一阶线性微分方程教学设计
一阶线性微分方程的解法教案
一阶线性微分方程的解法教案一、简介微分方程是数学中重要的概念之一，它描述了函数与其导数之间的关系。
一阶线性微分方程是一类特殊的微分方程，其形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
本文将介绍一阶线性微分方程的解法，并提供相应的教案。
二、分离变量法分离变量法是解一阶线性微分方程的常用方法。
对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的线性微分方程，我们可以通过以下步骤来求解：1. 将方程重写为dy/y = Q(x)dx，即将变量分离至方程的两侧。
2. 对等式两边积分，得到∫(1/y)dy = ∫Q(x)dx。
3. 对右侧进行积分，得到ln|y| = ∫Q(x)dx + C，其中C为常数。
4. 通过取指数，得到|y| = e^∫Q(x)dx * e^C。
5. 化简得到y = ±e^C * e^∫Q(x)dx。
三、特殊解和通解在使用分离变量法求解线性微分方程的过程中，我们得到的是该方程的特殊解。
要得到方程的通解，则需要添加一个常数C，该常数可以由附加的初始条件确定。
四、一阶常系数线性微分方程一阶常系数线性微分方程是一类形如dy/dx + ay = b的特殊线性微分方程，其中a和b为常数。
我们可以使用以下步骤来求解该类型的微分方程：1. 首先，我们考虑特解y_p。
如果b不等于0，则令y_p = A，其中A为常数。
2. 将特解y_p代入原方程，解得A = b/a。
3. 接下来，我们考虑齐次方程dy/dx + ay = 0的通解y_h。
4. 齐次方程的通解可以表示为y_h = Ce^(-ax)，其中C为常数。
5. 因此，一阶常系数线性微分方程的通解可以表示为y = y_p + y_h= (b/a) + Ce^(-ax)，其中C为常数。
五、一阶非齐次线性微分方程对于一般形式的一阶非齐次线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以通过以下步骤来求解：1. 首先，我们求解对应的齐次方程dy/dx + P(x)y = 0的通解y_h。
《高职工科应用数学》教案40一阶微分方程
《高职工科应用数学》教案40一阶微分方程一、教学目标1.理解一阶微分方程的概念和基本性质。
2.掌握一阶可分离变量微分方程的解法。
3.熟练运用线性微分方程的解法。
4.了解齐次微分方程和一般一阶线性微分方程的解法。
5.能够应用一阶微分方程解决实际问题。
二、教学内容1.一阶微分方程的概念和基本性质1.1一阶微分方程的定义1.2一阶微分方程的基本形式1.3一阶微分方程的解的含义和概念1.4一阶微分方程的解的存在与唯一性定理2.一阶可分离变量微分方程的解法2.1可分离变量微分方程的基本概念2.2可分离变量微分方程的解的求法2.3可分离变量微分方程解的存在与唯一性定理3.线性微分方程的解法3.1线性微分方程的定义3.2线性微分方程的标准形式3.3齐次线性微分方程的解法3.4非齐次线性微分方程的解法4.齐次微分方程的解法4.1齐次微分方程的定义4.2齐次微分方程的解的形式4.3齐次微分方程的解的存在与唯一性定理5.一般一阶线性微分方程的解法5.1一般一阶线性微分方程的定义5.2一般一阶线性微分方程的解的形式5.3一般一阶线性微分方程的解的存在与唯一性定理6.应用一阶微分方程解决实际问题6.1几何问题的建模与求解6.2生活中的实际问题的建模与求解三、教学重点和难点1.一阶微分方程的概念和基本性质2.一阶可分离变量微分方程的解法3.线性微分方程的解法4.齐次微分方程的解法5.一般一阶线性微分方程的解法6.应用一阶微分方程解决实际问题四、教学策略1.打破传统的教学模式，采用探究式教学，鼓励学生主动思考和参与课堂讨论。
2.结合具体实例，生动形象地介绍一阶微分方程的概念和性质，激发学生的兴趣。
3.设计一些有趣的练习题和实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
五、教学资源1.教材：《高职工科应用数学》第五章2.多媒体课件3.相关的教学视频和软件六、教学评估1.课堂练习：通过课堂练习，检验学生对知识点的掌握程度。
2.课堂讨论：鼓励学生参与课堂讨论，检验学生的分析和解决问题的能力。
