2020年离散数学总结(精选干货)

• A∪B＝{ x | x∈A ∨ x∈B } • A－B＝{ x | x∈A ∧ x B }
• …… • 掌握基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根
律、收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、余补律、双重否定律、补 交转换律）。
• 运用逻辑演算或利用已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含 式。
(4)对析取项补入没有出现的命题变元，即添加如(p∧┐p)式，然后应用分
配律展开公式。 方法二、真值表法 (1)写出 A 的真值表。 (2)找出 A 的成假赋值。 (3)求出每个成假赋值对应的极大项（用名称表示），按角标从小到大顺
序析取。
2020-11-30
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数理逻辑－命题逻辑 • 推理的形式结构 推理的前提 推理的结论 推理正确
• 对于给定的推理，正确地构造出它的证明。
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集合论－集合代数 • 掌握集合的子集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表示。
• B A x (x∈B → x∈A) • B A x (xB xA)
• ……
• 掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、广义交、广义并的定 义及其性质。
• 与范式有关的概念：简单合取式、简单析取式、析取范式、合取范式、 极小项、极大项、主析取范式、主合取范式。
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求给定公式范式的步骤 (1)消去联结词→、(若存在)。 A→B ┐A∨B AB (┐A∨B)∧(A∨┐B)
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。 ┐┐A A ┐(A∧B) ┐A∨┐B ┐(A∨B) ┐A∧┐B
离散数学总结
Dr.Feng
2020-11-30
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• 离散数学(Discrete Mathematics)
• 离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对 象一般地是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性 的特点。
代数结构
数理逻辑
集合论
图论
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离散数学的应用举例 • 关系型数据库的设计(关系代数) • 表达式解析(树) • 优化编译器的构造(闭包) • 编译技术、程序设计语言(代数结构) • Lisp和Prolog、人工智能、自动推理、机器证明(数理逻辑) • 网络路由算法(图论) • 游戏中的人工智能算法(图论、树、博弈论) • 专家系统(集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达) • 软件工程—团队开发—时间和分工的优化(图论—网络、划分) • (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估(离散数学的各分支)
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数理逻辑－一阶逻辑 • 深刻理解重要的等值式，并能熟练地使用它们。
• 熟练地使用置换规则、换名规则和代替规则。
• 准确地求出给定公式的前束范式（形式可以不唯一）。
• 正确地使用UI、UG、EI、EG规则，特别地要注意它们之间的关系。 • 一定对前束范式才能使用UI、UG、EI、EG规则，对不是前束范式的公 式要使用它们，一定先求出公式的前束范式。 • 记住UI、UG、EI、EG规则的各自使用条件。 • 在同一推理的证明中，如果既要使用UI规则，又要使用EI规则，一定 要先使用EI规则，后使用UI规则，而且UI规则使用的个体常项一定是EI 规则中使用过的。
• 判断推理是否正确的方法 真值表法 等值演算法 主析取范式法
• 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明 自然推理系统P的定义 自然推理系统P的推理规则 附加前提证明法 归谬法
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数理逻辑－ 一阶逻辑 • 个体词（个体域、全总个体域），谓词(特性谓词)，量词（全称量词、 存在量词） • 命题符号化： • 当给定个体域时，在给定个体域内将命题符号化。 • 当没给定个体域时，应在全总个体域内符号化。 • 在符号化时，当引入特性谓词时，注意全称量词与蕴含联结词的搭 配，存在量词与合取联结词的搭配。 • 逻辑有效式、矛盾式、可满足式 • 闭式的性质：在任何解释下均为命题。 • 对给定的解释，会判别公式的真值或不能确定真值。
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集合恒等式的证明方法 • 逻辑演算法 利用逻辑等值式和推理规则
• 集合演算法 利用集合恒等式和已知结论
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逻辑演算法的格式
题目：A＝B
证明： x， x∈A
……
x∈B
所以 A＝B 或证 AB ∧ AB
(4)对合取项补入没有出现的命题变元，即添加如(p∨┐p)式，然后应用分
配律展开公式。 方法二、真值表法 (1)写出 A 的真值表。 (2)找出 A 的成真赋值。 (3)求出每个成真赋值对应的极小项（用名称表示），按角标从小到大顺
序析取。
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求公式A的主合取范式的方法与步骤 方法一、等值演算法 (1)化归为合取范式。 (2)除去合取范式中所有永真的合取项。 (3)将合取式中重复出现的析取项和相同的变元合并。
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式， ∨对∧的分配律求合取范式。
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
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求公式A的主析取范式的方法与步骤 方法一、等值演算法 (1)化归为析取范式。 (2)除去析取范式中所有永假的析取项。 (3)将析取式中重复出现的合取项和相同的变元合并。
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离散数学的学习要领
• 概念（正确） 必须掌握好离散数学中大量的概念
• 判断（准确） 根据概念对事物的属性进行判断
• 推理（可靠） 根据多个判断推出一个新的判断
2020- 命题、真值、简单命题与复合命题、命题符号化。 • 联结词：┐，∧，∨，→，。 • 命题公式、求公式的赋值。 • 真值表、公式的成真赋值和成假赋值。 • 公式的类型：重言式、矛盾式、可满足式。 • 等值式与等值演算。 • 基本的等值式，其中含：双重否定律、幂等律、交换律、结合律、分配 律、德·摩根律、吸收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、蕴含等值式、 等价等值式、假言易位、等价否定等值式、归谬论。