第三章 环与域

第三章环与域

与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。

§1 加群、环的定义

一、加群

在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。

因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。

由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如：

（1）加群G的单位元用0表示，叫做零元。即a G

∀∈，有

+=+=。

00

a a a

（2）加群G的元素a的逆元用a-表示，叫做a的负元。即有

-+=+-=。

()0

a a a a

利用负元可定义加群的减法运算：()

a b a b

-+-。（3）()a a

--=。

（4）a c b c b a

+=⇔=-。

（5）(),()

a b a b a b a b

-+=----=-+

（6）

(

00

()()

a a a n a n

na n

n a n

+++

⎧

⎪

==

⎨

⎪--

⎩

个相加）为正整数

为负整数

，且有

(),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+

请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。

加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S

⇔∀∈，有,

a b a S

+-∈,a b S

⇔∀∈，有a b S

-∈。

加群G的子群H的陪集表示为：a H H a

+=+。

二、环的定义

设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若

1. R对于“+”作成一个加群。

2. R对于“。”是封闭的。

3. ,,

a b c R

∀∈，有()()

a bc a

b c

=，即乘法适合结合律。

4. ,,

a b c R

∀∈，有(),()

a b c ab ac b c a ba ca

+=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。

则称R关于“+”与“。”作成一个环。

由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。

例1 整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C对于普通数的加法和乘法作成环。分别叫做整数环，有理数环，实数环，复数环。

例2 数域P上所有n阶方阵作成的集合n n

P⨯关于矩阵的加法和乘法作成环。

例3 2{2|}

=∈关于普通数的加法和乘法作成环，叫做偶数

Z k k Z

环。

问：奇数集合关于普通数的加法和乘法是否作成环？

答：否。因为关于加法不构成加群。

由于一个环也是一个加群，所以上面关于加群的性质与运算规则（1）到（6）在环里也都成立。此外，环还有下列基本性质：（7）(),()

-=--=-

a b c ab ac b c a ba ca

证明：由两个分配律以及负元的定义，有

-+=-+=+-+=+-+=+=

()[()][(()))][((()](0)

a b c ac a b c c a b c c a b c c a b ab

-+=-+=+-+=+-+=+=

b c a ca b c c a b c c a b c c a b a ba

()[()][(()))][((()](0)

再由（4）得，(),()

-=--=-。

a b c ab ac b c a ba ca

（8）000

==

a a

证明：0()0,0()0

=-=-==-=-=

a a a a aa aa a a a a aa aa

（9）()()

-=-=-

a b a b ab

证明：因为

+-=+-==

ab a b a a b b

()(())00

+-=+-==

()(())00

ab a b a b b a

所以()()

-=-=-。

a b a b ab

（10）()()a b ab --=

证明：()()[()]()a b a b ab ab --=--=--=

（11）1212()n n a b b b ab ab ab ++

+=+++ 1212()n n b b b a b a b a b a ++

+=+++ 证明略

（12）11111()()m n n m n a a b b a b a b a b +

+++=++++

即

111()()m n m n i j i j i j i j a b a b =====∑∑∑∑。

证明略

（13）()()()na b a nb n ab ==

证明略

（14）定义：n

n a aa a =（n 是正整数），并称n a 为a 的n 次乘方（简称n 次方或n 次幂）。

对任意正整数,m n 有

,()m n m n m n mn a a a a a +==

证明略

由以上（1）-（14）各条可看出，中学代数的计算法则在一个环里差不多都可适用，但还是有少数几个普通计算法则在一个环里不一定成立，这一点我们将在下一节讨论。

§2 交换律、单位元、零因子、整环

前面说过，普通的运算法则大多数在环里也是成立的，但还是有些法则不一定成立，例如，数域P 上所有n 阶方阵集合n n P ⨯关于矩阵