概率论与数理统计条件概率
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《概率统计》
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§1.4.1 条件概率
例1.设10件产品中有7件正品,3件次品,从中取两次,每次 取1件,取后不放回,求在第一次取得正品的情况下,第二次 取得正品的概率. 解:(公式法) 设 A={第一次取得正品},B={第二次取得正品},则
P( AB) P( B | A) P( A)
§1.4 条件概率
一、条件概率
⑴条件概率 ⑵乘法公式
二、事件的独立性
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§1.4.1 条件概率
实际中,有时会遇到在某一事件A已经发生的条件下,求另一 事件B发生的概率,称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率。
例. 设盒中10个玻璃球(6红,4蓝),10个木质球(7红,3蓝),从
解: P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.7。
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例5.100个零件中有10次品,每次任取一件,取后不放回。 (1)连取两次,求两次都取得正品的概率; (2)连取三次,求第三次才取得正品的概率。
解:设Ai={第i次取得正品},i=1,2,3。
C72 2 C10 1 2 C3 2 1 2 C10
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例3.设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率 为0.4,求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率? 解: 设A={活到20岁},B={活到25岁} 则所求概率为 P ( B | A) 由于 A
中任取1球, (1)求取出玻璃球的概率.
(2)已知取出的是玻璃球,求它是红球的概率.
解:设A={取出1个玻璃球},B={取出1个红球}. (1)P(A)=10/20=1/2
(2)P(B|A)=6/10
问题:条件概率P(B|A)与普通概率有何关系?
P ( B | A)
《概率统计》
P( AB) 6 6 / 20 P( A) 10 10 / 20
这表明,事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概 率上是没有影响的,即事件 A 与 B 呈现出某种独立性.
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§1.4.2 事件的独立性
一、 事件的独立性
1.定义 设A、B二事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称A、B为相互独立的事件。 显然,必然事件Ω及不可能事件Φ与任何事件A都相互独立。 2.性质 (1)若P(A)>0, P(B)>0, P(B|A)=P(B);P(A|B)=P(A) 则A和B独立
(2)如果 A、B 相互独立,则 A 与 B,A 与 B , A 与 B 也相互独立。
AB,所以有 证明: 因为A B=B-AB,且 B
90 89 (1 ) P( A1 A2) P( A1) P( A2 | A1) 0.809 100 99
(2) P( A1 A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1 A2)
10 9 90 0.00835 100 99 98
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Leabharlann Baidu §1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A,B为随机试验E 的两个事件,且P(A)>0,则称
P( B | A) P( AB) P( A)
为在事件A已发生的条件下,事件B发生的条件概率.
注:条件概率与普通概率有相类似的性质,如,
(1)若BC=Φ,P((B+C)|A)= P(B|A)+ P(C|A) (2) P(B | A) 1 P( B | A)
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§1.4.2 事件的独立性
一、 事件的独立性
引例:袋中有 a 只黑球,b 只白球.每次从中取出一球, 取后放回.令: A={ 第一次取出白球 }, B={ 第二次取出白球 }, 则 b b b P A , P B / A , P B ab ab ab
从而有,P( B / A) P( B)
缩减的样本空间为: {{男,女}, {女,男}, {女,女}}。
(2)利用公式法
1 于是, P ( B | A) . 3
1/ 4 1 P( AB) P( AB) . P( B | A) P( A) 1 P( A) 1 1 / 4 3
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二、 乘法公式
P72 2 P10 7 10
6 2 9 3
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§1.4.1 条件概率
例2. 设10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取两件,已知 其中有1件正品,求另1件也是正品的概率. 解: (公式法) 设 A={其中有1件正品},B={另1件也是正品},则
P( B | A) P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
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§1.4.1 条件概率
2.条件概率的计算
a)在缩减的样本空间上直接计算。 b)利用公式计算。 例1.设10件产品中有7件正品,3件次品,从中取两次,每次 取1件,取后不放回,求在第一次取得正品的情况下,第二次 取得正品的概率. 解:(缩减样本空间法) 设 A={第一次取得正品},B={第二次取得正品},则 P(B|A)=6/9=2/3。
[ P ( AB) ] P ( A)
B,有AB=B
且
因此
P(A)=0.8 , P(B)=0.4
P(AB)= P(B)=0.4
P( AB) 0.4 0.5 P( A) 0.8
于是所求概率为 P( B | A)
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练习:一个家庭有两个小孩,已知至少有一个女孩,求两个 都是女孩的概率。 解:设A ={至少有一个女孩},B={两个都是女孩} 则所求概率为 P( B | A) (为什么?) (1)利用缩减样本空间法
若P(A)>0, 则
P(AB)=P(A)· P(B | A)
可推广一般形式:若P(A1 A2… An-1)>0,则
P(A1 A2… An)= P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An |A1 A2… An-1)
例4.已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,求P(A∪B)