齐次方程一阶线性微分方程教案
齐次方程一阶线性微分方程教案一、教学目标1.理解一阶线性微分方程和齐次方程的概念。
2.掌握求解一阶线性微分方程和齐次方程的方法。
3.能够应用所学知识解决实际问题。
4.培养学生的数学思维和分析问题的能力。
二、教学重点1.一阶线性微分方程的求解方法。
2.齐次方程的求解方法。
三、教学难点1.如何理解和运用线性微分方程的概念。
2.如何解决实际问题。
四、教学准备1.教材：一般高等数学教材。
2.教具：多媒体投影仪、黑板、彩色笔。
五、教学过程Step 1 引入新知1.引导学生回顾一阶微分方程的定义和概念，并提出一阶线性微分方程和齐次方程的概念。
2.通过实际问题引出一阶线性微分方程和齐次方程的应用。
Step 2 探究学习1. 介绍一阶线性微分方程的一般形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2.通过示例分析一阶线性微分方程的解法：a) 先求齐次方程的通解，即dy/dx + P(x)y = 0。
b) 再求特解，使得dy/dx + P(x)y = Q(x)成立。
c)将齐次方程通解和特解相加即为原方程的通解。
3.引导学生思考如何求解一阶线性微分方程中的齐次方程，提出分离变量法。
4.通过示例讲解分离变量法的具体步骤。
Step 3 归纳总结1.小结一阶线性微分方程和齐次方程的求解方法。
2.强调一阶线性微分方程的解是由齐次方程的通解和特解组成的。
3.总结一阶线性微分方程的解的唯一性定理。
Step 4 拓展应用1.通过实际问题引导学生将所学知识应用于实际生活中的相关问题，如人口增长模型等。
2.提供更复杂的一阶线性微分方程，引导学生思考求解的方法。
Step 5 练习巩固1.布置一些课后习题，巩固学生对一阶线性微分方程和齐次方程的理解和应用能力。
2.可以分小组进行练习，鼓励学生相互讨论、思考。
六、课堂互动1.结合示例和实际问题引导学生思考解题思路，鼓励他们提出自己的疑问和解决方法。
2.鼓励学生互相讨论并分享解题思路，激发他们的学习兴趣。
第三十三讲 一阶线性微分方程(最全)word资料
第三十三讲 一阶线性微分方程重点：一阶线性微分方程通解的求法 难点：用公式求解形如)()(x Q y x P y =+' （1）的微分方程，称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程。
它的特点是：微分方程中所含的未知函数和未知函数的导数都是一次的。
如果)(x Q ≡0，则方程（1）变为0)(=+'y x P y （2）称为一阶线性齐次微分方程，简称一阶线性齐次方程；如果)(x Q 不恒等于零，则称方程（1）为一阶线性非齐次微分方程，简称一阶线性非齐次方程。
通常称方程（2）为方程（1）所对应的线性齐次方程。
下面我们来讨论这类方程的解法。
1．一阶线性齐次方程的解法 由（2）分离变量，得dx x P ydy)(-= 两边同时求不定积分⎰+-=C dx x P y ln )(ln所以，方程（2）的通解为⎰-=dx x P Ce y )( （C 为任意常数） （3）例1 求微分方程 0)(sin =+'y x y 的通解。
例2 求方程0)2(2=+-dy x dx xy y 满足初始条件e y =)1(的特解。
2．一阶线性非齐次方程的解法方程（1）与它所对应的齐次方程（2）的差异在等式右端，那么，我们可以猜想它们的通解之间会有一定的联系。
由前面讨论知，当C 是任意常数时，（3）是（2）的解，却决不可能是（1）的解。
因此，如果（1）有形如（3）的解，那么C 应当是一个关于x 的函数，即)(x C C =。
把⎰-=dx x P e x C y )()(代入（1），得)()()())](()()([)()()(x Q e x C x P x P e x C e x C dx x P dx x P dx x P =+-+'⎰⎰⎰---⎰='dxx P e x Q x C )()()( C dx e x Q x C dxx P +=⎰⎰)()()(于是，一阶线性非齐次方程（1）的通解为⎰-=dx x P e y )([⎰⎰dx e x Q dx x P )()(+C]。
理学X一阶微分方程PPT学习教案
u
dx x
du
f (u),
dx
即 du f (u) u .
