第二章 总质量、总能量和总动量衡算

总能量衡算的另一种形式为： 总能量衡算的另一种形式为：
dEt ∫∫ ρ u cos α ( u + gz + H ) dA + dθ = q − ws
1 2 2
第三节 总动量衡算
三种通量的衡算均是建立在相应的守恒 定律基础上的， 定律基础上的，动量守恒依牛顿第二定律 导出。 导出。 通用的总动量衡算方程 牛顿第二定律
V
其质量累积速率为： 其质量累积速率为：
d ∫∫ ρ u cos α dA + d θ A 净输出
dM d = dθ dθ
∫∫∫ ρ dV
V
根据质量守恒定律得： 根据质量守恒定律得：
∫∫∫ ρ dV
V
=0
上式即应用于任意控制体的总质量衡算方程
第二节 总能量衡算
同样的， 同样的，对于一个任意形状的控制面 S和控制体 ，热力学第一定律可写成： 和控制体V，热力学第一定律可写成： 和控制体
在某一系统内，当组分之间有化学反应时， 在某一系统内，当组分之间有化学反应时， 各组分的量须根据化学反应计量的关系相 应变化。 应变化。 由于每一个反应物和产物的化学当量相等， 由于每一个反应物和产物的化学当量相等， 故应用摩尔单位比较方便。 故应用摩尔单位比较方便。 为组分i 设xi为组分i的摩尔分数 为组分i wi’为组分i的摩尔流率 为组分i Mi’为组分i的摩尔数 为组分i Ri’为组分i的摩尔生成速率
A
（1）为正值时，有质量的净输出 ）为正值时， （2）为负值时，有质量的净输入 ）为负值时，
（3）为零时，净输入质量为零，净输出 ）为零时，净输入质量为零， 质量也为零， 质量也为零，即此时输入正好等于输出 在微元体dV内 流体质量为 在微元体 内，流体质量为ρdV， ， 整个控制体的瞬时质量为： 整个控制体的瞬时质量为：M = ∫∫∫ ρ dV
dM w1 = w 2 + dθ
二、多组分系统
如果容器内为一混合物， 如果容器内为一混合物，且无反应发 则对每一组分均有： 生，则对每一组分均有：
w 1i = w 2 i dM + dθ
i
个组分可以写出n-1个独立方程 对n个组分可以写出 个独立方程。 个组分可以写出 个独立方程。
三、有化学反应的系统
根据质量守恒定律得： 根据质量守恒定律得： ' dM i ' ' ' w 2 x i 2 − w1 x i1 + = Ri dθ 若组分有n个 则可得到 个独立的方程式 若组分有 个，则可得到n-1个独立的方程式 若组分有n个 若组分有 个，则可依上式写出所有组分的 衡算式，然后加和，得总质量衡算式： 衡算式，然后加和，得总质量衡算式：
A
累积的动量速率＝ 累积的动量速率＝
d dθ
∫∫∫ ρudV
V
总动量衡算方程可写成： 总动量衡算方程可写成：
d ∑ F = ∫∫ u ( ρ u ) cos α dA + dθ ∫∫∫ ρudV A V
来自百度文库
式中F为向量， 也为向量 它们在x、 、 也为向量， 式中 为向量，u也为向量，它们在 、y、 为向量 z三个方向均有分量可依，此分别写出三 三个方向均有分量可依， 三个方向均有分量可依 个方向的总动量衡算方程。 个方向的总动量衡算方程。
第二章 总质量、总能量和总动量衡算 总质量、
总质量衡算可以针对某一空间范围 来探讨进出口流股中流体质量的变化与 内部质量之间的变化。 内部质量之间的变化。 总能量衡算可以针对某一空间范围 来探讨进出口流股的状态、 来探讨进出口流股的状态 、 空间范围和 环境之间的能量交换与范围内部的总能 量变化之间的关系。 量变化之间的关系。 总动量衡算可以针对某一空间范围 来分析进出口流股的动量变化与空间范 围受力的情况。 围受力的情况。
通过整个控制面的净动量速率为： 通过整个控制面的净动量速率为：
∫∫ u ( ρu ) cos α dA
u为流体速度，可理解为每Kg流体所具 为流体速度，可理解为每 流体所具 为流体速度 有的动量（ 有的动量（Kg·m/s）/Kg ,即 ） 即
