动载荷与交变荷载
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实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超过比例极限， 在动载荷下虎克定律仍成立且 E静 = E动 。 本章将应用达朗贝尔原理和能量守恒定律，分析动载荷和动应力。
11.2 构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力
11.2.1 构件作等加速直线运动时的动应力
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度 a ，就 可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，然后，按照弹性静力学中的方法对构 件进行应力分析和强度与刚度计算。
交变应力：随时间作周期性变化的应力。
基本参量：
最大应力 max
最小应力 min
max
a
平均应力 m12max min
m
应力幅
a 12max min
m in
t
有代表性的 正应力-时间 曲线
循环特征
r min max
r 1 max min 对称循环
r0
min 0
脉动循环
r 1
max min 静应力循环
疲劳破坏断口通常呈现两个区域， 即光滑区和粗糙区。
粗糙区
光滑区
产生疲劳破坏的原因:
长期在交变应力作用下，金属结构内部，将沿着最大切应力作用面产生 滑移，形成微观裂纹。在交变应力的反复作用下，微观裂纹形成宏观裂纹并 逐渐扩展。随着裂纹的扩展，构件截面不断削弱，最后，突然断裂。
疲劳过程一般分三个阶段：
AE l
d
Phd12ElAd2
st
Pl AE
P
AE l
st
2 d2std2sth0
d st 1
1
2h st
降低动荷因数的措施：
Kd 1
1
2h st
1、 增大相应的静位移。例如在发生冲击的物体间放置一弹簧（ 缓冲弹簧） 2、 减小冲击物自由下落的高度。当 h → 0 时，即重物骤然加在杆件上，Kd = 2 ，表明骤然荷载引起的动应力是将重物缓慢作用所引起的静应力的 2 倍。
A
A
A
P
Fd
P
B
d
B
st
B
解：按简化计算法，不考虑系统冲击过程中热能、声能及其它形式能量的损失。
A
A
A
P
Fd
B
d
B
冲击前：势能 EpPhd
冲击后：应变能（弹性范围）
V d
1 2
Fd d
根据能量守恒定理：
Phd12Fdd
P
st
动能 动能
B
Ek 0 Ek 0
d
Fdl AE
Phd12Fdd
Fd
例11-1 图示矩形截面梁，抗弯刚度为 EI，一重为 F 的重物从距梁顶面 h 处自由 落下，冲击到梁的跨中截面上。求：梁受冲击时的最大应力和最大挠度。
解（1）、动荷因数
根据能量守恒原理，有
1 F(Hd)2Fdd
d Fd d st F st
2 d2 st d2H st 0
Kd
d st
1
12H st
冲击前:
小球动能
Ek
1mv2 2
1 2
F g
v2
B
B
st B
冲击后: 应变能 由能量守恒得
V d
1 2
Fd d
C
C
Fd
C
F
1 2
F g
v2
1 2
F
K
2 d
st
Kd
v2 g st
(d)max Kdst
v2 Fa gst W
A
A
A
作业：
习题 6-9 习题 6-10 习题 6-11
11.4 交变应力下材料的疲劳破坏·疲劳极限 11.4.1 交变应力
荷载求得。
2、计算结果
d
st
1
a g
中，
1
a g
反映了在相应静荷载基础上动荷
载的效应，称 动荷因数，用 Kd 表示，则
Kd
FNd FNst
d d
st
st
