第二章-直线与圆的位置关系单元提升培优测试题(含答案)

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒如图，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为33的圆与OB的位置关系是（）
A﹒相离B﹒相切C﹒相交D﹒以上三种情况均有可能
第1题图第2题图第3题图第4题图
2﹒如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE 于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）
A﹒20°B﹒40°C﹒50°D﹒60°
3﹒如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D 作⊙O的切线DM，交BC于M，切点为N，则DM的长为（）
A﹒13
3
B﹒
9
2
C﹒
4
3
3
D﹒25
4﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为（）
A﹒2πB﹒4πC﹒6πD﹒8π
5﹒如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径.若∠P＝40°，则∠BAC的度数为（）
A﹒20°B﹒25°C﹒30°D﹒40°
第5题图第6题图第7题图第8题图
6﹒如图，如果等边△ABC的内切圆⊙O的半径为2，那么△ABC的面积为（）A﹒43B﹒63C﹒83D﹒123
7﹒如图，以半圆O中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，
若AD
DB
＝
2
3
，且AB＝10，则CB的长为（）
A﹒45B﹒43C﹒42D﹒4
8﹒如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点，连结DO，DE.则下列结论中不一定正确的是（）
A﹒DO∥AB B﹒△ADE是等腰三角形C﹒DE⊥AC D﹒DE是⊙O的切线
9﹒如图，在△ABC中，∠BCA＝60°，∠A＝40°，AC＝26，
经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点
M，N，则线段MN长度的最小值是（）
A﹒3B﹒23
C﹒22D﹒6
10.如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取
一点E，使DE＝CD，连结AE.给出以下结论：
①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③BD＝AD；④AE为
⊙O的切线，其中正确的结论是（）
A﹒①②B﹒①②③
C﹒①④D﹒①②④
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）第10题图
第9题图
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），⊙A的半径为1，若直线y＝mx－m（m≠0）与⊙A相切，则m的值为_______________.
12.已知：在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O和M分别为Rt ABC的外心和内心，则线
段OM的长为_____________.
13.如图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD
－1，则∠ACD＝__________.
第13题图第14题图第16题图
14.如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是CF的中点，
弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF＝__________.
15.已知：点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝1，AB是⊙O的弦，AB，
连结PB，则PB＝_______________.
16.如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆相交于点
Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②PQ
BQ ＝
3
2
；③S
△PDQ
＝
1
8
；④cos∠ADQ＝
3
5
，其中正
确结论是_________________.（只填写序号）
三、解答题（本题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.(6分)如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连结BE，
过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长.
18.(8分)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中
点，AE交⊙O于点B.
（1）当AD是多少时，四边形BCOE是平行四边形？
（2）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
19.(8分)如图，已知直线y+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P是反比例函数y
（x＜0）图象上的一动点，PH⊥x轴于点H，若以点P为圆心，PH为半径作⊙O，当⊙O与直线AB恰好相切时，求此时OH的长.
20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上一点O为圆心的半圆与AB切于点D，与
AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝2
3
.
（1）求⊙O的半径OD长；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图两部分阴影面积的和.
21.(10分)已知，AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP＝OB＝2，点Q在⊙O上，连
结PQ.
（1）如图1，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；
（2）如图2，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC＝CQ，连结OQ，交AC于点D.
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长.
图1图2
22.(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE
与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH EA；
（3）若⊙O的半径为5，sin A＝3
5
，求BH的长.
23.(12分)如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的
上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y＝3
4
x+4，与x轴相交于点D，以点C为
顶点的抛物线过点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离.
参考答案
Ⅰ﹒答案部分：
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B A D A C A D
二、填空题
11.±3
3
.12.5.13.112.5°.
14.23.15.1或5.16.①②④．
三、解答题
17.解答：（1）证明：连结OE，
∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠AOC＝∠COE，
又∵OA＝OE，OC＝OC，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO＝∠CEO＝90°，即AC⊥OA，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，
∴BE＝1
2
OD＝OB＝4，
∵OB＝OE，
∴△BOE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝BE tan60°＝43.
