信号与系统_精解课件§1[1].5_奇异函数

K
O
f (t )
τ
t
X
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u(t) = 1 1 0点无定义或 t >0 2 t <0
1
u(t)
O
u(t − t0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t < t0 0 u(t − t0 ) = , t0 > 0 t > t0 1
t < −t0 0 u(t + t0 ) = , t0 > 0 t > −t0 1 由 (t ±t0 ) = 0 可知t = mt0 , 即时 断点， m ，函数有断点 间为 t0时 函数有断点，跳变点
1．抽样性 ． 2．奇偶性 ． 3．标度变换 ．
X
1、抽样性 (筛选性)
如果f(t)在 处连续， 如果 在t = 0处连续，且处处有界，则有 处连续 且处处有界，
δ (t ) f (t ) = f (0)δ (t )
d ' [ f (t)δ (t)] = f (0)δ (t) dt
X
2. 奇偶性
−∞
∞
3、 δ ′(−t ) = −δ ′(t ) , δ ′(t − t) = −δ ′(t − t ) 、 0 0
所以 ′(t )是奇函数 δ
∫
δ ′(t)dt = 0 , −∞
−∞
∞
X
四.总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t) 1
O
u(t) 1 t 1
O
δ (t)
∞
(1)
−∞
t
∞
（2）奇偶性 δ (−t ) = δ (t )
δ ′(t)dt = δ (t) −∞
∞
（3）比例性 −∞ 1 δ (at) = δ (t ) f (t )δ ′(t ) = f (0)δ ′(t ) − f ′(0)δ (t ) a （6）卷积性质 （4）微积分性质 du(t) t f (t ) ∗δ (t ) = f (t ) δ (t) = ∫−∞δ (τ )dτ = u(t) X dt
X
O
t
2．正弦信号
f (t) = K sin( ωt +θ)
f (t ) K
2π
T
ω
振幅： 振幅：K 2π 1 周期： 周期： T = = ω f
t
O
θ ω
2π
ω
频率： 频率：f 角频率： 角频率：ω = 2 π f 初相： 初相： θ
衰减正弦信号： 衰减正弦信号：
K e−αt sin(ωt ) f (t) = 0 t ≥0 α >0 t <0
1 sgn(t) = −1 t >0 t <0
−
τ O
2
ห้องสมุดไป่ตู้
τ
2
sgn(t )
O
t
1 sgn(t ) = −u(−t ) + u(t ) = 2u(t ) − 1 u(t ) = [sgn(t ) + 1] 2
X
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义1 定义2 定义2 冲激函数的性质
X
定义1
t
若面积为k，则强度为k。 若面积为 ，则强度为 。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数 极限， 取τ→0极限，都可以认为是冲激函数。 极限 都可以认为是冲激函数。
X
定义2：狄拉克(Dirac)函数
+∞δ (t )dt = 1 ∫ −∞ δ (t ) = 0 (t ≠ 0)
δ (t ) f (t ) = f (0)δ (t )
f (t)
∫
∞
−∞
δ (t) f (t)dt = f (0)
f (0)
∞
o
t
对于移位情况： 对于移位情况：
δ (t) f (t −t 0) = f (t0 )δ (t)
∫
δ (t − t0 ) f (t)dt = f (t0 ) −∞
−∞
∞
X
冲激函数的性质
∫
δ (t )dt = ∫0 δ (t )dt −∞
−∞
−
+∞
0+
函数值只在t 时不为零； 函数值只在 = 0时不为零； 时不为零 积分面积为1 积分面积为1；
δ t =0 时， (t ) →∞，为无界函数。 为无界函数。
X
3、冲激函数的抽样性定义(筛选性)
如果f(t)在 处连续， 如果 在t = 0处连续，且处处有界，则有 处连续 且处处有界，
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
X
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t )δ (t ) = f (0)δ (t )
（5）冲激偶 δ ′(−t ) = −δ ′(t )
∫
+∞
−∞
f (t)δ (t)dt = f (0)
∫
∫
δ ′(t)dt = 0 −∞
无穷 ★ 幅度 0 t =0 t ≠0
X
描述
1 τ τ δ (t ) = lim p(t) = lim u t + − u t − τ →0 τ →0 τ 2 2
δ (t)
∞
δ (t − t0 )
时移的冲激函数
(1)
t
∞
(1)
o
o
t0
了 号 析 需 ， 们 造 δ 为 信 分 的 要 人 构 了 (t ) 函 ， 属 广 数 它 于 义 数 就 间 而 ， (t ) 可 当 时 连 信 处 函 。 时 t 言 δ 以 作 域 续 号 ， 为 符 时 连 信 运 的 些 则 但 于 理 因 它 合 域 续 号 算 某 规 。 由 δ (t ) 是 个 义 数 它 一 特 的 质 一 广 函 ， 有 些 殊 性 。