3、强度计算
dm axK dst
静 载 下 的 许 用 应 力
11.2.2 构件等速转动时的动应力
一薄壁圆环平均直径为 D，以等角速度 w 绕
影响疲劳极限的因素 光滑小试样的疲劳极限，并不是零件的疲劳极限，零件的疲劳极限则
与零件状态和工作条件有关。零件状态包括应力集中、尺寸、表面加工质 量和表面强化处理等因素；工作条件包括载荷特性、介质和温度等因素。 其中载荷特性包括应力状态、应力比、加载顺序和载荷频率等。
• 构件外形的影响
在构件或零件截面形状和尺寸突变处（如 阶梯轴轴肩圆角、开孔、切槽等）,有应力集中 现象。应力集中的存在不仅有利于形成初始的 疲劳裂纹，而且有利于裂纹的扩展，从而降低 零件的疲劳极限。
如图所示，一起重机钢索以等加速度 a 提升一重物，重物的重量为 G，不 计钢索的重量。求：钢索的动应力。
解：1、动轴力的确定
FNd
FNdGFI 0 FNd GFI G1ag
a
2、动应力的计算
a G
dF A Nd G A1g ast1g a
FI
说明：1、由此例题可知，动荷载下的应力计算是运用动静法，将其转化为静
• 构件尺寸的影响 构件尺寸增大，所包含的缩孔、裂纹、夹杂物等增多，形成疲劳源
的概率比较大，有利于初始裂纹的形成和扩展，使得疲劳极限降低。
• 构件表面加工质量的影响 零件承受弯曲或扭转时，表层应力最大。因此，表面加工质量将会
直接影响裂纹的形成和扩展，从而影响零件的疲劳极限。
提高疲劳强度的措施 所谓提高疲劳强度，通常是指在不改变构件的基本尺寸和材料的前提下，
弯矩。
H
解：(1) B 点的静位移
B s t V F E 1 I0 a F x x d x E 1 I0 a F a a d x 4 3 F E a I3
a
F
A
C
B
EI
EI
EI
(2) 动荷因数
2H
3EIH
Kd 1
1 Bst
1 12Fa3
(3) A 点的动位移
Ast
V F1
F10
假设： 1、被冲击构件在冲击荷载的作用下服从虎克定律 2、冲击物与被冲击构件一起运动，无回弹。冲击应力瞬时传遍被冲击构件 3、冲击过程只有动能、势能、变形能的转换，无其它能量损失 4、冲击物为刚体，被冲击构件的质量忽略不计
11.3.2 自由落体冲击
已知：一重量为 P 的重物由高度为 h 的位置自由下落，冲击到固定在等截 面直杆下端 B 处的圆盘上，杆 AB 的长度为 l，横截面面积为 A。求冲击位移。
F
C
H
d
L/2
L/2
Fd
b
B h
z
y
F
C
B
st
L/2
L/2
F
A、B支座换成刚度为 k 的弹簧
A
CBaidu Nhomakorabea
H
B
Kd 1
1 2H st
L/2
L/2
A
F C
B
st
w FL3
48EI
F 2
k
B支座换成刚度为 k 的弹簧
w F
A
C
H
B
L/2
L/2
F
A
C
B
Kd 1
1 2H st
st
w FL3
2 48EI
F 2
2k
w
垂直于环平面且过圆心的平面转动。已知圆环的
径向截面面积 A 和材料密度 r 。求圆环径向截面
的正应力。
w D
解：1、求动轴力
an
w2Rw2
D 2
qdm anr1Aw2D 2rA w 22D
j j Y 0 2 F N d0 q dsinD 2d q dD
FNd1 2qdDrAw42D2
2、动应力的计算
动响应：构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等）。
11.1.2 动载荷问题的分类及研究方法
动载荷问题的分类： （1）构件作等加速直线运动和等速转动时的动应力计算； （2）构件在受冲击和作强迫振动时的动应力计算； （3）构件在交变应力作用下的疲劳破坏和疲劳强度计算。