18.解答：（1）如图，连结BD，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°，
假设四边形BCOE是平行四边形，则BC∥OE，BC＝OE＝1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC＝1
2
AD＝1，∴AD＝2，
∴当AD＝2时，四边形BCOE为平行四边形；（2）BC与⊙O相切，理由如下：
连结OB，∵BC∥OD，BC＝OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，∴平行四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
19.解答：作PC⊥AB于C，连结AP，
∵直线y＝﹣3x+3分别与x轴、y轴交于A、B，当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝3，
∴A（3，0），B（0，3），
∵∠AOB＝90°，tan∠OAB＝
3
＝3，
∴∠OAB＝60°，
∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，∴PH＝PC，
∴AP平分∠OAB，
∴∠PAH＝1
2
∠OAB＝30°，
设OH＝x，则AH＝x+3，
∵PH⊥x轴，
∴∠PHA＝90°，
∴tan∠PAH＝PH AH
，
∴PH＝AH tan30°＝3
（x+3），
∵点P是y＝﹣3
（x＜0）的图象上一点，
∴PH OH＝3，即
3
3
(x+3)x＝3，
解得：x＝153
-
（负值舍去），
∴OH＝153
-
.
20.解答：（1）∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝BD
OD
＝
2
3
，
∴OD＝3；（2）连结OE，
∵AE ＝OD ＝3，AE ∥OD ，
∴四边形AEOD 为平行四边形， ∴AD ∥EO ，
∵DA ⊥AE ，∴OE ⊥AC ， 又∵OE 为⊙O 的半径， ∴AE 为⊙O 的切线； （3）∵OD ∥AC ， ∴
BD AB ＝OD AC ，即223+＝3
AC
，
∴AC ＝7.5，
∴EC ＝AC ﹣AE ＝7.5﹣3＝4.5，
∴S 阴影＝S △BDO +S △OEC ﹣S 扇形FOD ﹣S 扇形EOG
＝12
×2×3+1
2
×3×4.5﹣2903360
π⨯
＝3+
27
4
﹣94π
＝3994
π-．
21.解答：（1）如图1，连结OQ ， ∵PQ 切⊙O 于点Q ，∴OQ ⊥PQ ， 又∵BP ＝OB ＝OQ ＝2，
∴PQ ＝22OP OQ -＝2242-＝23； （2）OQ ⊥AC ，理由如下：如图②，连结BC ， ∵BP ＝OB ，
∴点B 是OP 的中点， 又∵PC ＝CQ ，
∴BC 是△PQO 的中位线， ∴BC ∥OQ ，
又∵AB 是直径，
∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ， ∴OQ ⊥AC ；
（3）如图②，连结AQ ，
∵四边形ABCQ 内接于⊙O ，∴∠PCB ＝∠PAQ ， 又∵∠P ＝∠P ，∴△PCB ∽△PAQ ， ∴
PC PA
＝PB PQ ，即PC PQ ＝PB PA ， ∴12
PQ 2＝2×6，解得PQ ＝26．
22.解答：（1）证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ，
∴∠ODB ＝∠ABC ，
∵OF ⊥BC ，∴∠BFD ＝90°， ∴∠ODB +∠DBF ＝90°，
∴∠ABC +∠DBF ＝90°，即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）证明：连结AC ，∵OF ⊥BC ， ∴BE ＝CE ， ∴∠CAE ＝∠ECB ， ∵∠CEA ＝∠HEC ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴
CE EH ＝EA
CE
，∴CE 2＝EH EA ； （3）解：连结BE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， ∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝3
5
， ∴AB ＝10，BE ＝AB sin ∠BAE ＝10×35
＝6， ∴EA ＝22AB BE -＝22106-＝8， ∵BE ＝CE ， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH
EA ，∴EH ＝268＝9
2
，
在Rt △BEH 中，BH ＝22BH EH +＝229
6()2
+＝
152
． 23.解答：（1）如图，连结AE ，由已知得：AE ＝CE ＝5，OE ＝3， 在Rt △AOE 中，由勾股定理得：OA ＝22AE OE -＝2253-＝4， ∵OC ⊥AB ，
∴由垂径定理得：OB ＝OA ＝4， ∴OC ＝OE +CE ＝3+5＝8， ∴A （0，4），B （0，－4），C （8，0）， ∵抛物线的顶点为C ，
设抛物线的解析式为：y ＝a (x －8)2，
将点B 的坐标代入上解析式得：64a ＝－4，
解得a ＝－
116，∴y ＝－1
16
(x －8)2， ∴抛物线的解析式为y ＝－1
16x 2+x －4；
（2）在直线l 的解析式y ＝34x +4中，令y ＝0，则34x +4＝0，解得x ＝－16
3
，
∴点D 的坐标为（－163，0），∴OD ＝16
3
，
当x ＝0时，y ＝4，
∴点A 在直线l 上，
在Rt △AOE 和Rt △DOA 中，∵OE OA ＝34，OA
OD
＝34， ∴
OE OA ＝OA
OD
，
∵∠AOE＝∠DOA＝90°，∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO＝∠DOA，
∵∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠DAO+∠EAO＝90°，即∠DAE＝90°，
∴直线l与⊙O相切于A.
