正弦定理及应用

∴ a sin C c sin A
a
c
∴ sin A = sin C
c
b
同 理 ， 若 过 C 作 j 垂 直 于 CB 得 ： sin C = sin B
∴
= = a
b
c
sin A sin B sin C
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角 的正弦比相等，
a b c 2R 即 sin A sin B sinC
数学系
正弦定理及应用
Baidu Nhomakorabea
一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾 股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知 的边和角。那么斜三角形怎么办？
二、讲解新课：
1
．
直
角
三
角
形
中
：
s
in
A
=
a c
b
， sinB = c ，
sin C = 1
a
b
c
即
c = sin A ， c = sin B ， c = sin C ．
解 ： c1,0 A405 ,C300
∴ B18 0 0(AC)10 0 5
由 sa iA n sciC n 得ac ssiC iA n n 1s 0 si3in 4 00 n 05 10 2
由sbinBsicnC得
bcsinB10sin100520sin750 20 6 25 65 2
sinC sin300
（R 为△ABC 外接圆半径）
正弦定理的应用
1.已知两角和任意一边，求其它两 边和一角；
2.已知两边和其中一边对角，求 另一边的对角，进而可求其它的 边和角。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
三 、 讲 解 范 例 ：
例1 已 知 在
AB中 Cc， 1,0A40 5,C30 0,求 a,b和 B
4
例 2 ABC中，c 6, A 45 0 , a 2,求b和B,C
解： ac, sC i n c sA i n6 s4 i0 n 53
sA in sC in
a
22
c sA i n a c , C 6 0 或 0 10 20
当 C 60 时 0B 7 ， 0 ,b 5 c sB i n6 s7 i0 n 53 1 sC ins6 i0 n 0
当 C 10 时 2B 0 1 ， 0 ,b 5 c sB i n6 s1 i0 n 53 1 sC ins6 i0 n 0
b 3 1 , B 75 0 , C 60 0 或 b 3 1 , B 15 0 , C 120 0
小结
这节课你学到 了什么？
∴
a sin A
b
= sin B
c
= sin C
证 明 ：（ 向 量 法 ）
过 A 作 单 位 向 量 j 垂 直 于 AC
由 AC + CB = AB
两 边 同 乘 以 单 位 向 量 j 得 j • (AC + CB )= j • AB
则 j • AC + j • CB = j • AB
∴ | j |• | AC |cos9 0 + | j |• |CB |cos(9 0 C )= | j |• |AB |cos(9 0 A )