大学物理相对论例题

103 .当粒子的动能等于它的静止能量时，它的运动速度是多少？
相对论讲座
大学物理讲座
－－ 相对论
孙秋华
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相对论讲座 教学要求
1.掌握爱因斯坦两条基本假设
2.掌握洛伦兹变换；熟练掌握狭义相对论的时空观解决 问题。 3.掌握质量、动量、动能和能量的关系式，掌握能量和 动量的关系。
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一、基本概念
狭义相对论时空观 1.相对论的长度收缩效应: L L0 2.相对论的时间膨胀效应: 3.相对论中的空间间隔:
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解: 实验室参考系中介子的能量
E EK E0 7M 0 c M 0 c 8E0
2 2
设介子的速度为v，又有
E Mc 2 M 0 c 2 / 1 v 2 / c 2
E0 / 1 v 2 / c 2
可得
E / E0
1 v2 1 2 c
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解：（1）设合并系统的质量M，对应的静止质量M0
设u为合并系统的速度
m0 c E Mc
2
2
(1 )
(2)
E Mu c
Ec u m0c 2 E
E , M m0 2 c
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对合并的系统：
( Mc2 )2 ( cMu )2 ( M 0 c 2 )2 Mc2 m0 c 2 E
P mv m 0 v / 1 v 2 / c 2
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ⅠⅡⅢ狭义相对论原理的应用 例1、已知惯性系S‘相对于惯性系S系以 0.5 c的匀速度沿x轴的负方 向运动，若从S’系的坐标原点O‘沿x轴正方向发出一光波，则S系 中测得此光波在真空中的波速为多少？
c
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Ⅱ 利用狭义相对论解决运动学问题
例2、一道闪光从x轴上的x1发出，在位置x2=x1+l 被接收，在以速 度v=c沿x轴运动的参照系中。（1）光的发射点和接收点的空间 距离是多少？（2）在光的发射和接收之间相隔多长时间？
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109．假设地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.6c的速度向东飞行， 5.0s后该飞船将与一个以0.80c的速率向西飞行的彗星相碰撞。试问： （1）飞船中的人测得彗星将以多大的速率向它运动？（2）从飞船 的钟来看，还有多少时间容许它离开航线，以避免与彗星碰撞？
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Ⅲ 利用狭义相对论解决运动学问题 例6.由于相对论效应，如果粒子的能量增加，粒子在磁场中的回 旋周期将随能量的增加而增大，计算动能为104 MeV的质子在磁 感强度为1 T的磁场中的回旋周期． (质子的静止质量为1.67×10-27 kg，1 eV =1.60×10-19 J)
解： 1、正确选取参照系
2、根据参照系选取物理量
x1
x1 l
t1
; t1
l c
3、在参照系S´求物理量 S y y´ S´
v
x
o
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o´
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x
x vt v 1 2 c
2
x 2 x1
( x 2 x1 ) v ( t 2 t1 ) v 1 2 c
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解：
eU E E 0
E0 v2 1 2 c E0
eU
vc
( eU ) 2 2 E 0 eU E 0 eU
L0 =4.610-8s t v
L L0 v2 1 2 c
=6.7m
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110．两个质点A和B，静止质量均为m0．质点A静止，质点B的动能 为6m0c2．设A、B两质点相撞并结合成为一个复合质点．求复合质 点的静止质量．
1 u 2 / c2
t2 t1
x2 x1
t1 t2 1 u / c
2wenku.baidu.com
2
2
x1 ) u (t2 t1) ( x2 1 u / c
2
u t1 ) ( x2 x1 ) 2 ( t2 c 4.相对论中的时间间隔: t 2 t1 1 u2 / c2
2
m0 M 0
2E 1 M 0c 2
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E 0 代表粒子在发射光子前后静能之差
M 0 c m0 c E 0
2 2
E0 E E0 (1 ) 2 2M 0c
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例9.某一宇宙射线中的介子的动能EK =7M0 c2 ，其中M0是介子的静 止质量．试求在实验室中观察到它的寿命是它的固有寿命的多少 倍．
o o t 1 2.4 10 3 c
s
40min
1:30
(4)
s s´
2o o cu
ct 2 ut 2 2o o
t 2
s´ u
s´
s´
c o
o´
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t 2 t 2
u 2 2o o c u 1 2 c cu c
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解：
s'
s
u L u ( t 2 t1 ) ( x L 2 2 x1 ) 2 v c c t 2 t1 1 u2 / c 2 u2 1 2 c
s s'
L t v
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=240min
16:30 s s´
s´ u
s´
s´
c
o
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o´
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105. 一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺的长度为 0.5米，则此米尺以多大的速度接近观察者？
106. 设有宇宙飞船A和B，固有长度均为l0=100m，沿同一方向匀速 飞行，在飞船B上观测飞船A的船头、船尾经过飞船B船头的时间间 隔为(5/3)×10-7s，求：飞船B相对于飞船A的速度的大小。