（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作PM⊥x轴，交直线l于点M，
设M(m，3
4
m+4)，P(m，－1
16
x2+x－4)，则PM＝3
4
m+4－(－1
16
x2+x－4)＝1
16
(m－2)2+
31
4
，
当m＝2时，PM取得最小值31
4
，此时，P（2，－
9
4
），
对于△PQM，∵PM⊥x轴，
∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO，
又∠PQM＝90°，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
∴PQ最小值＝PM最小值sin∠QMP＝PM sin∠AEO＝31
4
×
4
5
＝
31
5
，
∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，－9
4
）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为
31
5
.
Ⅱ﹒解答部分：
1﹒如图，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为33的圆与OB的位置关系是（）
A﹒相离B﹒相切C﹒相交D﹒以上三种情况均有可能
解答：过点O作OC⊥PB于点C，∵∠APB＝30°，
∴OC＝1
2
PO＝3，
∵3＜33，
∴半径为33的圆与OB的位置关系是相交，
故选：C.
2﹒如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE 于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）
A﹒20°B﹒40°C﹒50°D﹒60°
解答：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝1
2
∠AOC＝40°，
∴∠ADB＝90°﹣∠B＝50°，
故选：B．
3﹒如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D 作⊙O的切线DM，交BC于M，切点为N，则DM的长为（）
A﹒13
3
B﹒
9
2
C﹒
4
3
3
D﹒25
解答：连接OE ，OF ，ON ，OG ，
在矩形ABCD 中，∵∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4， ∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点， ∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°， ∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形， ∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，∴DE ＝3， ∵DM 是⊙O 的切线，
∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ， ∴CM ＝5﹣2﹣MN ＝3﹣MN ， 在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2+CM 2， 即(3+NM )2＝(3﹣NM )2+42， 解得：NM ＝43
，∴DM ＝3+43
＝
133
， 故选：A ．
4﹒如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm 和3cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，则劣弧AB 的长为（） A ﹒2πB ﹒4πC ﹒6πD ﹒8π 解答：如图所示，连结OA ，OC ， ∵弦AB 切小圆于点C ，∴OC ⊥AB ，
∵OA ＝6，OC ＝3，∴OC ＝1
2
OA ，∴∠A ＝30°， ∴∠AOC ＝60°，同理，∠BOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°，
∴劣弧AB 的长＝1206180
π
⨯＝4π，
故选：B .
5﹒如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径.若∠P ＝40°，则∠BAC 的度数为（）
A ﹒20°
B ﹒25°
C ﹒30°
D ﹒40° 解答：连结BC ，OB ，
∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点， ∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°， 又∠P ＝40°，
∴∠AOB ＝180°－∠P ＝140°， ∴∠BOC ＝40°，
∴∠BAC ＝1
2
∠BOC ＝20°，
故选：A .
