第八章 组合变形汇总

第八章 组合变形

内容提要

一、组合变形综述

组合变形：拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转称为基本变形。构件同时产生两种或两种以上的基本变形时称为组合变形。

组合变形的计算方法：在小变形且材料在线弹性范围内工作时，将组合变形分解成几种基本变形，分别计算各基本变形时的应力和位移，将其各自叠加，可得到组合变形时的应力和位移。

二、斜弯曲

斜弯曲的概念：在横力弯曲时，设梁上的横向力通过横截面的弯曲中心(梁不产生扭转变形)。当横向力的方向和横截面的形心主轴平行时，梁产生平面弯曲，即外力作用面和挠曲面平行；当横向力方向和横截面的形心主轴不平行时，梁产生斜弯曲，即外力作用面和挠曲面不平行。斜弯曲时，外力和中性轴不垂直，挠度仍垂直于中性轴。

斜弯曲的计算方法：将横向力向两个形心主轴方向分解，在两个形心主轴方向的横向力作用下，梁在两个形心主惯性平面内分别发生平面弯曲。分别计算两个平面弯曲时的应力和位移，将其各自叠加，就得到斜弯曲时的应力和位移。

▲正多边截面梁，不会产生斜弯曲。

▲横截面具有外棱角(例如工字形、矩形、角形等)时，危险点位于危险截面的角点处，该处为单向应力状态，其强度条件为

[]max σσ≤ (8-1)

▲圆截面梁，不会产生斜弯曲，且圆截面对任一形心轴的弯曲截面系数均为3

32

d W π=

(d 为圆截面的直径)。于是

max M M

W σ⎫

=⎪

⎬=⎪

⎭

(8-2) 式中，y M 、z M 分别为绕y 、z 轴的弯矩，M 为总弯矩，M 的矢量方向为中性轴，max

σ发生在图中的a 和b 点处。

三、拉伸(压缩)与弯曲

Ⅰ、构件发生拉伸(压缩)与弯曲组合变形时，分别计算其中拉伸(压缩)与弯曲时的应力，并将其叠加就得到组合变形的应力。

II 、构件受偏心拉伸(压缩)荷载作用时，将偏心力向横截面的形心简化，得到一轴向荷载以及绕横截面的形心主轴弯曲的弯矩y M 和z M 。偏心拉伸(压缩)仍然是拉伸(压缩)与弯曲的组合变形问题。

1、横截面具有外棱角(例如工字形、矩形等)时，危险点在横截面的外角点处，该点处于单向应力状态，只需计算出最大正应力，便可建立强度条件。

2、横截面没有外棱角时，如图8-2截面，y 、z 为形心主轴，需首先确定中性轴位置，才能确定危险点位置，中性轴方程为

00

2210 F F y z

z z y y i i +

+= (8-3) 式中，F y 、F z 为偏心力的偏心矩，0y 、0z 为中性轴任一点的坐标，y i 、z i 为截面的惯性半径。中性轴为不通过形心的直线，其截矩公式为

2

z y F i a y =-，2y z F

i a z =- (8-4)

III 、截面核心

当偏心力作用在截面形心附近的一个封闭区域的边界上时，中性轴和截面周边相切，这个封闭区域称为截面核心。

例如图8-3所示为任意形状截面，y 、z 为形心主轴，当偏心力

分别作用在1、2、3、4点时，对应的中性轴为切线①、②、③、④。

1、偏心力作用在截面核心时，截面只产生一种应力，偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力。

2、砖、石、混凝等材料的拉伸强度较低，这类材料的偏心受压杆，最好是偏心压力作用在截面核心上。

3、确定截面核心的方法：作一系列和截面周边相切的切线作为中性轴，中性轴的截矩

y a 、z a 为已知，由中性轴的截距公式得

2

i i

z F y i y a =-，2i i y F z i z a =- ()12i n =、

(8-5) 由i F y 、 i F z 可得到截面核心边界上一系列的点,这些点的连线即为截面核心边界。要特别强调，截面周边的切线一定不能穿过截面。例

如图8-3所示截面中不能用凹进去的曲线的切线作为中性轴，又如不能用图8-4所示的角形截面的DE 和EF 边作为中性轴，因为它们穿过截面。

四、弯扭组合变形

以图8-5所示圆截面钢杆为例，横截面上的内力为弯矩y M 、

z M 、扭矩T 。其第三和第四强度理论的强度条件分别为

[]

[]3

4

r r σσσσ⎫⎪=

=

≤⎪

⎬⎪⎪

=

=

≤⎭

(8-6) 式中， 3

32

d

W π=

，M =注：第三和第四强度理论各有三种形式： ① []313r σσσσ=-≤

[]4

r σσ=

②

[]3r σ

σ=≤

[]4

r σσ=≤

③

[]3r W

σσ=≤

[]4r σσ=≤

其中：①为原始公式，

适用于所有应力状态(图8-6a )。 ②仅适用于图示的特殊平面应力状态(有一个正交

方向的正应力等于零)(图8-6b )。 ③仅适用于圆截面杆的弯扭组合变形(图8-6c )。

小结：以上对几种典型的组合变形进行了分析，工程中还会遇到更复杂的组合变形问题，例如，拉伸(压缩)与斜弯曲的组合变形；偏心拉伸(压缩)与弯曲的组合变形；弯曲与扭转及拉伸(压缩)的组合变形等等。不论组合变形多么复杂，只要认真进行分析，弄清楚组合变形是哪几种基本变形的组合，分别计算每一种基本变形的应力，再利用叠加法计算组合变形的应力，确定危险点的应力状，从而建立相应的强度条件。

例8-1 图示矩形截面杆，受力F 1和F 2作用，已知，15kN F =，2100kN F =，50mm b =，

100mm h =，1m l =，200GPa E =，0.3ν=。试求：

1、杆中的最大拉应力和最大压应力，并指出它们的作用点位置；

2、k 点处沿45°方向的线应变45o ε