四种命题 四种命题间的相互关系

归纳升华 1．写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和 结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根 据四种命题的结构写出所求命题． 2．在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添 加一些词语，但不能改变条件和结论．
[变式训练] 判断下列命题的真假，并写出它们的逆 命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
答案：B
类型 3 等价命题的应用 [典例 3] 判断命题“若 a≥0，则方程 x2＋x－a＝0 有实根”的逆否命题的真假． 解：法一：逆否命题：若方程 x2＋x－a＝0 无实根， 则 a＜0.判断如下： 因为方程 x2＋x－a＝0 无实根， 所以Δ＝1＋4a＜0，解得 a＜－14＜0. 所以命题“若方程 x2＋x－a＝0 无实根，则 a＜0”是 真命题．
[变式训练] 下列命题为真命题的是( )
①“若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若 m>0，则 x2＋2x－m＝0 有实根”的逆否命题；
④“若 x－ 2是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题．
A．①②③④
B．①③④
C．②③④
D．①④
解析：①原命题的否命题为“若 x2＋y2＝0，则 x，y
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≤0，所以是真命题；③否命题“不全等的三角形的面积 不相等”，是假命题；④否命题“若 ab＝0，则 a＝0”是 假命题，故只有①②是真命题．
答案：①②
类型 1 四种命题的概念 [典例 1] 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命 题，并判断它们的真假． (1)若 m·n<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实数根； (2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧； (3)若 m≤0 或 n≤0，则 m＋n≤0； (4)在△ABC 中，若 a>b，则∠A>∠B. 解：(1)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根， 则 m·n<0，假命题．
否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数 根，假命题．
逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n ≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的 弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直 线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的 弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题．
(3)逆命题：若 m＋n≤0，则 m≤0 或 n≤0，真命题． 否命题：若 m>0 且 n>0，则 m＋n>0，真命题． 逆否命题：若 m＋n>0，则 m>0 且 n>0，假命题． (4)逆命题：在△ABC 中，若∠A>∠B，则 a>b，真命题． 否命题：在△ABC 中，若 a≤b，则∠A≤∠B，真命题． 逆否命题：在△ABC 中，若∠A≤∠B，则 a≤b，真命 题．
答案：C
2．命题“若 a＞b，则 2a＞2b－1”的否命题为 ___________________________________________． 解析：否命题为“若¬ p，则¬ q”，则否命题为“若 a≤b，则 2a≤2b－1”． 答案：“若 a≤b，则 2a≤2b－1”
3．下列命题： ①“等边三角形三内角都为 60°”的逆命题； ②“若 k>0，则 x2＋2x－k＝0 有实根”的逆否命题； ③“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“若 ab≠0，则 a≠0”的否命题； 其中真命题的序号为________． 解析：①逆命题“三内角都为 60°的三角形为等边 三角形”，真命题；②逆否命题“若 x2＋2x－k＝0 没有实 根，则 k≤0”，因为Δ＝4＋4k<0，所以 k<－1，满足 k
边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等 的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四 边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若 ac2>bc2，则 a>b”的逆命题是“若 a>b，则 ac2>bc2”，是 假命题．所以真命题是①②③.
答案：①②③
归纳升华 要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命 题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其 他知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．
3．四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假 性没有关系．
温馨提示 在四种命题中，真命题的个数可能为 0，2，4 个，不 会出现奇数个．
1．下列判断中不正确的是( ) A．命题“若 A∩B＝B，则 A∪B＝A”的逆否命题 为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知 a，b，m∈R，若 am2<bm2，则 a<b”的逆 命题是真命题 D．“若 x∈N*，则(x－1)2>0”是假命题
类型 2 四种命题的关系 [典例 2] 下列命题： ①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题； ②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“若 ac2>bc2，则 a>b”的逆命题． 其中是真命题的是________(填序号)． 解析：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题 是“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”，是真命题；②“四条
(1)若 x2＋y2＝0，则 x，y 全为零； (2)若在二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0， 则该函数图象与 x 轴有交点． 解：(1)该命题为真命题． 逆命题：若 x，y 全为零，则 x2＋y2＝0，真命题． 否命题：若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为零，真命题． 逆否命题：若 x，y 不全为零，则 x2＋y2≠0，真命题．
全为零”，故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三
角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题．③ 原命题的逆否命题为“若 x2＋2x－m＝0 无实根，则 m≤ 0”．因为方程无实根，所以判别式 Δ＝4＋4m<0，所以 m<－1，即 m≤0 成立，故为真命题．④原命题的逆否命 题为“若 x 不是无理数，则 x－ 2不是有理数”．因为 x 不是无理数，所以 x 是有理数．又 2是无理数，所以 x － 2是无理数，不是有理数，故为真命题．所以真命题 为①③④.
解析：A 中，逆否命题“若 A∪B≠A，则 A∩B≠B” 是真命题，正确；B 中，否命题“不是矩形的四边形的两 条对角线不相等”是假命题，正确；C 中，逆命题“已知 a，b，m∈R，若 a<b，则 am2<bm2”是假命题．所以 C 错误，符合题意．D 中，因为 x＝1 时，(1－1)2＝0，所以 是假命题，正确．
1.1 命题及其关系 1．1.2 四种命题 1．1.3 四种命题间的相互关系
1．四种命题的概念 (1)原命题与逆命题．
(2)原命题与否命题． (3)原命题与逆否命题．
温馨提示 不是“若 p，则 q”形式的命题，最好先改写成“若 p，则 q”的形式，然后写出其他三种命题．
2．四种命题之间的关系
(2)该命题为假命题． 逆命题：若二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴有交点，则 b2－4ac<0，假命题． 否命题：若在二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2 －4ac≥0，则该函数图象与 x 轴无交点，假命题． 逆否命题：若二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象 与 x 轴无交点，则 b2－4ac≥0，假命题．