6﹒如图，如果等边△ABC 的内切圆⊙O 的半径为2，那么△ABC 的面积为（） A ﹒43B ﹒63C ﹒83D ﹒123 解答：连结OB ，OD ，OA ， ∵⊙O 是等边△ABC 的内切圆， ∴∠OBD ＝30°，∠BDO ＝90°， ∴OB ＝2OD ＝4，
由勾股定理得：BD＝22
OB OD
-＝23，
同理，CD＝23，∴BC＝BD+CD＝43，
∵△ABC是等边三角形，A，O，D三点共线，
∴AD＝6，
∴S△ABC＝1
2
BC AD＝123，
故选：D.
7﹒如图，以半圆O中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，
若AD
DB
＝
2
3
，且AB＝10，则CB的长为（）
A﹒45B﹒43C﹒42D﹒4
解答：如图，∵AD
DB
＝
2
3
，且AB＝10，
∴AD＝4，BD＝6，
作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，
可得A、C、A′三点共线，
∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，
∴AB＝A′B，
∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．
而A′C A′A＝A′D′A′B，即2A′C2＝4×10＝40．
则A′C2＝20，
又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，
∴CB＝45，
故选：A．
8﹒如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作圆，交斜边AB于点E，D为AC的中点，连结DO，DE.则下列结论中不一定正确的是（）
A﹒DO∥AB B﹒△ADE是等腰三角形C﹒DE⊥AC D﹒DE是⊙O的切线
解答：连接OE，
∵D为AC的中点，O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴DO∥AB，故选项A正确；
∴∠COD＝∠B，∠DOE＝∠OEB，∠CDO＝∠A，∠EDO＝∠DEA，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠B，
∴∠COD＝∠DOE，
在△COD和△EOD中，
OC OE
COD EOD OD OD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△COD≌△EOD（SAS），
∴∠OED＝∠OCD＝90°，∠CDO＝∠EDO，∴DE为⊙O的切线，故选项D正确；
∵∠A＝∠DEA，
∴△AED为等腰三角形，故选项B正确，
则不一定正确的为DE⊥AC．
故选：C.
9﹒如图，在△ABC中，∠BCA＝60°，∠A＝40°，AC＝26，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（）
A﹒3B﹒23C﹒22D﹒6
解答：如图，作CF⊥AB于点F，以CF为直径作⊙O，与CB，CA分别相交于点M，N，则线段MN 的长最小，
∵⊙O的直径是点C到AB距离最小的，此时∠MON为定值，
∴线段MN此时长最小，
∴∠CFA＝90°，
∵∠A＝45°，AC＝26，
∴CF＝
2
＝23，即⊙O的半径为3，
作OE⊥MN于点E，连结OM，ON，则∠MOE＝1
2
∠MON，
∵∠BCA＝60°，∴∠MON＝120°，
∴∠MOE＝60°，∴ME＝OM sin60°＝3 2
∴MN＝2ME＝3，
故选：A.
10.如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取
一点E，使DE＝CD，连结AE.给出以下结论：
①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③BD＝AD；④AE为
⊙O的切线，其中正确的结论是（）
A﹒①②B﹒①②③C﹒①④D﹒①②④
解答：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，而AB＝CB，∴AD＝DC，故①正确；
∵AB＝CB，∴∠1＝∠2，
而CD＝ED，∴∠3＝∠4，
∵CF∥AB，∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴△CBA∽△CDE，故②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠1不能确定等于45°，
∴BD与AD不能确定相等，故③错误；
∵DA＝DC＝DE，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AE，
而CF∥AB，∴AB⊥AE，
∴AE为⊙O的切线，故④正确，
故选：D．
二、填空题
11.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，0），⊙A的半径为1，若直线y＝mx－m（m≠0）与⊙A相切，则m的值为_______________.
解答：如图所示，设直线y＝mx－m（m≠0）与x轴相交于点C，与y轴交于点D，
令y＝0，则mx－m＝0，解得：x＝1，
令x＝0，则y＝－m，故B（0，－m），C（1，0），
∴OB＝m-＝m，
∵直线y＝mx－m与⊙A相切，
∴易得△ACD∽△BCO，∴DC：OC＝AD：OB，
即3：1＝1：m，解得：m＝±3，
故答案为：±3
3
.