δ (t ) = δ (−t)
证明： 证明：
∫ ∫
δ (t) f (t)dt = f (0) −∞
t =−τ
+∞
δ (−t) f (t)dt = −∞
+∞
∫
δ (τ ) f (−τ )d(−τ ) +∞
+∞
−∞
= ∫ δ (τ ) f (−τ )dτ = f (0)
−∞
又因为 (t)只在 = 0有值，故 (t) = δ (−t) δ t δ
X
一．单位斜变信号
1． 定义
0 R(t) = t t <0 t ≥0
O
R(t )
1 1 t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R(t − t0 ) = t − t0 t < t0 t ≥ t0
R(t − t0 )
1
O t0 t0 + 1 t
3．三角形脉冲
K R(t) f (t ) = τ 0 0 ≤ t ≤τ 其它
X
3. 时间尺度变换
1 δ (at) = δ (t) a
δ (5t ) f (t )dt =? ∫−∞
X
∞
四、单位冲激偶
s(t )
1
δ (t)
∞
(1)
τ 1 τ
−τ −τ o τ
s′(t )
1
τ
t
O
t
τ →0
δ ′(t )
τ2
1
τ2
−τ − τ O 1 − 2 − 1
τ
t
O
t
τ
τ2
X
冲激偶的性质
X
欧拉(Euler)公式
1 jωt −jωt sin(ωt ) = e −e 2j
1 jωt −jωt cos(ωt ) = e + e 2
(
)
(
)
e
jω t
= cos(ωt ) + jsin(ωt )
X
3．抽样信号(Sampling Signal)
sint Sa(t) = t
1 Sa(t )
性质
αt
α = 0 直流(常数), 直流(常数) α < 0 指数衰减, 指数衰减, α > 0 指数增长
t <0 t ≥0
α <0
K
f (t )
α >0 α =0
t
单边指数信号 0 f (t ) = − t e τ
1
O
f (t ) 1
称为指数信号的时间常数 时间常数， 通常把 α 称为指数信号的时间常数，记作τ,代表信 号衰减速度，具有时间的量纲。 号衰减速度，具有时间的量纲。 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。 重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
3π
X
4．钟形脉冲函数(高斯函数)
f (t ) = Ee
E
0.78E
t − τ
2
f (t )
E e O τ τ 2
t
在随机信号分析中占有重要地位。 在随机信号分析中占有重要地位。
X
函数本身有不连续点(跳变点) 函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 函数。 主要内容： 主要内容： •单位斜变信号 单位斜变信号 •单位阶跃信号 单位阶跃信号 •单位冲激信号 单位冲激信号 •冲激偶信号 冲激偶信号
t0 u(t + t0 )
t
1
− t0 O
t
X
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数： 门函数：也称窗函数
τ τ f (t ) = u t + − u t − 2 2
1 f (t ) Gτ (t) t
其他函数只要用门函数处理( 其他函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。 门函数) 就只剩下门内的部分。 符号函数： 符号函数：(Signum)
§1.5 奇异函数
几种典型确定性信号
1.指数信号 1.指数信号 2.正弦信号 2.正弦信号 3. 抽样信号 抽样信号(Sampling Signal) 4.钟形脉冲函数(高斯函数) 4.钟形脉冲函数(高斯函数) 钟形脉冲函数 信号的表示 函数表达式 f (t) 波形
X
1．指数信号
f (t) = Ae
1、 、 2、 、
∫
∞
δ ′ (t)dt = δ (t ) −∞
t
∞ −∞
∫−∞δ ′ (t) f (t)dt = f (t)δ (t)
−∞
− ∫ f ′ (t)δ (t)dt = − f ′ (0)
∞ −∞
时移， 时移，则：
∫
δ ′(t − t0 ) f (t)dt = − f ′ (t0 ) −∞
2π −πO
t
π
① Sa(− t ) = Sa(t )，偶函数 ， lim ② t = 0, Sa(t ) = 1 即 Sa(t ) = 1 t →0 ， ③ Sa(t ) = 0, t = ±nπ n = 1,2,3L ∞ sint ∞ sint π ④ ∫ dt = , ∫ dt = π 0 −∞ t t 2 ⑤ lim Sa(t ) = 0 t →±∞ ⑥ sinc(t) = sin(πt) (πt)
1
p(t)
1 τ τ p(t ) = u t + − u t − τ 2 2
τ
τ →0
−
τ
2
O
τ
2
t
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑； 面积1 脉宽↓ 脉冲高度↑ 则窄脉冲集中于 t=0 处。 ★面积为1 面积为1 面积为 宽度为 三个特点： ★宽度为0 三个特点： 宽度为0
∫
f (t)δ ′(t)dt = − f ′(0)