立体几何向量法练习答案

立体几何向量法练习答案

一、选择题

1. 如图所示,在空间四边形中,点为中点,点在上,且,则

等于( )

A. B.

C. D.

【解析】在空间四边形中,点为线段的中点,.∴

.故选D.

2. 在正三棱柱中，已知，则异面直线和所成角的余弦值为（）.

A. B. C. D.

【解析】解：∵在正三棱柱中，，∴以为

原点，在平面中过作的垂直为轴，以为轴，为轴，建立空

间直角坐标系，则，，，，

，，设异面直线和所成角为，则

，∴异面直线和所成角的余

弦值为．故选：D．

3. 在正方体中,,分别为棱和的中点,则的值为( )

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】如图,设正方体的棱长为,以点为坐标原点,所在直线为轴,

所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,可知,,

,,∴,, ∴,∴.

4. 如图，长方体中，，为的中点，

则异面直线与所成角的正切值为( ).

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】解：以原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角系，设

，则，，，，

，，设异面直线与所成角为，则

,,

∴, ∴异面直线与所成角的正切值为. 故选：C．

5. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小是（）.

A. B. C. D.

【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体

中棱长为，则，，，，，，设异面直线与所成角为，则，∴．∴异面直线与所成角的大小是．故选：D．

6. 已知空间四面体的每条棱长都等于,点,分别是,的中点,则等于( )

A. B. C. D.

【答案】A【解析】由题意知,故.

7. 已知空间向量,,则( )

A. B. C. D.

【答案】D【解析】∵,,∴,∴.

8. 在正方体中,是的中点,则直线与平面所成角的正弦值为

( )

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为,则,

,,,则,,. 设平面的法向量为

,因为,,所以,即,令,则为平面的一个法向量, 于是,则直线与平面所成角的正弦值为.

9. 在正方体中,二面角的余弦值为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】以点为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为,则,,,,从而,, ,,,,平面, 又,平面,又, 结合图形可知二面角的余弦值为.

10. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且满足,则点到平面的距离是( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】分别以,,所在的直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直

角坐标系.则,,,,,设平面

的一个法向量为,由得:,令,则.则平面的一个法向量为.所以点到平面的距离.

二、解答题

11. 如图,棱锥的底面是矩形,平面,,.(1)求证:平面; (2)求二面角的大小.

【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系,则、、,在

中,,,∴,∴,,∴

,,.∵,,即

,,又,∴平面.(2)由(1)得

,.设平面的法向量为,则,

,即,∴,故平面的法向量可取为

,∵平面,∴为平面的法向量.设二面角的大小为,依题

意可得,即,故二面角的大小为.

12. 如图,直四棱柱,,底面是边长为的菱形,且,为中点. (1)求证:平面; (2)求二面角的余弦值.

【解析】(1)由四边形是菱形,且,∴是正三角形,

所以, 又四棱柱是直四棱柱,平面,又

平面, ∴,∵,所以平面.

(2)由(1)知,,分别以、、为,,轴建立坐标系,如图所

示:则,,, ∴,,, 设平面的一个法向量为, 平面的一个法向量为, 则有,解得,所以取, ∵,解得,所以取. 设二面角的平面角为,可知为钝角, 则, 所以二面角

的余弦值是.

13. 已知正方体的棱长为，是上的点，且，是上的点，且

. （1）求平面的一个法向量；（2）证明：平面.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.

（1）设是平面的一个法向量，则，，从而

∵，，∴∴

. 取，则为平面的一个法向量. （2）要证明平面，只要证明. ∵，，∴，∵，∴，∴平面，又不在平面内，∴平面.

14. 在三棱柱中,平面平面,,,,. (1)证明:; (2)若,求直线与平面所成角的正弦值.

【解析】(1)因为平面平面,且两平面交线为,,

平面,所以平面,从而有,在中,由余弦定理得,

,从而有,所以,又因为,所以

平面,又因为平面,所以. (2)以,,所在

直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,, ,,,, 设平面的法向量为,由

,得,可取,得,设与平面所成角为,所以

,即直线与平面所成角的正弦值为.

15. 如图,直三棱柱中,,,,点是中点,点在上,且

. (1)求与平面所成角的正弦值. (2)求二面角的余弦值.

【解析】由直三棱柱中,知,,两两互相垂直,以,,为

,,轴建立空间直角坐标系,∵,,∴,,,

,,,中点.(1),,,设平面的一个法向量,则,,,取,则,

,∴直线与平面所成角的正弦值为. (2) ,设平面的一个法向量为,则,取,则,

,结合图形知,二面角的余弦值为.