12.已知：在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点O和M分别为Rt ABC的外心和内心，则线
段OM的长为_____________.
解答：如图，作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝22
AC BC
+＝10，
∵点O为外接圆的外心，∴AO＝1
2
AB＝5，
设⊙M的半径为R，则MD＝ME＝R，
又∵∠MDC＝∠MEC＝∠C＝90°，
∴四边形MECD是正方形，
∴CE＝CD＝R，AE＝AN＝6－R，BD＝BN＝8－R，
∵AB＝10，∴8－R+6－R＝10，解得：R＝2，
∴MN＝R＝2，AN＝6－R＝4，
在Rt△OMN中，∵∠MNO＝90°，ON＝AO－AN＝1，
∴OM＝22
MN ON
+＝5，
故答案为：5.
13.如图，AB是⊙O的直径，OA＝1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD
＝2－1，则∠ACD＝__________.
解答：如图，连结OC，∵OC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，
∵BD＝2－1，OA＝OB＝OC＝1，
∴OD＝2，∴CD＝22
OD OC
-＝1，
∴OC＝OD，∴∠DOC＝45°，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝1
2
∠DOC＝22.5°，
∴∠ACD＝∠OCA+∠OCD＝22.5+90°＝112.5°，
故答案为：112.5°.
14.如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是CF的中点，
弦CF交AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF＝__________.解答：连结OC，
∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，
∵BD＝OB，∴OB＝1
2 OD，
∵OC＝OB，∴OC＝1
2 OD，
∴∠D＝30°，∴∠COD＝60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是CF的中点，
∴CF⊥OB，CE＝EF，
∴CE＝OC sin60°＝2×3
2
＝3，
∴CF＝23，
故答案为：23.
15.已知：点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝1，AB是⊙O的弦，AB＝2，
连结PB，则PB＝_______________.
解答：分两种情况：
（1）如图1，连结OA，∵PA＝AO＝1，OA＝OB，PA是⊙O的切线，
∴∠AOP＝45°，
∵OA＝OB，∴∠BOP＝∠AOP＝45°，
又∵OP＝OP，∴△POA≌△POB（SAS），
∴PB＝PA＝1；
（2）如图2，连结OA，与PB交于点C，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，而PA＝PO＝1，∴OP＝2，
∵AB＝2，而OA＝OB＝1，
∴AO⊥BO，∴四边形PABO是平行四边形，
∴PB与AO互相平分，
设AO交PB于点C，则OC＝1
2
OA＝1
2
，
∴BC＝
5
2
，∴PB＝5，
故答案为：1或5.
16.如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD的中点，BP与半圆相交于点
Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②PQ
BQ ＝
3
2
；③S
△PDQ
＝
1
8
；④cos∠ADQ＝
3
5
，其中正
确结论是_________________.（只填写序号）解答：①连结OQ，OD，如图1所示，
易证四边形DOBP是平行四边形，∴DO∥BP．
∵OQ＝OB，∴∠AOD＝∠QOD，∴△AOD≌△QOD，∴DQ＝DA＝1．故①正确；
②连接AQ，如图2．
则CP＝1
2
，BP＝22
1
1()
2
+＝
5
，
易证Rt△AQB∽Rt△BCP，
运用相似三角形的性质可求得BQ＝5，
则PQ＝5
2﹣5
5
＝35
10
，
∴PQ
BQ ＝
3
2
．故②正确；
③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，
运用相似三角形的性质可求得QH＝3
5
，
∴S
△DPQ ＝
1
2
DP QH＝1
2
×
1
2
×
3
5
＝
3
20
，故③错误；
④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，
根据平行线分线段成比例可得DN
AN
＝
PQ
BQ
＝
3
2
，
则有
1DN
DN
-
＝
3
2
，解得：DN＝
3
5
．
由DQ＝1，得cos∠ADQ＝DN
DQ
＝
3
5
，故④正确．
综上所述：正确结论是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
17.如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连结BE，过点
O作OC∥BE交切线DE于点C，连结AC.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长.