动载荷问题的研究方法：
Mstmax Fa M dm axK dM stm ax(113 2E F Ia H 3)Fa
a
a
F
A
C
B
EI
EI
EI
D
a
a
F1
A
C
EI
F
B EI
EI
D
a
a
H
11.3.3 水平冲击
已知：等截面杆 AB 在 C 处受一重量为 F，速度为 v 的物体沿水平方向冲 击 。求：杆在危险点处的动应力。
解：
d
例11-2 已知：d1= 0.3 m, l = 6 m, F = 5 kN, E1 = 10 GPa, 求两种情况的动应力。
（1）H = 1 m自由下落；（2）H = 1 m，橡皮垫 d2 = 0.15 m, h = 20 mm，E2 =
8 MPa.
F
F
解：（1）无橡皮垫
Fl
st
=0.0425mm E1A1
F
b
A
C
H
d
B h
z
L/2
L/2
Fd
y
F
A
C
B
st
L/2
L/2
静位移
st
F L3 48EI
Kd 1
12H1 st
196FH LE 3I
A
（2）、最大应力
dmax Kd
stmax
Kd
FL 4Wz
（3）、最大挠度
dm axK dstm axK dst K d4 F 8L E 3I
A
2H
Kd 1
1 st
11.4.2 金属材料的疲劳破坏
疲劳破坏：构件在交变应力作用下的破坏。 交变应力下的疲劳破坏与静应力下的破坏有很大差异。它与交变应力
中的应力水平、应力变化情况以及应力循环次数等有关。 金属材料疲劳破坏的特点
破坏时 工作极限
疲劳破坏要经多次循环
疲劳破坏表现为脆性断裂，无论 是脆性还是塑性材料。
裂纹萌生
裂纹扩展
扩展到临界尺寸瞬时断裂
11.4.3 疲劳极限 疲劳寿命
疲劳极限：是疲劳强度设计的依据，是经过无穷多次应力循环而不发生疲
劳破坏时的最大应力值，记为 r 。
疲劳极限由疲劳实验确定。
疲劳寿命：试样疲劳破坏时所经历的应力循环次数 N 。
通过测定一组承受不同最大应力试
样的疲劳寿命，以最大应力 max 为纵坐
1 EI
a
0
F1x
x
dx
F10
1
EI
a
F x0dx
1
0
EI
a 0
F1a
Fa
aF10dx
Fa3 EI
a
D
a
a
F1
A
C
EI
F
B EI
EI
D
a
a
Kd 1
12H1 Bst
132E FIaH 3
Ast
Fa3 EI
AdKdAst (113 2E F Ia H 3)F E a I3（↑）
(4) 最大动弯矩
H
d2
H
st
F 0.07MPa A
Kd 1
12H 218 st
d1
d1
dK dst1 5 .4 2M P a
l
(2) 加橡皮垫
st
Fl Fh =0.75mm E1A1 E2A2
Kd = 52.3
dK dst 3.7M Pa
例11-3 已知F、H、a、EI，求图示刚架在自由落体冲击下 A 点的动位移和最大动
11.1 概述
11.1.1 基本概念
静荷载：荷载由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。构件内各质点加速 度很小，可略去不计。
动荷载： 荷载作用过程中随时间快速变化，或其本身不稳定（包括大小、 方向），构件内各质点加速度较大。
例:起重机以等速度吊起重物，重物对吊索的作用为静荷载。 起重机以加速度吊起重物，重物对吊索的作用为动荷载。 旋转的飞轮、气锤的锤杆工作时、打桩均为动荷载作用。
d
FNd A
rw2D2
4
FNd
qd dj
j FNd
作业：
习题 6-1 习题 6-8
11.3 构件受冲击荷载作用时的动应力 11.3.1 冲击
一个运动的物体（冲击物）以一定的速度，撞击另一个静止的物体（被冲 击构件），静止的物体在瞬间使运动物体停止运动，这种现象叫做 冲击 。