dx
x
或写成
du f (u) u
dx x
可分离变量的方程
齐次方程可以通过变量代换化成可分离变量的方程 第23页/共62页
例 1 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
解
令u
dy dx
y
y
，
x
cos
2xy y
解得 y2 cx,因为曲线 y f ( x)过点(2,3) c 9
y2 9 x, 因为 f ( x)为单调函数
2 所以所第求20页曲/共6线2页为
y 3 2x. 2
2
例7 某车间体积为12000立方米, 开始时空气
中含0有.1% C的O2 , 为了降低车间内空气C中O2
du
u(u 1)(u 2)
x
第26页/共62页
[1 ( 1 1) 2 1 ]du dx ,
2 u2 u u2 u1
x
ln(u 1) 3 ln(u 2) 1 lnu ln x lnC,
2
2
u 1 3 Cx. 将u y 代回,
u(u 2)2
x
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
高阶导数的阶数.
例 1、 xy 2 y x 2 y 0 是______阶微分方程；
2、
L
d 2Q dt 2
R
dQ dt
Q c
0 是______阶微分方程；
3、(d )3 sin2 是______阶微分方程； d
分类1: 一阶微分方程
F( x, y, y) 0,
第四节一阶线性微分方程
第四节 一阶线性微分方程教学目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法教学重点：一阶线性微分方程的形式、及解的形式，利用变量代换解微分方程 教学难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程教学内容：一、一阶线性微分方程1．定义 方程)()(x Q y x P dx dy=+ （1）称为一阶线性微分方程。
特点 关于未知函数y 及其导数'y 是一次的。
若0)(≡x Q ，称（1）为齐次的；若0)(≠x Q ，称（1）为非齐次的。
如：（1）222x xe xy y -=+' （2）25)1(12+=+-'x x yy2．解法当0)(≡x Q 时，方程（1）为可分离变量的微分方程。
当0)(≠x Q 时，为求其解首先把)(x Q 换为0，即0)(=+y x P dx dy（2） 称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解⎰=-dx x P Ce y )(为求（1）的解，利用常数变易法，用)(x u 代替C ，即⎰=-dx x P e x u y )()(于是，)]([')()(x P ue e u dx dydx x P dx x P -⎰+⎰=--代入（1），得C dx e x Q u dx x P +⎰=⎰)()(故 ))(()()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-。
（3） 例1 求方程25)1(12+=+-'x x y y （4） 的通解.解 这是一个非齐次线性方程。
先求对应的齐次方程的通解。
012=+-x ydx dy，12+=x dxy dy，C x y ln )1ln(2ln ++=，2)1(+=x C y（5） 用常数变易法。
把C 换成)(x u ，即令2)1(+=x u y ，则有 )1(2)1(2+++'=x u x u dx dy，代入（1）式中得21)1(+='x u ，两端积分，得 C x u ++=23)1(32。
一阶线性微分方程教学设计
二、一阶线性微分方程的通解
先考虑线性齐次方程(2),注意这里“齐次”的含意与1.3节中的不同,这里指的是在(1)中不含“自由项” ,即 .显然, (2)是一个变量可分离方程,由1.2节易知它的通解是
（3）
问题：如何求解一阶线性非齐次微分方程呢？
观察方程(1)、(2)发现，这两个方程是既有联系又有区别.两式左端是一样的，而右端是不一样的.因此猜想这方程(2)的通解(3)去求非齐次方程(1)的通解.
