《公式法因式分解》第二课时参考课件
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八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 第2课时 公式法课件
后Байду номын сангаас____可套.
2.公式中的“a”,“b”可表示单项式也可表示____;若表示多项式 ,应将多项式用括号括起来. 3.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 .
第九页，共二十三页。
探究点三 完全(wánquán)平方公 式
你能将多项式 a2+2ab+b2与多项式 a2-2ab+b分2 解 因式吗？
5.分解因式的一般思路： 一提（提公因式法）二套（ 运用公式法）平方差公式法 (两项) 完全平方公式法(三
项) 三分组（针对分解因式是三项式且不能直接(zhíjiē)分解的 ， 要考虑分组分解。
4.分解到最后一定要检查是否分解到不能再分解为止.
第十九页，共二十三页。
达标检测 反思 目 (fǎn sī) 标
(4) 5m2a45m2b4(5) 3xy33xy
3、简便计算：
（1） 42291721 （2） 51 25 2 448 25 24
第二十页，共二十三页。
4.下列多项式，能用完全平方公式(gōngshì)分解因式的是( )
A、x2+xy+y2
B、x2－2x－1
C、-x2-2x-1
D、x2+4y2
5.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )
1、下列多项式中，能否(nénɡ fǒu)用平方差分解因式？ (1) x -xy (2) x +xy (3) x2+y2 (4) x2-y2 (5) - x2+y2 (6) - x2-y2 (7) x3-y2 (8)x4-y4 2、分解因式：
(1) x xy 2 (2) –a4+16 （3） (2x3y)2(3x2y)2
2.公式中的“a”,“b”可表示单项式也可表示____;若表示多项式 ,应将多项式用括号括起来. 3.分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 .
第九页，共二十三页。
探究点三 完全(wánquán)平方公 式
你能将多项式 a2+2ab+b2与多项式 a2-2ab+b分2 解 因式吗？
5.分解因式的一般思路： 一提（提公因式法）二套（ 运用公式法）平方差公式法 (两项) 完全平方公式法(三
项) 三分组（针对分解因式是三项式且不能直接(zhíjiē)分解的 ， 要考虑分组分解。
4.分解到最后一定要检查是否分解到不能再分解为止.
第十九页，共二十三页。
达标检测 反思 目 (fǎn sī) 标
(4) 5m2a45m2b4(5) 3xy33xy
3、简便计算：
（1） 42291721 （2） 51 25 2 448 25 24
第二十页，共二十三页。
4.下列多项式，能用完全平方公式(gōngshì)分解因式的是( )
A、x2+xy+y2
B、x2－2x－1
C、-x2-2x-1
D、x2+4y2
5.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )
1、下列多项式中，能否(nénɡ fǒu)用平方差分解因式？ (1) x -xy (2) x +xy (3) x2+y2 (4) x2-y2 (5) - x2+y2 (6) - x2-y2 (7) x3-y2 (8)x4-y4 2、分解因式：
(1) x xy 2 (2) –a4+16 （3） (2x3y)2(3x2y)2
公式法分解因式(二)课件
例3 分解因式
1. 3ax2+6axy+3ay2 2. -x2-4y2+4xy 3. (x+y)x2+2xy(x+y)+y2(x+y)
例4 分解因式
1. a2+b2-2ab - 4（a-b）+4 2. 9(a+2b)2- 30a- 60b+25
3. x4+x2 +1
两人一组，合作编题。
编两道分解因式题，分别满足： 1. 要用到提公因式法和完全平
完全平方公式法分解因式
复习
1、因式分解定义 2、已学过的因式分解的方法
例1 判断下列多项式是不是完 全平方式，若是,请分解因式。
1. x2+12x+36 2. x2-4xy-4y2 3. (x+y)2-6(x+y)+9
例2 分解因式
1. 9a2b2+6ab+1 2. 4-12(x-y)+9(x-y)2 3. x6-10x3+25
方公式。 2. 要用到平方差公式和完全平
方公式。
看谁做得快
1. 20022－4×2002＋4 2. 1.23452＋0.76552 ＋
2.469 × 0.7655 3. 20062－4010×2006＋20052
随堂测试：分解因式
（1）x2y2-6xy+9 （2）-a+2a2-a3 （3）a4-8a2b2+16b4 （4） (x2+5x)(x2+5_______ 2.我想进一步研究的问题是______
分解因式歌 首先提取公因式，然后想到用公式。 两项想到平方差，然后立方和与差。 三项考虑全平方，十字相乘不能忘。 添项拆项试一试，整体换元功能强。
人教版八年级数学上册第十四章《 公式法因式分解平方差公式》第二课时课件
1、什么叫把多项式分解因式?