冲击问题的分析方法：能量法 由于冲击过程极短，精确计算其应力和变形较复杂。通常采用简化计算。
通过减小应力集中和改善表面质量，以提高构件的疲劳极限。
• 缓和应力集中 适当加大截面突变处的过渡圆角 • 提高构件表面层质量 淬火、渗碳、渗氮、喷丸等改善表面层质量
谢谢观赏
标，疲劳寿命 N 为横坐标，即可绘出材 料在交变应力下的 应力 - 疲劳寿命 曲线 ，即 S - N 曲线。
max 越低，N 越高；当 max 降低至某一
值 后，S-N 曲线趋于水平。
max(MPa)
750 650 550
10 4
10 5
10 6
10 7 N
11.4.3 影响疲劳极限的因素及提高疲劳强度的措施
11.2 构件作等加速直线运动或等速转动时的动应力
11.2.1 构件作等加速直线运动时的动应力
对于以等加速度作直线运动构件，只要确定其上各点的加速度 a ，就 可以应用达朗贝尔原理施加惯性力，然后，按照弹性静力学中的方法对构 件进行应力分析和强度与刚度计算。
交变应力：随时间作周期性变化的应力。
基本参量：
最大应力 max
最小应力 min
max
a
平均应力 m12max min
m
应力幅
a 12max min
m in
t
有代表性的 正应力-时间 曲线
循环特征
r min max
r 1 max min 对称循环
r0
min 0
脉动循环
r 1
max min 静应力循环
疲劳破坏断口通常呈现两个区域， 即光滑区和粗糙区。
粗糙区
光滑区
产生疲劳破坏的原因:
长期在交变应力作用下，金属结构内部，将沿着最大切应力作用面产生 滑移，形成微观裂纹。在交变应力的反复作用下，微观裂纹形成宏观裂纹并 逐渐扩展。随着裂纹的扩展，构件截面不断削弱，最后，突然断裂。
疲劳过程一般分三个阶段：
AE l
d
Phd12ElAd2
st
Pl AE
P
AE l
st
2 d2std2sth0
d st 1
1
2h st
降低动荷因数的措施：
Kd 1
1
2h st
1、 增大相应的静位移。例如在发生冲击的物体间放置一弹簧（ 缓冲弹簧） 2、 减小冲击物自由下落的高度。当 h → 0 时，即重物骤然加在杆件上，Kd = 2 ，表明骤然荷载引起的动应力是将重物缓慢作用所引起的静应力的 2 倍。
A
A
A
P
Fd
P
B
d
B
st
B
解：按简化计算法，不考虑系统冲击过程中热能、声能及其它形式能量的损失。
A
A
A
P
Fd
B
d
B
冲击前：势能 EpPhd
冲击后：应变能（弹性范围）
V d
1 2
Fd d
根据能量守恒定理：
Phd12Fdd
P
st
动能 动能
B
Ek 0 Ek 0
d
Fdl AE
Phd12Fdd
Fd
例11-1 图示矩形截面梁，抗弯刚度为 EI，一重为 F 的重物从距梁顶面 h 处自由 落下，冲击到梁的跨中截面上。求：梁受冲击时的最大应力和最大挠度。
解（1）、动荷因数
根据能量守恒原理，有
1 F(Hd)2Fdd
d Fd d st F st
2 d2 st d2H st 0
Kd
d st
1
12H st
冲击前:
小球动能
Ek
1mv2 2
1 2
F g
v2
B
B
st B
冲击后: 应变能 由能量守恒得
V d
1 2
Fd d
C
C
Fd
C
F
1 2
F g
v2
1 2
F
K
2 d
st
Kd
v2 g st
(d)max Kdst
v2 Fa gst W
A
A
A
作业：
习题 6-9 习题 6-10 习题 6-11
11.4 交变应力下材料的疲劳破坏·疲劳极限 11.4.1 交变应力
荷载求得。
2、计算结果
d
st
1
a g
中，
1
a g
反映了在相应静荷载基础上动荷
载的效应，称 动荷因数，用 Kd 表示，则
Kd
FNd FNst