例1求解方程
.
解显然,这是一个一阶线性非齐次方程.利用常数变易法，先求对应齐次方程
的通解为
.
由常数变易法,令 为原方程的解，代入原方程有
,
即 ,积分得
,
代回后得原方程的通解为
.
注：在求解具体方程时,不必记忆通解公式,只要按常数变易法的步骤来求解即可.
三、小结
1.一阶线性微分方程的定义.
2.常数变易法
猜想非齐次方程(1)有形如
（4）
通解,其中C(x)是待定函数.将(4)代入(1),有
即
积分后得
把上式代入(4),得到(1)的通解公式为
.
仔细观察非齐次方程(1)的通解公式,我们可以发现它由两项组成.第一项是对应齐次方程的通解,第二项是非齐次方程的一个特解.
结论：一阶线性非齐次方程(1)的通解,等于它所对应的齐次方程(2)的通解与非齐次方程(1)的一个特解之和.
教学内容
第四节一阶线性微分方程
我们已经学习了变量可分离方程，和齐次型方程的解法。一阶线性微分方程是一类非常重要的微分方程，它具有完整的理论基础和丰富的实际背景.本节课我们将主要来学习一阶线性微分方程的定义，以及它的求解方法.
一阶线性常微分方程解法及教学
代入 ( 2) 等式成立 ,从而 ( 3) 是 ( 2) 的解. 下求 ( 1) 的解 ,为此将 ( 3) 代入 ( 1) 有 :
3 收稿日期 : 2006 - 07 - 10;修改稿 : 2007 - 03 - 22
第 10卷第 3期 鲜大权 :一阶线性常微分方程解法及教学
11 本质都具特定 函数的化归思想 ; 21基本目的一致 , 所得公式解一致.
突出了非齐次方程与 对应齐次方程解的关 系.
对后继教学内容具启 发性.
过程较复杂 , 技巧性 较强.
在方法上与后继教学 内容具重复性.
函数变 换法
化归 :直接约化为变量分离方程.
典型性好 、普适性强.
对原理的理解存在一 定难度.
解法 将 ( 2) 的通解 ( 3) 中的任意常数 C变易为 x的待定函数 C ( x) 后代入 ( 1) 得 :
[ C ( x) ∫ e p( x) dx ] ′= p ( x) C ( x) ∫ e p( x) dx + q ( x) ] C ′( x) ∫ = q ( x) e- p( x) dx
∴μ( x) = e- ∫p( x) dx ,将此代入 ( 10) 并解出 y即得所求 ( 1) 的通解 :
∫ y ∫ = e p( x) dx ( ∫ q ( x) e- p( x) dx + C )
( 11)
以上解法即为积分因子法 ,所乘非零函数因子称为积分因子 , 其本质为待定函数思想 , 其想法 的目的明确 ,推导过程自然简明 ,所涉及的都是学生熟悉的知识基础 ,学生因此易于接受.
(3)
不难看出 , ( 2) 的以上两种形式解不等价 ,前者不包含 y = 0和负数 ,但后者在 C = 0时包含了
一阶线性微分方程公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
解 原方程可变为
这是齐次线性方程 由通解公式得原方程通解为
即
yC(x2)
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第4页铃
❖齐次线性方程通解
❖非齐次线性方程通解 设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)通解为
代入非齐次线性方程求得
提醒 这代里入所后用得办到法称为常数变易法 这种办法就是把齐次线
性方程通解中任意常数C换成末知函数u(x) 然后代入非齐次
线性方程并拟定出函数u(x)
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❖齐次线性方程通解
❖非齐次线性方程通解 设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)通解为
代入非齐次线性方程求得
积分得 于是非齐次线性方程通解为
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❖齐次线性方程通解
❖非齐次线性方程通解 ຫໍສະໝຸດ 齐次线性方程yP(x)yQ(x)通解为
即使按一阶线性方程解法可求得通解 但这里用变量代换来 解所给方程
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铃 第13页
通过变量代换 一些方程能够化为变量可分离方程 或化 为已知其求解办法方程
解 令xyu 则原方程化为
两端积分得 uln|u1|xln|C| 以uxy代入上式 得原方程通解
yln|xy1|ln|C| 或xCeyy1
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第2页铃
一、线性方程
❖一阶线性微分方程 形如yP(x)yQ(x)方程称为一阶线性微分方程 并且当
Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次 线性方程 ❖齐次线性方程通解
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第四节 一阶线性微分方程
我们已经学习了变量可分离方程，和齐次型方程的解法。一阶线性微分方程是一类非常重要的微分方程，它具有完整的理论基础和丰富的实际背景.本节课我们将主要来学习一阶线性微分方程的定义，以及它的求解方法.
