时间序列及其应用案例
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：
ARMA模型的自相关和偏相关函数
MA(q)模型的偏自相关函数随时滞k的增加，呈指数 衰减或衰减的正弦波，趋向于0，即表现出拖尾性
ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏自相关函数
ARMA(p,q)模型包含了两个过程，即自回归
过程和移动平均过程，因而其自相关与偏自 相关函数都较单纯的AR(p)和MA(q)模型更复 杂，均表现出拖尾性。
时间序列可以分为平稳序列和非平稳序列。
基本上不存在趋势的序列，称为“平稳序列”
（stationary series） 包含有趋势性、季节性、或周期性的序列，称 为“非平稳序列”（non- stationary series）。
时间序列的性质
如果时间序列在一年内重复出现周期性的波动，则 称该序列具有季节性（seasonality）。 如果时间序列长期（而非一年）呈现出一种波浪形 或振荡式变动，则称该序列具有周期性（cyclity）。 周期性变动没有固定规律，变动周期多在一年以上 ，且周期长短不一。 有些偶然因素也对时间序列产生影响，导致时间序 列呈现出某种随机波动，称为随机性（random）。
时间序列分析 --及其应用介绍
杨文川
2014.2
内容
1 时间序列概述 2 指数平滑法 3 ARIMA模型
1 时间序列概述
同一现象在不同时间的相继观察值排列而成的序 列，称为时间序列。 用t表示所观察的时间，Y(t)表示在时间t的观察值 。 时间序列在长时期内呈现出来的某种持续增长或 者持续下降的变动，称为趋势（trend）。
∇ d Yt = ∇ d −1Yt − ∇ d −1Yt −1
差分运算
k步差分 相隔k期的两个序列值之间的减法运算称为k步差分运 算
∇ k Yt = Yt − Yt − k
延迟算子
延迟算子用来表示相隔1期的序列值之间的关
系。记为B：
Yt-1=BYt，Yt-2=B2Yt，... ，Yt-d=BdYt
∑ (Y
t
− Y )(Yt − k − Y )
2 ( Y − Y ) ∑ t t =1
n
对于零均值的时间序列，其自相关系数为：
rk =
t = k +1 n
∑Y Y
t
n
t −k
∑Y
t =1
2
t
rk
自相关系数rk的取值范围在-1到1之间 |rk|与1越接近，说明时间序列的自相关程度越高 。 自相关系数可以提供时间序列及其模式构成的重 要信息:
α1 + α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + α T = 1
2 指数平滑法
最近的过去态势，在某种程度上会持续到最近的未来， 所以将较大的权值放在最近的数据样本上。 原理
任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的
加权平均。
基本思想
预测值是以前观察值的加权和，且对不同的数据给予不同的权值
AR模型
ARMA模型
Yt仅与其之前的p期序列值相关，而与其间隔超过p期的序
MA模型
列值不再相关 Y = ϕ Y + ϕ Y + ⋅ ⋅ ⋅ + ϕ Y + e 1 t −1 2 t −2 t p t−p t
时间序列模型可以根据平均前期预测误差的原则来建立
Yt = et − θ1et −1 − θ 2 et − 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − θ q et − q
时间序列预测的传统方法
移动平均法
简单移动平均法 把第t+1期之前最近的T期数据加以平均作为第t+1期的预测值 T 1 1 ˆ = [Y (t ) + Y (t − 1) + ... + Y (t − T + 1)] = ∑ Y (t − i + 1) Y t +1 T T i =1
确定合理的移动周期T ：计算在各种不同周期T的情况下预测的
温特乘法指数平滑模型
适合于具有线性趋势且季节效应随序列的大小变
化的序列。
L(t ) =
αY (t )
S (t − s )
+ (1 − α )( L(t − 1) + T (t − 1))
T (t ) = γ ( L(t ) − L(t − 1)) + (1 − γ )T (t − 1)
S (t ) =
用延迟算子来表示d阶差分
∇ d Yt = (1 − B ) d Yt
用延迟算子来表示k步差分
∇ k Yt = Yt − Yt − k = (1 − B )Yt
k
ARIMA模型
ARIMA(p,d,q)模型
设Yt为一含有趋势性的非平稳序列，在经过d阶差分后得
到平稳序列
Z t = ∇ d Yt = (1 − B) d Yt
L(t − 1 ) (t-1)期的一次指数平滑值， 为第
α 称为“平滑系数”，其取值范围为 [0,1]。 Y(t)是第t期的实际观察值。
指数平滑模型
布朗单一参数指数平滑模型
适合于其中有线性趋势但没有季节性的序列
L(t ) = αY (t ) + (1 − α ) L(t − 1)
T (t ) = α ( L(t ) − L(t − 1)) + (1 − α )T (t − 1) ˆ (k ) = L(t ) + ((k − 1) + α −1 )T (t ) Y t
：
ARMA模型的自相关和偏相关函数
MA(q)模型的自相关函数
− θ k + θ1θ k +1 + ... + θ q − k θ q ： 2 rk = 1 + θ1 + θ 22 + ... + θ q2 0
1≤ k ≤ q k>q
MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性
MA(q)模型的偏自相关函数
t>d
Zt可用ARMA(p,q)模型来表示，那么Yt称为ARMA的d阶求
和序列，并用ARIMA(p,d,q)表示。
指数平滑模型
霍特双参数指数平滑模型
适合于其中有线性趋势但没有季节性的序列 比布朗更加常用，但在计算大型序列的估计值时
会花费更多的时间
L(t ) = αY (t ) + (1 − α )( L(t − 1) + T (t − 1))
T (t ) = γ ( L(t ) − L(t − 1)) + (1 − γ )T (t − 1)
将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机
序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。
3.1 ARMA模型
ARMA模型，即自回归移动平均模型是目前 最常用的拟合平稳随机序列的模型。 平稳随机序列，直观地说，其折线图没有明 显的上升或下降的趋势，统计特性不随时间 的推移而变化。 ARMA模型预测的平稳随机序列还必须是零 均值的，即观察值的大小围绕着0上下随机波 动。 因此，在应用ARMA模型之前，往往需要先 对时间序列进行零均值化和差分平稳化处理 。
wk.baidu.com
对于纯随机序列，即一个由随机数字构成的时间序列
，其各阶的自相关系数将接近于零或等于零。 具有明显的上升或下降趋势的时间序列或具有强烈季 节变动或循环变动性质的时间序列，将会有高度的自 相关。
偏自相关系数
偏自相关是在给定了Yt-1，Yt-2，...
件下，Yt与Yt-k之间的条件相关。
r1 k −1 rk − ∑ (φ k −1,i × rk −i ) φ kk = i =1 k −1 1 − ∑ (φ k −1,i × ri ) i =1
均方误差
2 ˆ [ ( ) ) Y i − Y ∑ i n
MSE(T ) =
i =T +1
选择使得MSE最小的周期T为移动平均法的周期
n −T
时间序列预测的传统方法
移动平均法
加权移动平均法
在预测时，对近期的观察值和远期的观察值赋予不同
的权值，再进行预测。 第t+1期的预测值为：
ˆ = α Y (t − T + 1) + α Y (t − T + 2) + ... + α Y (t ) Y 1 2 t +1 T
ˆ (k ) = L(t ) + kT (t ) Y t
指数平滑模型
阻尼趋势指数平滑
阻尼趋势指数平滑是对霍特模型的调整，用于对
具有逐渐衰退的线性趋势但没有季节性的序列
L(t ) = αY (t ) + (1 − α )( L(t − 1) + φT (t − 1))
T (t ) = γ ( L(t ) − L(t − 1)) + (1 − γ )φT (t − 1)
，Yt-k+1的条
k =1 k = 2,3,...
ARMA模型的自相关和偏相关函数
AR(p)模型的偏自相关函数 AR(p)模型偏自相关函数的p步截尾性
：
φ kk
≠ 0 = = 0
k≤p k>p
ARMA模型的自相关和偏相关函数
AR(p)模型的自相关函数
AR(p)模型的自相关函数的拖尾性
δY (t )
L(t )
+ (1 − δ ) S (t − s )
ˆ (k ) = ( L(t ) + kT (t )) S (t + k − s ) Y t
3 ARIMA模型
ARIMA模型，即自回归求和移动平均模型（ Autoregressive Integrated Moving Average Model ）， 由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于上世纪70年代 初提出，又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法 。 ARIMA模型的基本思想是
ARMA模型
ARMA模型是建立在AR模型和MA模型基础之上的。
Yt = ϕ1Yt −1 + ϕ 2Yt − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ϕ p Yt − p + et − θ1et −1 − θ 2 et − 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − θ q et − q
自相关分析
在建立ARMA模型之前，我们必须首先确
S (t ) = δ (Y (t ) − L(t )) + (1 − δ ) S (t − s )
ˆ (k ) = L(t ) + S (t + k − s ) Y t
指数平滑模型
温特加法指数平滑模型
适合于具有线性趋势且季节效应不随时间变化的
序列。
L(t ) = α (Y (t ) − S (t − s )) + (1 − α )( L(t − 1) + T (t − 1))
时间序列预测的传统方法
简单平均法 设时间序列已有的t期观察值为Y(1)，Y(2)，... ， Y(t)，那么对第t+1期的预测值为
ˆ Y t +1 1 1 t = [Y (1) + Y (2) + ... + Y (t )] = ∑ Y (i ) t t i =1
简单平均法适合对较为平稳的时间序列进行预测
ˆ (k ) = L(t ) + ∑ φ i T (t ) Y t
i =1
k
指数平滑模型
简单季节指数平滑
季节变动是有规律的，其表现形式为以年为周期，逐年
的同月或同季有相同的变化方向和大致相同的变动幅度 。