d d
st
st
3、强度计算
dm axK dst
静 载 下 的 许 用 应 力
11.2.2 构件等速转动时的动应力
一薄壁圆环平均直径为 D，以等角速度 w 绕
影响疲劳极限的因素 光滑小试样的疲劳极限，并不是零件的疲劳极限，零件的疲劳极限则
与零件状态和工作条件有关。零件状态包括应力集中、尺寸、表面加工质 量和表面强化处理等因素；工作条件包括载荷特性、介质和温度等因素。 其中载荷特性包括应力状态、应力比、加载顺序和载荷频率等。
• 构件外形的影响
在构件或零件截面形状和尺寸突变处（如 阶梯轴轴肩圆角、开孔、切槽等）,有应力集中 现象。应力集中的存在不仅有利于形成初始的 疲劳裂纹，而且有利于裂纹的扩展，从而降低 零件的疲劳极限。
如图所示，一起重机钢索以等加速度 a 提升一重物，重物的重量为 G，不 计钢索的重量。求：钢索的动应力。
解：1、动轴力的确定
FNd
FNdGFI 0 FNd GFI G1ag
a
2、动应力的计算
a G
dF A Nd G A1g ast1g a
FI
说明：1、由此例题可知，动荷载下的应力计算是运用动静法，将其转化为静
• 构件尺寸的影响 构件尺寸增大，所包含的缩孔、裂纹、夹杂物等增多，形成疲劳源
的概率比较大，有利于初始裂纹的形成和扩展，使得疲劳极限降低。
• 构件表面加工质量的影响 零件承受弯曲或扭转时，表层应力最大。因此，表面加工质量将会
直接影响裂纹的形成和扩展，从而影响零件的疲劳极限。
提高疲劳强度的措施 所谓提高疲劳强度，通常是指在不改变构件的基本尺寸和材料的前提下，
弯矩。
H
解：(1) B 点的静位移
B s t V F E 1 I0 a F x x d x E 1 I0 a F a a d x 4 3 F E a I3
a
F
A
C
B
EI
EI
EI
(2) 动荷因数
2H
3EIH
Kd 1
1 Bst
1 12Fa3
(3) A 点的动位移
Ast
V F1
F10
假设： 1、被冲击构件在冲击荷载的作用下服从虎克定律 2、冲击物与被冲击构件一起运动，无回弹。冲击应力瞬时传遍被冲击构件 3、冲击过程只有动能、势能、变形能的转换，无其它能量损失 4、冲击物为刚体，被冲击构件的质量忽略不计
11.3.2 自由落体冲击
已知：一重量为 P 的重物由高度为 h 的位置自由下落，冲击到固定在等截 面直杆下端 B 处的圆盘上，杆 AB 的长度为 l，横截面面积为 A。求冲击位移。
F
C
H
d
L/2
L/2
Fd
b
B h
z
y
F
C
B
st
L/2
L/2
F
A、B支座换成刚度为 k 的弹簧
A
CBaidu Nhomakorabea
H
B
Kd 1
1 2H st
L/2
L/2
A
F C
B
st
w FL3
48EI
F 2
k
B支座换成刚度为 k 的弹簧
w F
A
C
H
B
L/2
L/2
F
A
C
B
Kd 1
1 2H st
st
w FL3
2 48EI
F 2
2k
w
垂直于环平面且过圆心的平面转动。已知圆环的
径向截面面积 A 和材料密度 r 。求圆环径向截面
的正应力。
w D
解：1、求动轴力
an
w2Rw2
D 2
qdm anr1Aw2D 2rA w 22D
j j Y 0 2 F N d0 q dsinD 2d q dD
FNd1 2qdDrAw42D2
2、动应力的计算
动响应：构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等）。
11.1.2 动载荷问题的分类及研究方法
动载荷问题的分类： （1）构件作等加速直线运动和等速转动时的动应力计算； （2）构件在受冲击和作强迫振动时的动应力计算； （3）构件在交变应力作用下的疲劳破坏和疲劳强度计算。
