随机折现因子理论

随机折现因子理论
一、随机折现因子概述
资产定价理论的中心问题是处理风险与回报间的关系。

在金融市场不存在无风险套利机会的条件下,资产的价格与其未来的收益可以通过“随机折现因子联系起来从而得到基本定价方程，Cochrane(1999)在随机折现因子理论框架重新阐述了整个资产定价理论。

随机折现因子的定价方程式为:
P i,t=E t(M t+1x i,t+1) (1)
其中:M t+1=f(参数)是随机折现因子;P i,t为资产i在t时的价格;x是t+1时刻资产i的损益情况;E t为在当前已知信息条件下的条件期望收益。

假设P i,t不为0,令1+R i,t+1=x i,t+1P i,t则(1)又可以表示为:
1=E t[M t+1(1+R i,t+1)] (2)
式(2)主要运用Arrow-Debreu一般均衡模型,Cox,Ross(1976)和Ross(1978)的期权定价模型和Ross(1976)的套利定价理论(APT)。

二、单位证券与随机折现因子
假设：(1)假设证券未来可能出现的状态是可分的;(2)期末将只出现N个状态:(1,2,…N),并且状态n出现的概率是πn,n=1,2,…N;(3)假设有N个单位证券，当状态n出现时,单位证券n的损益是1,而在其他的状态时的损益是0。

用v n表示基本证券n的价格,也称为状态价格,于是可得状态价格向量:(v1,v2,.…v N)
现在给定任一风险证券i，证券i现在时刻的价格为P i，期末时刻它在状态n下的损益为x i(n)，我们可以将证券i的损益图表示如下：
不管是基本证券还是一般证券，未来价格都有N种可能性，因此，我们可以用
N个单位证券的组成一个新的组合,组合中第n个单位证券的投资数量为x i(n)。

即G＝[x iT(1),x IT(2)，x iT(3),……]。

当第一种状态发生时，组合G未来的损益为：
x iT(1)*1+x iT
(2)*0+x iT(3)*0+……＝x iT(1)
依次类推，当第n种状态发生时，组合G的损益为x iT(n).令组合G今天的价格为P G，则)
(
1
n
x
v
P
iT
N
n
n
G∑=
=，我们可以将组合G的价格变化过程表示为如下图：
由于组合G 未来的损益状态与证券i 完全相同，根据套利均衡定价原理,即未来损益完全相同的两个证券，它们现在的价格也相同，可得到证券i 现在时刻的价格:
)(1n x v P P iT N
n n G i ∑=== (3) x i (n)是状态为n 时的损益,证券i 在未来时刻各种状态下损益的集合，也可用随机变量x i 表示。

可用P(x i )表示证券i 今天的价格，可以将(3)式改写为:
p(xi)=∑svs πs πsxi(s) (4)
令ms=vs πs,于是得到:
p(xi)=∑ms πsxi(s)=E(mxi) (5)
代率。