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法? 提公因式法
因式分解 整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5)
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值 是____4___.
6.已知4m+n=40，2m-3n=5，求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
解：(m+2n)2-(3m-n)2 =(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)(2m-3n). ∵4m+n=40，2m-3n=5， ∴原式=-40×5=-200．
4.把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2=__(_4_a_+_3_b_)_(4_a_-_3_b_)___; (2) (a+b)2-(a-b)2=____4_a_b___________; (3) 9xy3-36x3y=__9_x_y_(y_+_2_x_)_(_y_-2_x_)___; (4) -a4+16=___(4_+__a_2)_(_2_+_a_)(_2_-_a_)_.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
∴x－y＝－2②.
联立①②，得
x y 1,
x
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法? 提公因式法
因式分解 整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5)
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值 是____4___.
6.已知4m+n=40，2m-3n=5，求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
解：(m+2n)2-(3m-n)2 =(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)(2m-3n). ∵4m+n=40，2m-3n=5， ∴原式=-40×5=-200．
4.把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2=__(_4_a_+_3_b_)_(4_a_-_3_b_)___; (2) (a+b)2-(a-b)2=____4_a_b___________; (3) 9xy3-36x3y=__9_x_y_(y_+_2_x_)_(_y_-2_x_)___; (4) -a4+16=___(4_+__a_2)_(_2_+_a_)(_2_-_a_)_.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
∴x－y＝－2②.
联立①②，得
x y 1,
x
人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)
因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程 的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则 的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1.
因式分解(2)——公式法(人教版)八年级数学上册PPT课件
原式＝（x-y）（a2-b2） ＝（x-y）（a+b）（a-b）．
13. 分解因式：n2（m-2）+（2-m）.
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
5. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）Biblioteka ；（2）x2-36=
（x+6）（x-6）
.
6. （例 2）分解因式：
（1）4x2-25=
（2x+5）（2x-5）
；
（2）9x2-16y2=
（3x+4y）（3x-4y）
.
7. 分解因式：
（1）16x2-1=
（4x+1）（4x-1）
；
（2）36x2-25y2=
）2.
知识点.公式法（平方差公式）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
.
总结：能用平方差公式分解因式的条件： ①二项式；②能化成两个平方相减.
（1）设 S1，S2 分别是图 1，图 2 的面积，若用
含 a，b 的代数式表示它们的面积，则
S1=
a2-b2
13. 分解因式：n2（m-2）+（2-m）.
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
5. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）Biblioteka ；（2）x2-36=
（x+6）（x-6）
.
6. （例 2）分解因式：
（1）4x2-25=
（2x+5）（2x-5）
；
（2）9x2-16y2=
（3x+4y）（3x-4y）
.
7. 分解因式：
（1）16x2-1=
（4x+1）（4x-1）
；
（2）36x2-25y2=
）2.
知识点.公式法（平方差公式）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
.
总结：能用平方差公式分解因式的条件： ①二项式；②能化成两个平方相减.
