(精品)数学讲义九年级寒假班第1讲：数与式-学生版

数与式

知识结构

模块一：实数与运算

知识精讲

一、数的整除

1、整数的意义和分类：

自然数：零和正整数统称为自然数；

整数：正整数、零、负整数，统称为整数．

2、整除：

(1)整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b

能整除a．

(2)整除的条件(两个必须同时满足)：

○1除数、被除数都是整数；○2被除数除以除数，商是整数且余数为零．

3、除尽与整除的异同点：

相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除；

不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；

除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零．

4、因数和倍数：

整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)．

注意：(1)在整除的条件下，才有因数和倍数的概念；

(2)倍数和因数是相互依存的，不能单独存在．

5、求一个数的因数的方法：

(1)列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算

式中的因数就是该数的因数．

(2)列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的

因数．

6、求一个数的倍数的方法：

求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数．

7、因数和倍数的性质(规律总结)：

1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；

0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数；

一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数．

8、2的倍数的特征：

个位数字是0，2，4，6，8的数．

9、偶数、奇数的意义以及它们的运算性质：

在自然数中，是2的倍数的数是偶数(即个位是0，2，4，6，8的数)；

在自然数中，不是2的倍数的数是奇数(即个位是1，3，5，7，9的数)

注：最小的偶数是0，没有最大的偶数；最小的奇数是1，没有最大的奇数；

一个整数不是奇数就是偶数，奇数的个位上的数是奇数．

10、5的倍数的特征：

个位数字是0或5的整数，都是5的倍数．

11、3的倍数的特征：

一个整数各个数位上的数字相加的和是3的倍数的数是3的倍数．

注：(1)既能被2整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0的数(或者说是10的倍数的整数)；

(2)既能被3整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0或5，且各个位上数字相加之

和是3的倍数(或者说是15的倍数的整数)；

(3)既能被2整除又能被3整除的整数的特征：个位上数字是0，2，4，6，8且各个位上数

字相加之和是3的倍数(或者说是6的倍数的整数)；

(4)既能被2整除又能被3和5整除的整数的特征：个位上数字是0，且各个位上数字相加之

和是3的倍数(或者说是30的倍数的整数)． 12、 素数与合数： 素数：一个正整数，如果只有1个和它本身两个因数，这样的数叫做素数． 合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数．

正整数按照含因数的个数分类，可以分为1、素数与合数．

13、 素因数和分解素因数：

素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数． 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．

注：素因数相对于合数而言，不能单独存在；一个数分解素因数的形式是唯一的；书写时，一般写成“合数=素因数相乘”的形式． 14、 分解素因数的方法： 分解素因数的方法通常有以下两种：

树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式．

短除法：先用一个能整除这个合数的素数(通常从最小的开始)去除；得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续下去，直到得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式． 二、 分数 1、 分数的意义：

把一个总体平均分成若干份之后，其中的1份或若干份可以用分数表示．

2、 分数和除法的关系： 两个正整数相除，他们的商可以用分数表示，具体关系如下：

==

÷被除数分子被除数除数除数分母，即：p

p q q

÷=，其中p 为分子，q 为分母．

读法：p q 读作q 分之p ．特别地，当q = 1时，1p

q

=．

3、 用数轴上的点表示分数：

任何一个分数可以用数轴上的点来表示．

4、 分数的基本性质：

分数的分子和分母都乘以或除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．即：a a k a n

b b k b n ⨯÷==

⨯÷(0b ≠，0k ≠，0n ≠) 5、 最简分数：

分子和分母互素的分数，叫做最简分数．

6、 约分：

把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分．

7、 通分：

将异分母的分数分别化为与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分．

(1)两个分数的公分母：两个分数的分母的公倍数叫做这两个分数的公分母，通常取最小公

倍数作公分母．

(2)通分的依据：分数的基本性质，所以通分后分数值保持不变．

(3)通分的方法：一般先求出几个分数的分母的最小公倍数，把这个最小公倍数做分母，分

子扩大相应的倍数． 8、 分数的大小比较：

(1)同分母的分数，分子大的那个分数较大． (2)同分子分数，分母大的那个分数反而小．

(3)异分母的分数，先通分，化成同分母后再按照同分母分数的大小比较的方法确定分数的

大小关系． 三、 比和比例 1、 比的定义：

a 、

b 是两个数或两个同类的量，为了把b 和a 相比较，将a 与b 相除，叫做a 与b 的

比．记做a :b ，或写成a

b ，其中0b ≠，读作：a 比b ，或a 与b 的比．

“:”叫做比号，读作“比”；比号前的数a 叫做比的前项；比号后面的数b 叫做比的后项．前项a 除以后项b 所得的商叫做比值． 2、 比与分数、除法之间的关系：

比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；比的后项相当于分数的分母和除式中的除数； 比号相当于分数线和除号；比值相当于分数值和除式的商．

求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位．

3、 比的基本性质：

(1)比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变．即

:::a b

a b ma mb m m == (0m ≠)．运用比的性质可以把比化成最简整数比．

(2)三项连比的性质：若::p q m n =，::q r n k =，则::::p q r m n k =，若0k ≠，则

::::::p q r p q r pk qk rk k k k

==

． 4、 比例：

(1)表示两个比相等的式子，叫做比例．式子表示为：::a b c d =； (2)内项、外项：b 、c 叫做比例的内项；a 、b 叫做比例的外项；