解答：（1）证明：连结OE，
∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∵BE∥OC，∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠AOC＝∠COE，
又∵OA＝OE，OC＝OC，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO＝∠CEO＝90°，即AC⊥OA，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，
∴BE＝1
2
OD＝OB＝4，
∵OB＝OE，
∴△BOE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝BE tan60°＝43.
18.(8分)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中
点，AE交⊙O于点B.
（1）当AD是多少时，四边形BCOE是平行四边形？
（2）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
解答：（1）如图，连结BD，∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE＝90°，
假设四边形BCOE是平行四边形，则BC∥OE，BC＝OE＝1，
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC＝1
2
AD＝1，∴AD＝2，
∴当AD＝2时，四边形BCOE为平行四边形；
（2）BC与⊙O相切，理由如下：
连结OB，∵BC∥OD，BC＝OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，∴平行四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线.
19.(8分)如图，已知直线y＝－3x+3分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P是反比例函数y＝3
（x＜0）图象上的一动点，PH⊥x轴于点H，若以点P为圆心，PH为半径作⊙O，当⊙O与直线AB恰好相切时，求此时OH的长.
解答：作PC⊥AB于C，连结AP，
∵直线y＝﹣3x+3分别与x轴、y轴交于A、B，
当y＝0时，x＝3，当x＝0时，y＝3；
∴A（3，0），B（0，3）；
∵∠AOB＝90°，tan∠OAB＝
3
＝3，
∴∠OAB＝60°，
∵以P为圆心，PH为半径的圆与直线AB相切，
∴PH＝PC，
∴AP平分∠OAB，
∴∠PAH＝1
2
∠OAB＝30°，
设OH＝x，则AH＝x+3，
∵PH⊥x轴，
∴∠PHA＝90°，
∴tan∠PAH＝PH AH
，
∴PH＝AH tan30°＝3（x+3），
∵点P是y＝﹣3（x＜0）的图象上一点，∴PH OH＝3，即3(x+3)x＝3，
解得：x＝153
-
（负值舍去），
∴OH＝153 2
-
.
20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以BC边上一点O为圆心的半圆与AB切于点D，与
AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝2
3
.
（1）求⊙O的半径OD长；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图两部分阴影面积的和.
解答：（1）∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝BD
OD
＝
2
3
，
∴OD＝3；
（2）连结OE，
∵AE＝OD＝3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，
又∵OE为⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
（3）∵OD∥AC，
∴BD
AB
＝
OD
AC
，即
2
23
+
＝
3
AC
，
∴AC＝7.5，
∴EC＝AC﹣AE＝7.5﹣3＝4.5，
∴S
阴影＝S
△BDO
+S
△OEC
﹣S
扇形FOD
﹣S
扇形EOG
＝1
2
×2×3+
1
2
×3×4.5﹣
2
903
360
π⨯
＝3+27
4
﹣
9
4
π
＝399
4
π
-
．
21.(10分)已知，AB 是⊙O 的直径，点P 在线段AB 的延长线上，BP ＝OB ＝2，点Q 在⊙O 上，连
结PQ .
（1）如图1，线段PQ 所在的直线与⊙O 相切，求线段PQ 的长；
（2）如图2，线段PQ 与⊙O 还有一个公共点C ，且PC ＝CQ ，连结OQ ，交AC 于点D .
①判断OQ 与AC 的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ 的长.
解答：（1）如图1，连结OQ ，
∵PQ 切⊙O 于点Q ，∴OQ ⊥PQ ，
又∵BP ＝OB ＝OQ ＝2，
∴PQ ＝22OP OQ -＝2242-＝23；
（2）OQ ⊥AC ，理由如下：如图②，连结BC ，
∵BP ＝OB ，
∴点B 是OP 的中点，
又∵PC ＝CQ ，
∴BC 是△PQO 的中位线，
∴BC ∥OQ ，
又∵AB 是直径，
∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，
∴OQ ⊥AC ；
（3）如图②，连结AQ ，
∵四边形ABCQ 内接于⊙O ，∴∠PCB ＝∠PAQ ，
又∵∠P ＝∠P ，∴△PCB ∽△PAQ ，
∴PC PA
＝PB PQ ，即PC PQ ＝PB PA ， ∴12PQ 2＝2×6，解得PQ ＝26．
22.(12分)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点E ，AE
与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且∠ODB ＝∠AEC .
