基本不等式链的一种有趣的几何解释

( 甲) 图2
( 乙)
如图 2( 甲) 是第七届国际数学教育大会 ( 简称 ICM E - 7) 的会徽图案, 会徽的主体图案是由如图 2( 乙 ) 的一连串直角三角形演化而成的, 其中 OA 1 = A1 A2 = A 2A 3 = = A 7 A 8 = 1.
专论荟萃
数学通讯
2011 年第 3 期 ( 上半月 )
2 2 . > 1 1 1 1 + + 2 a b a2 b 这样 , 就给出了基本不等式链的一个直观有 趣的几何解释 . 借助这个几何解释, 可以加深对基 本不等式的理解记忆. 同学们还可进一步思考, 给 出基本不等式链更加直观简明的几何解释 . ( 收稿日期 : 2010 - 09 - 08)
图3
a + b 2
2
2
>
a+ b > 2
ab >
2 2 > 1+ 1 1+ 1 2 2 a b a b 有趣的是, 对上述基本不等式链 , 存在一个 非常直观且易于被同学们理解的几何解释 . 这个 直观有趣的几何解释源于以下一个漂亮的会徽.
设 a > b, 如图 3 所示, 在 Rt A BC , Rt ACD , Rt AD E , Rt AI E , Rt AI J , Rt A K J 中, 令 a+ b A D = AH = , 2 a- b CH = CD = DE = EI = IJ = , 2 A D = AI , A E = A J , AK = AC . 在 Rt A CD 中 , AC = A D + CD
ab = a 2 + b2 2
2 . 1 1 2 + 2 a b
A B > A C > A D > AE > A F > A G . 即 a 2 + b2 > a+ b a2 + b2 > 2 a+ b > 2 ab >
= AI
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由图 3 直观可知 , A B > A C > A D > A E > AF 另外 , 由于 A , F, J , G 四点共圆, 所以 A FG AJ G = A K J , AGF = AJF = AIJ . 又在 A I K 中, A K = A C > AD = AK > AI AI K > AK J . 在 A FG 中, AIJ > A K J AF > A G 综合 可得
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基本不等式链的一种有趣的几何解释
康 宇
( 广东省深圳市石岩公学高中部 , 518108)
2010 年湖北省高 考理科试 卷中有如 下一道 试题 : 设 a > 0 , b > 0, 称 2ab a+ b 为 a, b 的调和平均数 . 如图 1 , C 为线段 A B 上的点 , 且 A C = a, CB = b, O 为 A B 的中 图1 点, 以 A B 为直径作半圆. 过点 C 作 OD 的垂线, 垂 足为 E, 连结 OD , A D , BD . 过点 C 作 OD 的垂线 , 垂足为 E, 则图中线段 OD 的长度是 a , b 的算术平 均数 , 线段 的长度是 a, b 的几何平均数 , 线段 的长度是 a, b 的调和平均数. 对于本 题, 同 学 们不 难 得出 其 答案 顺 次为 CD, CE . 不难看出, 本题的命题背景是源于对基本不 2 等式链: a+ b ab 的一种几何解释 . 2 1 1 + a b a+ b 不同版本的教材对基本不等式 ab 2 有不尽相同的几何解释, 并且还有进一步延拓的 可能性, 如以下基本不等式链 : 若 a, b 为不相等的正数 , 则 a + b > a+ b
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例 3 在数列 { an } 和{ bn } 中 , a 1 = 2 , b1 = - 4 且满足 a n = an- 1 - bn- 1 , b n = 3 an- 1 + 5 bn- 1 , 求数列 { a n } 和{ b n } 的通项公式. 解 a= 1 , b = - 1, c = 3, d = 5, a+ d = 6, ad - bc = 8, 数列{ an } 和{ bn } 的特征方程为 x 2 - 6 x + 8 = 0, 解得 x 1 = 2, x 2 = 4. 根据定理 2 的结论 , 令 c n = 3a n + b n , d n = 3an + 3b n , 则数列{ cn } 和 { d n } 分别是以 2 和 4 为公比的 等比数列 , 其中 c1 = 2, d 1 = - 6, cn = 2n , d n = - 6 4 n- 1 , 3an + b n = 2n , 3an + 3b n = - 6 4 n- 1 , a n = 4n- 1 + 2 n- 1 , bn = - 3 4 n- 1 - 2 n- 1 . 例 4 在数列{ an } 和 { bn } 中, a 1 = 1 , b1 = t an , an = an- 1 cos - bn- 1 sin , b n = a n- 1 sin + b n- 1 cos . 