九年级数学上册第四章相似三角形4.6相似多边形随堂练习含解析新版浙教版

4.6__相似多边形
1．[2016·高密期末]两个多边形相似的条件是( D ) A ．对应角相等 B ．对应边成比例
C ．对应角相等或对应边成比例
D ．对应角相等且对应边成比例
2．下列四组图形中，一定相似的是( D ) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形 C ．菱形与菱形 D ．正五边形与正五边形
3．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( D ) A ．1∶25 B ．1∶5 C ．1∶2.5
D ．1∶ 5
4．如图4－6－1，四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，AB ＝12，CD ＝15，A 1B 1＝9，则边C 1D 1的长是( C )
图4－6－1
A ．10
B ．12 C.454 D.26
5
【解析】 ∵四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1， ∴
AB A 1B 1＝CD
C 1
D 1
. ∵AB ＝12，CD ＝15，A 1B 1＝9， ∴C 1D 1＝9×1512＝45
4
.故选C.
5．如图4－6－2，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2∶1，则下列结论正确的是( B )
图4－6－2
A．∠E＝2∠K
B．BC＝2HI
C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL
6．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1∶1 000万的地图上的面积约是( D )
A．960 km2B．960 m2
C．960 dm2D．960 cm2
【解析】 960万平方千米＝9.6×1016 cm2，
设画在地图上的面积约为x cm2，则
x∶9.6×1016＝(1∶1000万)2，
解得x＝960.
则画在地图上的面积约为960 cm2.故选D.
7．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
对于两人的观点，下列说法正确的是( C )
A ．两人都对
B ．两人都不对
C ．甲对，乙不对
D ．甲不对，乙对
8．一张比例尺为1∶250的图纸上，一块多边形区域的周长是54 cm ，面积是 280 cm 2
，则该区域的实际周长是__135__m__，实际面积是__1750__m 2
__．
9．两个五边形相似，一组对应边长分别是3 cm 和4.5 cm ，若它们的面积之和是78 cm 2
，则较大的五边形的面积是__54__cm 2
__．
【解析】 设这两个五边形的面积分别为x cm 2，y cm 2
(x >y )，则⎩⎨
⎧
x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4.532，x ＋y ＝78，
解得
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝54，y ＝24. 10．两个相似多边形的最长边分别为35 cm 和14 cm ，它们的周长的差为60 cm ，则这两个多边形的周长分别为__100__cm ，40__cm__．
【解析】 设这两个多边形的周长分别为x cm ，y cm(x ＞y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝60，x y ＝3514
，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝40.
11．如图4－6－4所示的两个相似四边形中，求未知边的长度x ，y 和∠α的大小．
图4－6－4
解：∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，∴184＝y 6＝x
7
，解得x ＝31.5，y ＝27.
∠α＝360°－(77°＋83°＋117°)＝83°.
图4－6－5
12．[2017·河南模拟]如图4－6－5，四边形ABCD 为平行四边形，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交AD 于点F ，连结BF .
(1)求证：BF 平分∠ABC ；
(2)若AB ＝6，且四边形ABCD ∽四边形CEFD ，求BC 的长． 解： (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠FAE ＝∠AEB ， ∵EF ∥AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形， ∵AE 平分∠BAD ，∴∠FAE ＝∠BAE ， ∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝EB ，
∴四边形ABEF 是菱形，∴BF 平分∠ABC ； (2)∵四边形ABEF 为菱形，∴BE ＝AB ＝6， ∵四边形ABCD ∽四边形CEFD ， ∴AB CE ＝BC CD ，即
6BC －6＝BC 6
， 解得BC ＝3±35(负值舍去)，∴BC ＝3＋3 5.
13．如图4－6－6，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE .若△DEF 的面积为a ，则▱ABCD 的面积为__12a __(用含a 的代数式表示)．
图4－6－6
【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，
AB ＝CD ，∴△DEF ∽△CEB ，
△DEF ∽△ABF ，
∴S △DEF S △CEB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE CE 2，S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫DE AB 2. ∵CD ＝2DE ，∴DE ∶CE ＝1∶3，DE ∶AB ＝1∶2. ∵S △DEF ＝a ，∴S △CBE ＝9a ，S △ABF ＝4a ， ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝8a ， ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝8a ＋4a ＝12a .