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相对论讲座 5.相对论的质量
2 2 m m0 / 1 v / c 6.相对论的 动量 mv0 p v2 1 2 c
7.相对论的动能
Ek mc m0c
2
2
二、基本定律和定理
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相对论讲座 1. 相对性原理：物理学定律在所有惯性系中都是相同 的，即：描述物理学现象所有惯性系都是等价的 。 2. 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速各向 相同的量值c ,与光源的运动无关。 逆变换 正变换
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解:根据
E K mc 2 m0 c 2
EK m m0 2 c
回旋周期
EK m0 2 2m c T 2 qB qB
代入数据
T =7.64×10-7 s
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例7.在实验室中测得电子的速度是0.8c，c为真空中的光速．假 设一观察者相对实验室以0.6c的速率运动，其方向与电子运动 方向相同，试求该观察者测出的电子的动能和动量是多少？ （电子的静止质量me＝9.11×1031kg）
2
1 l 1
v t 2 x c t 2 v 1 2 c
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v t 2 x l 1 c t1 t2 c 1 2 v 1 2 c
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例3、一宇宙飞船的原长为L'，以速度u相对地面作匀速直线运动。 有一小物体从飞船的尾部运动到头部，宇航员测得小物体的速度恒 为v'，试求: （1）宇航员测得小物体从尾部 运动到头部所需的时间； （2）地面观察者测得小物体从尾部运动到头部所需的时间。
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解：设实验室为K系，观察者在K′系中，电子为运动物体．则K′ 对K系的速度为u = 0.6c，电子对K系速度为vx = 0.8c．电子对K′ 系的速度
v x vx u 0.385c 2 1 ( uv x / c )
观察者测得电子动能为
E K m0 c (
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相对论讲座 解：（1）
t 30
min
固有时间
50min
地面的观察者
t
t
u2 1 2 c
12:50 (2)
s s´
s´ u
o o ut 0.8c 50 60
7.21011m
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o
o´
相对论讲座 (3)
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3.动力学定律
dv dm F m v dt dt
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狭义相对论小结
洛沦兹变换
x x ut u 1 c2
2
t
t
u x 2 c u2 1 c2
狭 义 相 对 论
运动学
时间膨胀 长度收缩
y y z z
t
vx u v x u 1 2 vx c t
1 u 2 / c2
L L0 1 u 2 / c 2
2 2
动力学
m m0 / 1 v / c dv dm F dP / dt m v E mc 2 E 0 m 0 c 2 dt dt 2 E K E E0 E mc 2 E 2 E0 P 2c 2
M 0 m0
2E 1 m0 c 2
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（ 2 ）设粒子发射光子后的质量 m ，对应的静止质量 m0, 粒子 发射光子后的速度为u
M 0 c 2 mc 2 E
E mu c
粒子发射光子后：
( mc ) ( cmu ) ( m0 c )
2 2 2 2
x
x vt v 1 2 c
2
v t 2 x c t 2 v 1 2 c
y y z z
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v 2 x t x vt c x t 2 2 v v 1 2 1 2 c c y y z z
相对论讲座 洛仑兹速度变换式 正变换 逆变换
8
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令固有寿命为0，则实验室中寿命
0 / 1 v / c 8 0
2 2
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例10.一 静止电子（静止质量为0.51MeV）被0.13MV的电势差 加速，然后以恒定速度运动 （1）电子在达到最终速度后飞越8.4m的距离需要的时 间？ （2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少
107. 一艘宇宙飞船的船身固有长度L0=90m，相对于地面以v=0.8c （c为真空中的光速）的匀速度在一观察站的上空飞过。问： （1）观察站测得飞船的船身通过观察站的时间间隔是多少？ （2）宇航员测得船身通过观察站的时间间隔是多少？
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108. 观察者甲和乙分别静止于两个惯性系K和Kˊ（Kˊ系相对于 K系作平行于x轴的匀速运动）中，甲测得在x轴上两点发生的两 个事件的空间间隔和时间间隔分别为500m和2×10-7s，而乙测得 这两个事件是同时发生的。问：Kˊ系相对于K系以多大速度运动？
例4、一艘宇宙飞船以速度0.8c中午飞经地球，此时飞船上和地球上 的观察者都把自己的时钟拨到12点。 （1）按飞船上的时钟于午后12：30飞经一星际宇航站，该站相对 于地球固定，其时钟指示的是地球时间，按宇航站的时间，飞船到 达该站的时间是多少？ （2）按地球上的坐标测量，宇航站离地球多远？ （3）在飞船时间午后12：30从飞船发送无线电信号到地球，问地 球何时（按地球时间）接收到信号？ （4）若地球上的地面站在接收到信号后立即发出回答信号，问飞 船何时（按飞船时间）接收到回答信号？
2
1
2 1 (v / c ) x
1 ) 6.85 1015 J
动量
p mv x
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mv x
2 1 ( v / c ) x
＝1.14×10-22 kg· m/s
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例8、（1）一质量为m0的静止粒子，受到一能量为E的光子的撞击， 粒子将光子的能量全部吸收。求此合并系统的速度及静止质量。 （2）一静止质量为M0的静止粒子，放出一能量为E的光子，求发 射光子后粒子的静止质量。