因式分解最牛最全的方法

(一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am an 分析：从“整体”看，这个多项式

的各项既没有公因式可提，也不能运用公 式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ， 此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组 之间的联系。

解：原式=(am an) (bm bn)

=a(m n) b(m n) =(m n )(a b)

例2、分解因式：2ax 1Oay 5by bx

分组后能直接运用公式

分解因式： x 2 y 2

ax ay

若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就

能继续分解，所以只能另外分组。

因式分解 一、 提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、 运用公式法• 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如： 2 2

(1) (a+b)(a-b) = a -b

2 2 2 ⑵(a ±b) = a ±2ab+b 2 2 3

(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b 2 2 3 3 (4) (a-b)(a +ab+b ) = a -b 下面再补充两个常用的公式： 2

2 2

(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 3 3 3

(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a

2 2 a -b =(a+b)(a-b)； 2 2 2 a ±2ab+b =(a ±b)；

3 3 2 2

a +

b =(a+b)(a -ab+b )； 3 3 a -b =(a-b)(a 2 2 +ab+b ). 例.已知a ,

b, c 是 ABC 的三边，且a 贝U ABC 的形状是() B 等腰三角形 ab bc (b c)2

2 ； 2 2 2

+b +c -ab-bc-ca) 2 ■ 2 ab bc ca ， A.直角三角形 解：a b c (a b)2 三、分组分解法.

ca (c C 等边三角形 2 2 2a 2b 2 c 、2

a) 0 a b c

D 等腰直角三角形

2 2ab 2bc 2ca bm bn

每组之间还有公因式!

解法一: 解： 原

=(2ax bx)

=2a(x

=(x 5y)(2a

第一、二项为一组；

第三、四项为一组。

式

1Oay 5y) (2ax 1 5by) b(x 5y)

b)

Oay) 解法二：第一、四项为一组；

第二、三项为一组。

bx)

原

(5by

=x(2a =(2a

b) 5y(2a b) b)(x 5y)

(二) 例3、 分析：

特点：(1) 二次项系数是1;

(2) 常数项是两个数的乘积；

(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

2

例.已知0 V a <5，且a 为整数，若2x 3x a 能用十字相乘法分解因式, 求符合条件的

a .

解析：

b 2

于是 例5、

解: 原式:

=(x 2 y 2) (ax ay)

=(x y)(x y) a(x y)

=(x

y)(x y a)

例4:分解

因式：

2

a 2a

b b 2 2 c

解: 原式:

= (a 2 2ab b 2 )c 2

=(a b)2 c 2

=(a b c) (a b c)

四、十字相乘法•

(一)二次项系数为 直接利用公式一一x 2

1的二次三项式

(p q)x pq (x p)(x q)进行分解。

分析：

2

凡是能十字相乘的二次三项式ax +bx+c ,都要求4ac >o而且是一个完全平方

数。

9 8a为完全平方数，a 1

2

分解因式：x 5x 6

由于6=2 X3=(-2) x(-3)=1 X6=(-1) x(-6)，从中可以发现只有

的分解适合，

解：2+3=5 。

2

5x 6= x (2 3)x 2 3 =(x 2)(x 3)

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积, 的代数和要等于一次项的系数。

例6、

2

X3

2

1 X2+1

X3=5

(二) 条件:

2

分解因式：x

解：原式=X

=(x

7X 6

[(1) ( 6)]x ( 1)( 6)

1)(x 6)

1X -1

1 -6

(-1 ) + (-6 ) = -7

二次项系数不为

(1) a a1a2

(2) c c1c21的二次三项式 2

ax bx c

a

1 ■

c

1

a2 C2

乘法进行分解。

2

(2005 1)x 2005

2

2)( x 3)( x 6) x

2

9

解：(1 )设 2005= a ，则原式=ax (a

1)x a

=(ax 1)(x a) =(2005x 1)(x

2005)

(2)型如abcd e 的多项

式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=(x 2 设 x 2 5x •••原式=(A

(3) b a 1C 2

2

分解结果：ax

bx a 2&

b aQ 2 a 2G

c = (a 1x c 1)(a 2x c 2)

分解因式: 分析：

3x 2

11x 10

(三) 例8、

分析：

解：3x 2

二次项系数为 1 2

分解因式：a

将b 看成常数， 11x 10= (x 2)(3x

的齐次多项式

8ab 128b 2

把原多项式看成关于 1 -2

-5

(-6 ) + (-5 ) = -11

5)

a 的二次三项式，利用十字相

解：a 2

8ab (四)二次项系数不为

2 x 2

7xy 6y

1

.

-2

y

2

(-3y)+(-4y)= -7y

1 1

8b+(-16b)= -8b

128b 2= a 2

[8b =(a 8b)(a

1的齐次多项式

8b -16b

(16b)]a 8b ( 16b)

16b)

2 2

x y 3xy 2

把xy 看作一个整体 1，..

-1 1 -2

(-1)+(-2)= -3

解：原式=(x 2y)(2x

3y)

解：原式=(xy 1)( xy 2)

五、换元法

2

例13、分解因式(1) 2005x

(2)(x 1)(x

7x 6)( x 2 5x 6) 6 A ，则 x 2 7x 6 2 2

2x)A x = A 2Ax x)2= (x 2 6x 6)2

A 2x 2 x

x 2