（1）设 S1，S2 分别是图 1，图 2 的面积，若用
含 a，b 的代数式表示它们的面积，则
S1=
a2-b2
最新人教版八年级数学上册教学课件《14.3.2 公式法(第2课时)》
1. 理解完全平方公式的特点．
探究新知
知识点
用完全平方公式分解因式
1.因式分解：
回
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
顾
旧 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
知
提公因式法
平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b)
3.完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2
探究新知
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你 拼成的图形的面积吗？
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；
(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62 =(a+b–6)2.
探究新知
利用公式把某些具有特殊形式 (如平方差式，完全平方式等)的多项 式分解因式，这种分解因式的方法叫 做公式法.
巩固练习
因式分解： (1)–3a2x2＋24a2x–48a2；
=17 ×(7652 –2352) =17 ×(765+235)(765 –235) =17 ×1 000 ×530=9010000.
探究新知
素养考点 5 利用完全平方公式和非负性求字母的值
例5 已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.
提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全 平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“ 凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之 和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.
人教版 数学 八年级 上册
14.3 因式分解
14.3.2 公式法(第2课时)
导入新知
探究新知
知识点
用完全平方公式分解因式
1.因式分解：
回
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
顾
旧 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
知
提公因式法
平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b)
3.完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2
探究新知
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你 拼成的图形的面积吗？
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；
(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62 =(a+b–6)2.
探究新知
利用公式把某些具有特殊形式 (如平方差式，完全平方式等)的多项 式分解因式，这种分解因式的方法叫 做公式法.
巩固练习
因式分解： (1)–3a2x2＋24a2x–48a2；
=17 ×(7652 –2352) =17 ×(765+235)(765 –235) =17 ×1 000 ×530=9010000.
探究新知
素养考点 5 利用完全平方公式和非负性求字母的值
例5 已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.
提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全 平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“ 凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之 和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.
人教版 数学 八年级 上册
14.3 因式分解
14.3.2 公式法(第2课时)
导入新知
七年级数学下册第3章因式分解公式法(第2课时)课件(新版)湘教版
解:原式=3x2y2(3xy-7x+4). 原式= x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2) =(x-y)(x-y)(x+y)=(x-y)2(x+y). 原式=(a-b-2c)2. 原式=m2-3m-4+3m= m2-4 =(m+2)(m-2).
【火眼金睛】
因式分解: 1 x2-2x+3.
4
解:原式=x2-x+ ( 1 )2
2
= (x 1 )2 .
2
知识点一 用完全平方公式进行因式分解(P65例5、6、 7拓展) 【典例1】因式分解: 4x2-12xy+9y2.
(x-y)4-2(x-y)2+1. (x2+2x)2+2(x2+2x)+1.
【思路点拨】题目可直接利用完全平方公式进行因式 分解. 题目注意要把(x-y)看成整体,并且要分解到每个因式 都不能再分解为止. 题目要两次运用完全平方公式进行因式分解.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
(A)
A. 1 x2-xy+y2
4
B.2x2+4x+1
C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy
2.多项式x2+ax+4能用完全平方公式分解因式,则a的值
是 __±__4____.
3.因式分解:x2-x+ 1 .
(A)
A.4x2-4x+1
B.9x2+3x+1
C.x2+4x+2y2
D.x2+5xy+25y2
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
12.2因式分解的方法(第2课时 运用平方差公式因式分解)(课件)七年级数学上册(沪教版2024)
解：不能.
课堂练习
2. 因式分解：
1
2
2
− 16;
解： − 16 = − 4
= +4 −4 .
2
2
2
4 2
2 − ;
25
4 2
2
2
解： − = −
25
5
2
2
= + − .
5
5
2
2
课堂练习
2. 因式分解：
3
9
2 2
− 812 ;
4
解：9 − 81 = 9 − 9
− 81
2
2
2
−9
=
= 2 + 9 2 − 9
= 2 + 9 + 3 − 3 .
(x+3)(x-3).