14．公园里有块草坪，其平面图如图4－6－7所示，∠A ＝90°，其比例尺为1∶ 2 000，根据图中标注的数据(单位：cm)，求该草坪的实际周长和面积．
图4－6－7 第14题答图
解：如答图，连结BD ，由已知条件可得△ABD 和△BDC 是直角三角形，面积之和为0.003 6 m 2
，四边形ABCD 周长为0.32 m.
则⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 000 2
＝0.003 6S ，解得S ＝1.44×104； 12 000＝0.32
C
，解得C ＝640. 答：该草坪的实际周长为640 m ，实际面积为1.44×104
m 2
.
15．如图4－6－8，M 是四边形ABCD 的对角线AC 上的点，ME ∥CD ，MF ∥BC ，MC ∶MA ＝1∶3. (1)求证：四边形AFME ∽四边形ABCD ；
图4－6－8
(2)求四边形AFME 与四边形ABCD 的面积比． 解：(1)证明：∵ME ∥CD ， ∴△AME ∽△ACD ， ∴AM AC ＝ME CD ＝
AE
AD
，∠AME ＝∠ACD ，∠AEM ＝∠D .
同理可证△AMF ∽△ACB ， ∴AM AC ＝MF CB ＝
AF
AB
，∠AMF ＝∠ACB ，∠AFM ＝∠B ，
∴AF AB ＝MF BC ＝
ME CD ＝AE AD ＝31＋3＝3
4
，
∠AFM ＝∠B ，∠FME ＝∠BCD ，∠AEM ＝∠D ，∠FAE ＝∠BAD ， ∴四边形AFME ∽四边形ABCD ；
(2)S 四边形AFME S 四边形ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AM AC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916
. 16．如图4－6－9，矩形草坪的长为a (m)，宽为b (m)(a ＞b )，沿草坪四周外围有宽为x (m)的环形小路．
(1)草坪的长与宽的比值m ＝__a ∶b __，外围矩形的长与宽的比值n ＝ __(a ＋2x )∶(b ＋2x )__(用含有a ，b ，x 的代数式表示)； (2)请比较m 与n 的大小；
(3)图中的两个矩形相似吗？为什么？
图4－6－9
解：(2)m －n ＝a b －
a ＋2x
b ＋2x ＝a （b ＋2x ）－b （a ＋2x ）b （b ＋2x ）＝2x （a －b ）
b （b ＋2x ）
.
∵a >b >0，x >0，∴m －n ＝2x （a －b ）
b （b ＋2x ）>0，∴m ＞n ；
(3)不相似．若图中的两个矩形相似，则需m ＝n ， ∵m ＞n ，∴图中的两个矩形不相似．
17．如图4－6－10，A n 系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，A n 纸对裁后可以得到两张A n ＋1纸．
(1)填空：A1纸面积是A2纸面积的__2__倍，A2纸周长是A4纸周长的__2__倍； (2)根据A n 系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比；
(3)设A1纸张的重量为a 克，试求出A8纸张的重量．(用含a 的代数式表示)
图4－6－10
解：(1)∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸， ∴A1纸面积是A2纸面积2倍；
∵设A2纸的长为a ，宽为b ，则A2纸周长＝2(a ＋b )，则A3纸的长是b ，宽是a
2
，A4纸的
长是a 2，宽是b 2，A4纸的周长＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＋b
2＝a ＋b ，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍；
(2)设A1纸的长和宽分别是m ，n ，则A2纸的长和宽分别为n ，12m ，
∴m n ＝n 12
m ，即m
n
＝2， 即该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比为2∶1； (3)∵A1纸张的重量为a g ，A2纸是A1纸面积的一半， ∴A2纸的重量为1
2a g ，
同理，A3纸的重量是1
4
a g ，
∴A8纸张的重量是⎝ ⎛⎭
⎪⎫127
a g.。