一、定义
一阶线性微分方程的形式是
（1）
称为“自由项”.如果 , 即
（2）
称为一阶线性齐次方程.如果 不恒为零, 则称(1)为一阶线性非齐次方程.
注：线性是指关于未知函数y和它的导数是线性的.
二、一阶线性微分方程的通解
先考虑线性齐次方程(2), 注意这里“齐次”的含意与1.3节中的不同, 这里指的是在(1)中不含“自由项” , 即 .显然, (2)是一个变量可分离方程, 由1.2节易知它的通解是
（3）
问题：如何求解一阶线性非齐次微分方程呢？
观察方程(1)、(2)发现，这两个方程是既有联系又有区别.两式左端是一样的，而右端是不一样的.因此猜想这两个方程的解也应该有一定的联系和区别.并且，还想利用齐次方程(2)的通解(3)去求非齐次方程(1)的通解.
教学目标
（1）了解一阶线性微分方程形式
（2）熟练掌握求一阶非齐次线性微分方程解的常数变易法
教学重点和难点
常数变易法
思路设计
提问
一阶线性微分方程的定义
一阶线性非齐次微分方程解法
举例
小结
方法手段
教学方法： 启发式教学法
教学手段：多媒体辅助教学
所用教材
《微分方程》东北师范大学微分方程教研室，第二版，高等教育出版社
显然，齐次方程(2)的通解不是非齐次方程(1)的通解.因为，如果将(3)式直接代入(1)式，则会有f(x)等于0.要使(1)式恒等，(1)式左边必须要多出一项x的函数与右边的f(x)相对应.
根据函数乘积的求导公式和(3)式的特点，如果把(3)式变换成：两个函数的乘积，则有可能多出一项.而(3)式是由常数C和指数函数两部分构成，要使(3)式变换成两个函数的乘积，最简单的变换就是把C变换成函数C(x).
一阶线性微分方程教学设计
课程名称
常微分方程
授课内容
第一章第四节
授课时间
约8分钟
授课题目
一阶线性微分方程
所属学科
数学
课程类型
数学专业课
适用对象
继续教育学生
使用教具
投影仪
教学背景
一阶线性微分方程是一类非常重要的微分方程，它具有完整的理论基础和丰富的实际背景。对于一阶线性常微分方程的学习，关键要掌握它的求解方法：常数变易法，它是一种非常有效且重要的求解方法。
猜想非齐次方程(1)有形如
（4）
通解, 其中C(x)是待定函数.将(4)代入(1), 有
即
积分后得
把上式代入(4), 得到(1)的通解公式为
.
仔细观察非齐次方程(1)的通解公式, 我们可以发现它由两项组成.第一项是对应齐次方程的通解, 第二项是非齐次方程的一个特解.
结论：一阶线性非齐次方程(1)的通解, 等于它所对应的齐次方程(2)的通解与非齐次方程(1)的一个特解之和.
例1求解方程
.
解显然, 这是一个一阶线性非齐次方程.利用常数变易法，先求对应齐次方程
的通解为
.
由常数变易法, 令 为原方程的解，代入原方程有
,
即 为
.
注：在求解具体方程时, 不必记忆通解公式, 只要按常数变易法的步骤来求解即可.
三、小结
1.一阶线性微分方程的定义.
2.常数变易法