课堂练习
课堂练习12.2 2
1. 口答
下列整式能用平方差公式因式分解吗？为什么？
1
4
+ 2 ;
2
4 − 2 ;
解：不能.
解：能.
3
4
−4 + 2 ;
解：能.
−4 − 2 .
课本例题
例4
因式分解：
1
3 3 − 12;
解 1
3 − 12
=3 2 − 4
= 3 + 2 − 2 .
3
当整式的各项含有公因式时，通常
先提取公因式，然后再考虑是否统
进一步因式分解
课本例题
例4
因式分解：
2
4 − 81.
解 2
4
因式分解要分解到每个因式都不能
七年级数学下册第3章因式分解3.3公式法第2课时习题课件新版湘教版20222221290
第二页，编辑于星期六：六点 一分。
(3)因为(2x+3y)2=____4_x_2_+_1_2_x_y_+,9y2 所以__4x_2_+_1_2x_y_+_9_y_2 _=(2x+3y)2. (4)因为(a+b)2=____a_2_+_2a_b_+，b2(a-b)2=_____a_2_-_2_a，b+b2 所以__a_2+_2_a_b_+_b_2 =(a+b)2,___a_2_-2_a_b_+_b=2(a-b)2.
(A)x2+1
(B)x2+2x-1
(C)x2+x+1
(D)x2+4x+4
【解析】选D.根据完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2可得，选项A，B
，C都不能用完全平方公式进行因式分解，D项可以，即
x2+4x+4=(x+2)2.
第十页，编辑于星期六：六点 一分。
2.下列各式因式分解正确的是( )
4
22
2
(2)9-12t+4t2=32-2×3·2t+(2t)2=(3-2t)2.
(3)m2n2-6mn+9=(mn)2-2mn·3+32=(mn-3)2.
(4)9(x+1)2+6(x+1)+1=［3(x+1)］2+2×3(x+1)·1+12
=［3(x+1)+1］2=(3x+4)2.
第十六页，编辑于星期六：六点 一分。
4
22
2
x4+2x2+1=(x2)2+2·x2·1+12=(x2+1)2,故选项C正确；m2+n2不是完
冀教版初中数学七年级下册教学课件 第十一章 因式分解 公式法(第2课时)
A.4
B.-4
C. 9
D.- 9
4
4
解析:因为|3x+4|+y2-6x+9=0,所以|3x+4|+(y3)2=0,所以x=- 4 ,y=3,所以xy=-4.故选B.
3
3.因式分解:-2x2y+12xy-18y= -2y(x-3)2 .
解析:先提取公因式,再根据完全平方公式进行 二次分解即可解答.-2x2y+12xy-18y=-2y(x26x+9)=-2y(x-3)2.故填-2y(x-3)2.
4.分解因式. (1)4-4a+a2; (2)16x2y2+24xy+9; (3)x3y+2x2y2+xy3.
解:(1)4-4a+a2=(2-a)2. (2)16x2y2+24xy+9=(4xy+3)2. (3)x3y+2x2y2+xy3=xy(x2+2xy+y2)=xy(x+y)2.
(2)(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y)2-2·(x+y)·2+22=(x+y-2)2.
1
(3)(3m-1)2+(3m-1)+ 4 =(3m-1)2+2·(3m-1)·
1 2
1 2
2
3m
1
1 2
2
3m
1 2
2
.
知识小结
运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与 方法: (1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个 完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,再运用 完全平方公式把它进行因式分解,有时需要先把多项式经 过适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它因式分解.
2024八年级数学上册第一章因式分解3公式法第2课时完全平方公式课件鲁教版五四制
解：(1) x2－12xy＋36y2＝(x－6y)2.
(2) 16a4＋24a2b2＋9b4＝(4a2＋3b2)2.
(3) －2xy－x2－y2＝－(2xy＋x2＋y2)
＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2.
(4) 4－12(x－y)＋9(x－y)2＝[3(x－y)－2]2
＝(3x－3y－2)2.