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）求证：CE 2＝EH EA ；
（3）若⊙O 的半径为5，sin A ＝35
，求BH 的长.
解答：（1）证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ，
∴∠ODB ＝∠ABC ，
∵OF ⊥BC ，∴∠BFD ＝90°，
∴∠ODB +∠DBF ＝90°，
∴∠ABC +∠DBF ＝90°，即∠OBD ＝90°，
∴BD ⊥OB ，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）证明：连结AC ，∵OF ⊥BC ，
∴BE ＝CE ，
∴∠CAE ＝∠ECB ，
∵∠CEA ＝∠HEC ，
∴△CEH ∽△AEC ，
∴CE EH ＝EA CE ，∴CE 2＝EH EA ； （3）解：连结BE ，∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝90°，
∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，
∴AB ＝10，BE ＝AB sin ∠BAE ＝10×35＝6，
∴EA ＝22AB BE -＝22106-＝8，
∵BE ＝CE ，
∴BE ＝CE ＝6，
∵CE 2＝EH EA ，∴EH ＝268＝92
， 在Rt △BEH 中，BH ＝22BH EH +＝229
6()2+＝152
． 23.(12分)如图，⊙E 的圆心E （3，0），半径为5，⊙E 与y 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），与y 轴的正半轴交于点C ，直线l 的解析式为y ＝3
4x +4，与x 轴相交于点D ，以点C 为
顶点的抛物线过点B .
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l 与⊙E 的位置关系，并说明理由；
（3）动点P 在抛物线上，当点P 到直线l 的距离最小时，求出点P 的坐标及最小距离. 解答：（1）如图，连结AE ，由已知得：AE ＝CE ＝5，OE ＝3，
在Rt △AOE 中，由勾股定理得：OA ＝22AE OE -＝2253-＝4，
∵OC ⊥AB ，
∴由垂径定理得：OB ＝OA ＝4，
∴OC ＝OE +CE ＝3+5＝8，
∴A （0，4），B （0，－4），C （8，0），
∵抛物线的顶点为C ，
设抛物线的解析式为：y ＝a (x －8)2，
将点B 的坐标代入上解析式得：64a ＝－4，
解得a ＝－
116，∴y ＝－116
(x －8)2， ∴抛物线的解析式为y ＝－116
x 2+x －4； （2）在直线l 的解析式y ＝34x +4中，令y ＝0，则34x +4＝0，解得x ＝－163
， ∴点D 的坐标为（－163，0），∴OD ＝163， 当x ＝0时，y ＝4，
∴点A 在直线l 上，
在Rt △AOE 和Rt △DOA 中，∵OE OA ＝34，OA OD
＝34，
∴OE
OA
＝
OA
OD
，
∵∠AOE＝∠DOA＝90°，
∴△AOE∽△DOA，
∴∠AEO＝∠DOA，
∵∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠DAO+∠EAO＝90°，即∠DAE＝90°，
∴直线l与⊙O相切于A.
（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作PM⊥x轴，交直线l于点M，
设M(m，3
4
m+4)，P(m，－1
16
x2+x－4)，则PM＝3
4
m+4－(－1
16
x2+x－4)＝1
16
(m－2)2+
31
4
，
当m＝2时，PM取得最小值31
4
，
此时，P（2，－9
4），
对于△PQM，∵PM⊥x轴，
∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO，
又∠PQM＝90°，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
∴PQ最小值＝PM最小值sin∠QMP＝PM sin∠AEO＝31
4
×
4
5
＝
31
5
，
∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，－9
4
）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为
31
5
.,。