -3=0,或4x +3y +3=0.2.已知圆C :044222=-+-+y x y x ,是否存在斜率为1的直线L ,使以L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线L 的方程,若不存在说明理由.(14分)解:圆C 化成标准方程为:2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ,圆心M 的坐标为(a ,b )由于CM ⊥L ,∴k CM k L =-1 ∴k CM =112-=-+a b ,即a +b+1=0,得b= -a -1①直线L 的方程为y -b=x --,即x -y+b -a =0 ∴ CM=23+-a b ∵以AB 为直径的圆M 过原点,∴OM MB MA == 2)3(92222+--=-=a b CM CB MB ,222b a OM+=∴2222)3(9b a a b +=+--② 把①代入②得0322=--a a ,∴123-==a a 或当25,23-==b a 时此时直线L 的方程为:x -y -4=0;当0,1=-=b a 时此时直线L的方程为:x -y+1=0 故这样的直线L 是存在的,方程为x -y -4=0 或x -y+1=0.4.已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈(1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交;(2)求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程.解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和的交点.由方程组⎩⎨⎧=-+=-+04,072y x y x 解得⎩⎨⎧==1,3y x 即两直线的交点为A )1,3( 又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离55<=d ,所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交.(2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截 得的最短弦长.此时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以.即最短弦长为54.又直线AC的斜率21-=AC k ,所以直线BD的斜率为 2.此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即5(12分)已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P 、Q 两点,且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点,求实数m 的值.解:由01220503206222=++-⇒⎩⎨⎧=-+=+-++m y y y x m y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧+==+∴51242121m y y y y 又OP ⊥OQ , ∴x 1x 2+y 1y 2=0,而x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2= 5274-m∴05125274=++-m m 解得m=36.已知圆C :(x+4)2+y 2=4和点A(-23,0),圆D 的圆心在y 轴上移动,且恒与圆C 外切,设圆D 与y 轴交于点M 、N. ∠MAN 是否为定值若为定值,求出∠MAN 的弧度数;若不为定值,说明理由.【解】设圆D 的方程为),0()(222>=-+r r b y x 那么).,0(),,0(r b N r b M -+因为圆D 与圆C 外切, 所以.124162222-=-⇒+=+r r b b r又直线NA MA ,的斜率分别为 .32,32r b k r b k MB MA -=+=.334341234323213232tan 22π=∠⇒==-+=-++--+=∠∴MAN r r r b r r b r b rb rb MAN 为定值 夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( )(A)21 (B)53 (C)23(D) 0 解 已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ,即得圆心)1,1(C 和半径1=r .设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ,则在切线长、半径r 和PC 构成的直角三角形中,522cos=θ,∴5312cos 2cos 2=-=θθ,故选(B).点评:处理两切线夹角θ问题的方法是:先在切线长、半径r 和PC 所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值,再用二倍角公式解决夹角θ问题.。