例 3 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
解：(1)x2＋14x＋49
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝ x2＋2×7x＋72
＝ [(m＋n)－3]2
＝ (x＋7) 2 ；
＝(m＋n－3)2.
例4 计算或化简下列各式：
(1)2022＋202×196＋982；
例1 判断下列多项式是否为完全平方式．
(1)b2＋b＋1；
(3)1＋4a2；
(2)a2－ab＋b2；
1
2
(4)a －a＋ 4 .
导引： (1)中b不是数b与1的乘积的2倍；
(2)中ab不是a，b乘积的2倍；
(3)中1与2a的乘积的2倍没有出现；
1
(4)中a是a与 乘积的2倍．
2
解：(1)不是完全平方式；
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
知识点 3 完全平方公式在分解因式中的应用
因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
例 5 把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；
因式分解--公式法(2)课件2021-2022学年北师大版八年级数学下册
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
课堂小结
完全平方公式法：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 用完全平方公式法分解因式 1.要有三项；
2.有两项是平方项，符号相同
3.另一项是这两“数”乘积的2倍或乘积2倍的相反数
因式分解的一般步骤： 1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式； 2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解； 3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
和的形式 积的形式
特 ①左边 两个数的平方差；只有两项且异号 点 ②右边 两数的和与差的积
①平方差公式 乘法公式 ②完全平方公式
探索新知 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
a a² a
ab a ab a
b
b
b² b
同学们拼出图形为：
探索新知
b
ab
b²
a
a²
ab
a
b
这个大正方形的面积可以怎么求？
再进一步分解因式。
典例分析 例3 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=-2x×3,故可知N=32=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为__±__8__.
解析：∵16=(±4)2，∴-m=±2×4.∴m=±8.
随堂检测
5.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36;
（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1－x2; 解 ：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.3 公式法 3.3公式法(2)》课件_5
典例精析
例1 ：将下列多项式因式分解
9x2 3x 1 4
（3x）2 2 3x 1 ( 1 ) 2 22
（3x 1 ）2 2
4x2 12 xy 9 y2
(4x2 12 xy 9 y2 ) [(2x)2 2 2x 3y (3y)2 ]
(2x 3y)2
a4 2a2b b2
三、运用新知
1、判断：下列各式是不是完全平方式？并说明你的理由.
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²;
不是
（3）4b2+4b-1; 不是 （4）a2+ab+b2; 不是
分析： （2）因为它只有两项； （3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与：
1. x²+4x+4= ( x)²+2·( x)·( 2)+( 2 )²=( x + 2 )² 2.m²-6m+9=( m)²- 2·(m)·(3 )+( 3 )²=( m - 3)² 3.a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=(a + 2b )² 像上面这样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式 的多项式进行因式分解，这种分解因式的方法叫做公式法.
1.简便计算（1）992 +198+1 （2）20142 −2014×4026+20132
2. 将 4x2 1 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你 有几种方法？
课后作业： 课本第67页第2题 1、2、6、7。
a2+2ab+b2 观察这两个式子：
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的首项和尾项有什么特征？
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15.4.2
公式法（2）
一、新课引入
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
999×1 + 1 试计算：9992 + 2× 1998 = (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样，完全平方 公式也可以逆用，从而进行一些简便 计算与因式分解。
即：a 2ab b a b
2 2
2 2 2 2
1 5 x x 是 4 2 2 否 6 a 2 ab 4 b
2
2.填写下表
多项式
是否是完 全平方式
a 、 b各 表示什么
a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1
表示为：
a 2 2ab b 2 x 2 2 x 3 32
表示为 (a b)2 或 (a b)2 形式
(2x y)2 2 (2x y) 3 32
(2 x y 3) 2
3、请补上一项，使下列多项式成 为完全平方式
2xy y 1 x _______ 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
2 2
1 2 ab b 4 a _______ 4 4 2 2 4 5 x 2 x y ______ y
2
三、新知识或新方法运用
例５，分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2· 4x· 3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
= -[x2-2· x· 2y+(2y)2]
= - (x-2y)2
三、新知识或新方法运用
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 =3a(x2+2xy+y2) =(a+b)2-2· (a+b)· 6+62 =3a(x+y)2 =(a+b-6)2.