输出的动量速率－ 输出的动量速率－输入的动量速率 ＝ ∫∫ u ( ρu ) cos α dA
dM ' w −w + = ∑R i dθ
' 2 ' 1 '
输出
输入
摩尔生成速率之代数和
为反应物时， 当i为反应物时， Ri’ <0 为反应物时 为产物时， 当i为产物时， Ri’ >0 为产物时 2-2 通用的总质量衡算式
控制面
dA
控制体
α
n
图为任意空间范围的 控制体，其总体积为V， 控制体，其总体积为 ， 控制面的总面积为A 控制面的总面积为 设流体密度为ρ， ， 设流体密度为 ， 流速为u(向量），则 向量）， 流速为 向量），则 质量通量为ρu（ 质量通量为 （亦称 质量流速G） 质量流速 ）
第一节 总质量衡算
所选系统可以为整个流体系统中的某一 段管道、某一个或数个设备。 段管道、某一个或数个设备。
一、单组分系统
w1 M
储槽或容器
流入质量速率： 流入质量速率：w1 Kg/s
w2
流出质量速率：w2 Kg/s 流出质量速率：
某一瞬间容器内质量为M,θ为时间， 为时间， 某一瞬间容器内质量为 为时间 由质量守恒定律得： 由质量守恒定律得：
由此可知， 由此可知，总衡算可以解决工业生 产中相关设备的物料衡算、 产中相关设备的物料衡算、能量衡算以 及设备受力状况等问题。 及设备受力状况等问题。 其特点是可以系统外部（进出口及 其特点是可以系统外部（ 环境） 环境）各有关量的变化来研究系统内部 的变化情况， 的变化情况，而不必对系统内部的每一 点的规律进行详细了解。 点的规律进行详细了解。而后者需要进 行微分衡算才能搞清楚。 行微分衡算才能搞清楚。
由环境输入 对环境做 － ＝ 的热速率 功的速率 w q 流动输出的 流动输入的 能量的 － ＋ 能量速率 能量速率 累积速率 d 数学式为： 数学式为： ∫∫ ρ uE cos α dA + ∫∫∫ E ρ dV = q − w dθ V
∆E = Q − W
Q－每Kg质量流体所吸收的热 [J/Kg] － 质量流体所吸收的热 W－每Kg流体对环境所作的功 [J/Kg] － 流体对环境所作的功 E－每Kg流体的各种能量之和 － 流体的各种能量之和
E = U + u + gz
1 2 2
[J/Kg]
对于控制体，由于有流动， 对于控制体，由于有流动，故有能量的输 输出和累积，其总能量衡算应为： 入、输出和累积，其总能量衡算应为：
∫∫ ρ u co s α d A
A
A代表一个封闭的面 代表一个封闭的面
上式表示通过控制面外流的净质量流 即输出与输入控制体的质量流率之差。 率，即输出与输入控制体的质量流率之差。
∫∫ ρu cos α dA = 质量输出流率－质量输入流率
A
若流体速度与控制面法线夹角α<90º， ， 若流体速度与控制面法线夹角 cosα>0，输出 ， 若流体速度与控制面法线夹角α>90º， 若流体速度与控制面法线夹角 ， cosα<0，输入 ， 的值可知： 根据面积积分 ∫∫ ρ u co s α d A 的值可知：
（1）当速度与微元面积垂直，则通过此 ）当速度与微元面积垂直， 面积的质量通量为ρudA， 面积的质量通量为 ， （2）当速度与微元面积不垂直，而是与其 ）当速度与微元面积不垂直， 法线呈夹角α，质量通量为ρucosαdA 法线呈夹角 ，质量通量为 将全部微元面积所流过的质量流率加 即可的整个控制面的质量流率： 和，即可的整个控制面的质量流率：
du d (mu ) F = ma = m = dθ dθ
可表述为： 可表述为：系统的动量变化速率等于作 用在系统上的合外力。 用在系统上的合外力。 其中F和 均为向量 其中 和u均为向量
对于控制体，其总动量衡算应遵循： 对于控制体，其总动量衡算应遵循：
因流动输出 因流动输入 累积的 － ＋ 的动量速率 的动量速率 动量速率 作用在控制体 ＝ 上的诸力之和