动载荷问题的研究方法：
Mstmax Fa M dm axK dM stm ax(113 2E F Ia H 3)Fa
a
a
F
A
C
B
EI
EI
EI
D
a
a
F1
A
C
EI
F
B EI
EI
D
a
a
H
11.3.3 水平冲击
已知：等截面杆 AB 在 C 处受一重量为 F，速度为 v 的物体沿水平方向冲 击 。求：杆在危险点处的动应力。
解：
d
例11-2 已知：d1= 0.3 m, l = 6 m, F = 5 kN, E1 = 10 GPa, 求两种情况的动应力。
（1）H = 1 m自由下落；（2）H = 1 m，橡皮垫 d2 = 0.15 m, h = 20 mm，E2 =
8 MPa.
F
F
解：（1）无橡皮垫
Fl
st
=0.0425mm E1A1
F
b
A
C
H
d
B h
z
L/2
L/2
Fd
y
F
A
C
B
st
L/2
L/2
静位移
st
F L3 48EI
Kd 1
12H1 st
196FH LE 3I
A
（2）、最大应力
dmax Kd
stmax
Kd
FL 4Wz
（3）、最大挠度
dm axK dstm axK dst K d4 F 8L E 3I
A
2H
Kd 1
1 st
11.4.2 金属材料的疲劳破坏
疲劳破坏：构件在交变应力作用下的破坏。 交变应力下的疲劳破坏与静应力下的破坏有很大差异。它与交变应力
中的应力水平、应力变化情况以及应力循环次数等有关。 金属材料疲劳破坏的特点
破坏时 工作极限
疲劳破坏要经多次循环
疲劳破坏表现为脆性断裂，无论 是脆性还是塑性材料。
裂纹萌生
裂纹扩展
扩展到临界尺寸瞬时断裂
11.4.3 疲劳极限 疲劳寿命
疲劳极限：是疲劳强度设计的依据，是经过无穷多次应力循环而不发生疲
劳破坏时的最大应力值，记为 r 。
疲劳极限由疲劳实验确定。
疲劳寿命：试样疲劳破坏时所经历的应力循环次数 N 。
通过测定一组承受不同最大应力试
样的疲劳寿命，以最大应力 max 为纵坐
1 EI
a
0
F1x
x
dx
F10
1
EI
a
F x0dx
1
0
EI
a 0
F1a
Fa
aF10dx
Fa3 EI
a
D
a
a
F1
A
C
EI
F
B EI
EI
D
a
a
Kd 1
12H1 Bst
132E FIaH 3
Ast
Fa3 EI
AdKdAst (113 2E F Ia H 3)F E a I3（↑）
(4) 最大动弯矩
H
d2
H
st
F 0.07MPa A
Kd 1
12H 218 st
d1
d1
dK dst1 5 .4 2M P a
l
(2) 加橡皮垫
st
Fl Fh =0.75mm E1A1 E2A2
Kd = 52.3
dK dst 3.7M Pa
例11-3 已知F、H、a、EI，求图示刚架在自由落体冲击下 A 点的动位移和最大动
11.1 概述
11.1.1 基本概念
静荷载：荷载由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。构件内各质点加速 度很小，可略去不计。
动荷载： 荷载作用过程中随时间快速变化，或其本身不稳定（包括大小、 方向），构件内各质点加速度较大。
例:起重机以等速度吊起重物，重物对吊索的作用为静荷载。 起重机以加速度吊起重物，重物对吊索的作用为动荷载。 旋转的飞轮、气锤的锤杆工作时、打桩均为动荷载作用。
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作业：
习题 6-1 习题 6-8
11.3 构件受冲击荷载作用时的动应力 11.3.1 冲击
一个运动的物体（冲击物）以一定的速度，撞击另一个静止的物体（被冲 击构件），静止的物体在瞬间使运动物体停止运动，这种现象叫做 冲击 。
冲击问题的分析方法：能量法 由于冲击过程极短，精确计算其应力和变形较复杂。通常采用简化计算。
通过减小应力集中和改善表面质量，以提高构件的疲劳极限。
• 缓和应力集中 适当加大截面突变处的过渡圆角 • 提高构件表面层质量 淬火、渗碳、渗氮、喷丸等改善表面层质量
谢谢观赏
标，疲劳寿命 N 为横坐标，即可绘出材 料在交变应力下的 应力 - 疲劳寿命 曲线 ，即 S - N 曲线。
max 越低，N 越高；当 max 降低至某一
值 后，S-N 曲线趋于水平。
max(MPa)
750 650 550
10 4
10 5
10 6
10 7 N
11.4.3 影响疲劳极限的因素及提高疲劳强度的措施