求数列{ an } 和{ bn } 的通项公式 . 解 a = cos , b = - sin , c = sin , d = co s , a + d = 2cos , ad - bc = 1, 数列{ an } 和 { b n } 的特征方程为 x 2 - 2cos x+ 1= 0 , x0 = co s + isin 是它的一个根 . 由定理 2 的结论, 令 cn = an sin + ib n sin , 则数 列{ cn } 是以 x 0 为公比的等比数列. 其中 c1 = sin + it an sin = tan ( cos + isin ) , n c n = tan ( cos + isin ) = tam ( co sn + isinn ) = co sn sin + i sinn sin . cos co s cosn 根据复数相等的定义, 有 an = , bn = cos sinn . cos ( 收稿日期 : 2010 - 10 - 26)
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an = 1 - 1 = 5 - 1 . bn 2n 例 2 ( 2008 年陕西 省高考试 题 ) 已 知数列 3a n , 求数列 { a n } { an } 的首项 a1 = 3 , a n+ 1 = 5 2an + 1 的通项公式. 解 a = 3, b = 0, c = 2, d = 1, a+ d = 2 4, ad - bc = 3, 数列 { a n } 的特征方程为 x - 4x + 3 = 0, 解得 x 1 = 3, x 2 = 1. 2 an 根据定理 1 的结论, 令 b n = , 即 bn = 2 an - 2 an , 则数列 { b n } 是以 3 为公比的等比数列, an - 1 a1 bn = 3n- 1 = - 1 3n , a1 - 1 2 n an = - 1 3n , an = n3 . an - 1 2 3 + 2 定理 2 已知数列{ an } , { bn } 满足 a1 = , b 1 = , a n = aa n- 1 + bb n- 1 , b n = ca n- 1 + db n- 1 . x 0 ( x 0 0) 是方程 x 2 - ( a+ d) x + ad - bc = 0 的一个 根, 设 cn = ca n + ( x 0 - a) b n , 则数列{ cn } 是 x 0 为公 比的等比数列. 2 证明 x 0 是方程 x - ( a + d) x + ad - bc 2 = 0 的根 , bc - ad = x 0 - ( a + d ) x 0 . 令 cn = ca n + ( x 0 - a) b n , 则 cn+ 1 = ca n+ 1 + ( x 0 - a) bn+ 1 = c( aa n + bb n ) + ( x 0 - a) ( ca n + db n ) = x 0 ca n + [ ( bc - ad ) + dx 0 ] b n = x 0 ca n + [ x 2 0 - ( a + d) x 0 + x 0 d] b n = x 0 [ ca n + ( x 0 - a) bn ] = x 0 cn , 数列 { cn } 是公比为 x 0 的等比数列. 2 说明 我们称方程 x - ( a+ d) x + ad - bc = 0 为数列{ a n } 和{ b n } 的特征方程. ( 上接第 43 页) AG = AJ = AE = AK AK
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a2 + b2 . ( a + b) 2 + ( a - b) 2 = 2 2 2 2 在 Rt A BC 中 , A C = A B A H a2 + b2 2 2 2 2 A B = AC = = a + b . AH a+ b a+ b 2 在 Rt ( A DE 中 , A E = AD 2 - DE 2 , a+ b 2 a- b 2 ) - ( ) = ab . 2 2 在 Rt A IE 中 , EF A I , A E 2 = A F AI 2 2 AE AE ab 2 AF = = = = . AI AD a+ b 1+ 1 2 a b 在 Rt A K J 中, JG A K , AJ 2 = A G A K ( 下转第 45 页)
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不难得到 OA 1 = 1, OA 2 = OA 3 = OA 5 = 3 , OA 4 = 5 , OA 6 = 2, 4, 6,
OA 7 = 7 , OA 8 = 8 . 显然 , OA 8 > OA 7 > OA 6 > OA 5 > OA 4 > OA 3 > OA 2 > OA 1 . 受上述会徽的启示, 下面我们给出不等式链 的一种简明的图形解释 , 供同学们学习时参考.