6-1-9_鸡兔同笼问题[1].题库教师版.doc

鸡兔同笼问题

一、鸡兔同笼

这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？

你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？

二、解鸡兔同笼的基本步骤

解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512

-=（只）．显然，鸡的只数就是351223

-=（只）了．

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．

假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

如果假设全是兔，那么则有：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡，那么就有：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

鸡数=鸡兔总数-兔数

当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍

当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍

在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法

板块一、两个对象的“鸡兔同笼”

【例1】鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

【解析】假设46只都是兔，一共应有446184

-=只脚，

⨯=只脚，这和已知的128只脚相比多了18412856这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422

-=（只）脚，那么56只脚是我们把56228

-=

÷=只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818（只）．当然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法．

【巩固】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚．问：点点家养的鸡和兔各有多少只？

【解析】方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用两只脚站着．现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94247

÷=(只)．在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35，

只鸡比兔子少422-=(只)脚，那么共有鸡46223÷=(只)

方法三：还可以假设35只都是鸡，那么共有脚23570⨯=(只)，比94只脚少了947024-=(只)

脚，每只鸡比兔子少422-=(只)脚，那么共有兔子24212÷=(只)．

方法一可以归结为：总脚数2÷-总头数=兔子数．能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别

为4和2，而且4是2的2倍．

方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡．由此可以列出公式：

鸡数=(兔脚数⨯总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)

方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔．由此可以列出公式：

兔数=(总脚数-鸡脚数⨯总头数)÷(兔脚数-鸡脚数)

【巩固】 鸡兔共有45只，关在同一个笼子中．每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿．试

计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？

【解析】 ⑴假设法：若假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有445180⨯=(条)腿，比实际多算

18010080-=(条)腿．而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80240÷=(只)鸡被当

作了兔子，所以共有40只鸡，有45405-=(只)兔子．

注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的

腿数”计算出的是兔子的数目．同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法．

⑵“金鸡独立”法（砍足法）：

假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只

用两条腿站立的“奇观”．这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则

会比头数多1．因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只

兔子．原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100250÷=(条)

腿，比头数多50455-=，所以有5只兔子，另外40只是鸡．

【巩固】 动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？

【解析】 由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：36218÷=，假设鸵鸟和

大象一样也有4只脚，则应该有(418)72⨯=只脚，多了(7252)20-=只脚，由假设引起的差值：

422-=，则鸵鸟数为20210÷=（只），大象数为18108-=（头）．

【巩固】 鸡兔同笼，上有35头，下有94足，求笼中鸡兔各几只？

【解析】 有兔(94352)(42)12-⨯÷-= (只)，有鸡351223-= (只)．

【例 2】 动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多

少只？

【解析】 假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：208202168-⨯=

(只)．这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，

一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：246+=(只)，所以梅花鹿的只数是：168628÷=(只)，从

而鸵鸟的只数是：282048+=(只) （本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么

分组时有倍数关系得到的）

【巩固】 一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？

【解析】 已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有

23672⨯=（只）脚，可知现在剩下79272720-=（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔

有7206120÷=（只），鸡有12036156+=（只）．