条件概率

条件概率、乘法公式、独立性

前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。

一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂，

30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。

(1)求取得甲厂产品的概率；

(2)求取得次品的概率；

(3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。

分析：为了直观，我们将产品情况列成表

上面的问题，可用古典概率计算法求得。

解：

则（1）（2），

，，

（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次

品)中任取一件。这时样本空间只含70个差不多事件(是

原的样本空间的一部分)。由古典概率知：

为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析：

即有

二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞

0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,

且

【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】

φ

=，解；（ⅰ）∵ABφ

三．概率的乘法公式：

乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即

【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第

二次都取得正品的概率。

因为在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。

【例3】10个考签中有4个难签， 3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到

难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙

都抽到难签的概率。

解：设事件A，B、C分不表示甲、乙、丙各抽到难签，则

【例4】

【例5】袋中有三个阄，其中仅有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记

从此例看出，抓阄时虽排队，但三人是等概的，否则那个方法就可不能被人类采纳达数千年之久。

三．事件的独立性：