四、小结
1：如何用符号表示完全平方公式？ a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？
完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
16x2+24x+9= (4x)2+ 2· 4 x· 3 +32
a· b + b2 a2 + 2 ·
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32
=(4x+3)2.
三、新知识或新方法运用
例５:
分解因式：(2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) –x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
(6) －3x2+6xy－3y2.
四、作业
P ：170 习题15.4
第3、9题。
( x 3)2
(2 y 1) 2
x2 6x 9
是 是 不是 不是 不是 是
4 y2 4 y 1
1 4a 2
x2 x 1 2 4 y 2 12xy 9x 2
(2x y)2 6(2x y) 9
a表示：2x+y b表示：3
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为 什么 (1) a2－4a+4;
(2)1+4a2; (3) 4b2+4b－1 ;
(4)a2+ab+b2.
2.分解因式： (1) x2+12x+36; (3) a2+2a+1; (2) －2xy－x2－y2; (4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3;
2
二、完全平方式
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
2 2 1 a b 2ab 是 2 2
1、回答：下列各式是不是完全平方式
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否
公式法（2）
一、新课引入
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
999×1 + 1 试计算：9992 + 2× 1998 = (999+1)2 = 106
就像平方差公式一样，完全平方 公式也可以逆用，从而进行一些简便 计算与因式分解。
即：a 2ab b a b
2 2
2 2 2 2
1 5 x x 是 4 2 2 否 6 a 2 ab 4 b
2
2.填写下表
多项式
是否是完 全平方式
a 、 b各 表示什么
a表示：x b表示：3 a表示：2y b表示：1
表示为：
a 2 2ab b 2 x 2 2 x 3 32
表示为 (a b)2 或 (a b)2 形式
(2x y)2 2 (2x y) 3 32
(2 x y 3) 2
3、请补上一项，使下列多项式成 为完全平方式
2xy y 1 x _______ 2 2 2 4a 9b _______ 12ab 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
2 2
1 2 ab b 4 a _______ 4 4 2 2 4 5 x 2 x y ______ y
2
三、新知识或新方法运用
例５，分解因式：(1) 16x2+24x+9
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2· 4x· 3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
= -[x2-2· x· 2y+(2y)2]
= - (x-2y)2
三、新知识或新方法运用
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 =3a(x2+2xy+y2) =(a+b)2-2· (a+b)· 6+62 =3a(x+y)2 =(a+b-6)2.
四、小结
1：如何用符号表示完全平方公式？ a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？
完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
16x2+24x+9= (4x)2+ 2· 4 x· 3 +32
a· b + b2 a2 + 2 ·
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32
=(4x+3)2.
三、新知识或新方法运用
例５:
分解因式：(2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) –x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
(6) －3x2+6xy－3y2.
四、作业
P ：170 习题15.4
第3、9题。
( x 3)2
(2 y 1) 2
x2 6x 9
是 是 不是 不是 不是 是
4 y2 4 y 1
1 4a 2
x2 x 1 2 4 y 2 12xy 9x 2
(2x y)2 6(2x y) 9
a表示：2x+y b表示：3
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为 什么 (1) a2－4a+4;
(2)1+4a2; (3) 4b2+4b－1 ;
(4)a2+ab+b2.
2.分解因式： (1) x2+12x+36; (3) a2+2a+1; (2) －2xy－x2－y2; (4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3;
2
二、完全平方式
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
2 2 1 a b 2ab 是 2 2
1、回答：下列各式是不是完全平方式
2 2 xy x y 是 3 x 4 xy 4 y 是 4 a 6ab b 否