L(t ) = α (Y (t ) − S (t − s )) + (1 − α ) L(t − 1)
自相关系数和偏自相关系数的性质
3.2 差分运算与ARIMA模型
差分运算
d阶差分
1阶差分：相隔1期的两个序列值之间的减法
∇Yt = Yt − Yt −1
2阶差分：对1阶差分后的序列再进行一次差分运算
∇ 2Yt = ∇Yt − ∇Yt −1
d阶差分：对d-1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算
T (t ) = γ ( L(t ) − L(t − 1)) + (1 − γ )T (t − 1)
S (t ) = δ (Y (t ) − L(t )) + (1 − δ ) S (t − s )
ˆ (k ) = L(t ) + kT (t ) + S (t + k − s ) Y t
指数平滑模型
定模型的类型（即选定AR模型、MA模型 还是ARMA模型）以及模型的阶数（p和q 的值）。 自相关分析就是对时间序列求其本期与不 同滞后期的一系列自相关系数和偏自相关 系数，并据此来识别时间序列的特性。
自相关系数
k阶自相关系数，表示序列中任意相隔k期的两项之 间的相关程度 n
rk =
t = k +1
，新数据给较大的权值，旧数据给较小的权值。
根据平滑次数不同，指数平滑法分为：
一次指数平滑法 二次指数平滑法 三次指数平滑法
指数平滑模型
简单指数平滑模型
当时间序列没有明显的趋势和季节性时使用此方法。
L(t ) = αY (t ) + (1 − α ) L(t − 1)
其中，L(t)称为第t期的一次指数平滑值，
ARMA模型的自相关和偏相关函数
MA(q)模型的偏自相关函数随时滞k的增加，呈指数 衰减或衰减的正弦波，趋向于0，即表现出拖尾性
ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏自相关函数
ARMA(p,q)模型包含了两个过程，即自回归
过程和移动平均过程，因而其自相关与偏自 相关函数都较单纯的AR(p)和MA(q)模型更复 杂，均表现出拖尾性。
时间序列可以分为平稳序列和非平稳序列。
基本上不存在趋势的序列，称为“平稳序列”
（stationary series） 包含有趋势性、季节性、或周期性的序列，称 为“非平稳序列”（non- stationary series）。
时间序列的性质
如果时间序列在一年内重复出现周期性的波动，则 称该序列具有季节性（seasonality）。 如果时间序列长期（而非一年）呈现出一种波浪形 或振荡式变动，则称该序列具有周期性（cyclity）。 周期性变动没有固定规律，变动周期多在一年以上 ，且周期长短不一。 有些偶然因素也对时间序列产生影响，导致时间序 列呈现出某种随机波动，称为随机性（random）。
时间序列分析 --及其应用介绍
杨文川
2014.2
内容
1 时间序列概述 2 指数平滑法 3 ARIMA模型
1 时间序列概述
同一现象在不同时间的相继观察值排列而成的序 列，称为时间序列。 用t表示所观察的时间，Y(t)表示在时间t的观察值 。 时间序列在长时期内呈现出来的某种持续增长或 者持续下降的变动，称为趋势（trend）。
∇ d Yt = ∇ d −1Yt − ∇ d −1Yt −1
差分运算
k步差分 相隔k期的两个序列值之间的减法运算称为k步差分运 算
∇ k Yt = Yt − Yt − k
延迟算子
延迟算子用来表示相隔1期的序列值之间的关
系。记为B：
Yt-1=BYt，Yt-2=B2Yt，... ，Yt-d=BdYt
∑ (Y
t
− Y )(Yt − k − Y )
2 ( Y − Y ) ∑ t t =1
n
对于零均值的时间序列，其自相关系数为：
rk =
t = k +1 n
∑Y Y
t
n
t −k
∑Y
t =1
2
t
rk
自相关系数rk的取值范围在-1到1之间 |rk|与1越接近，说明时间序列的自相关程度越高 。 自相关系数可以提供时间序列及其模式构成的重 要信息:
α1 + α 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + α T = 1
2 指数平滑法
最近的过去态势，在某种程度上会持续到最近的未来， 所以将较大的权值放在最近的数据样本上。 原理
任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的
加权平均。
基本思想
预测值是以前观察值的加权和，且对不同的数据给予不同的权值
AR模型
ARMA模型
Yt仅与其之前的p期序列值相关，而与其间隔超过p期的序
MA模型
列值不再相关 Y = ϕ Y + ϕ Y + ⋅ ⋅ ⋅ + ϕ Y + e 1 t −1 2 t −2 t p t−p t
时间序列模型可以根据平均前期预测误差的原则来建立
Yt = et − θ1et −1 − θ 2 et − 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − θ q et − q
时间序列预测的传统方法
移动平均法
简单移动平均法 把第t+1期之前最近的T期数据加以平均作为第t+1期的预测值 T 1 1 ˆ = [Y (t ) + Y (t − 1) + ... + Y (t − T + 1)] = ∑ Y (t − i + 1) Y t +1 T T i =1
确定合理的移动周期T ：计算在各种不同周期T的情况下预测的
温特乘法指数平滑模型
适合于具有线性趋势且季节效应随序列的大小变
化的序列。
L(t ) =
αY (t )
S (t − s )
+ (1 − α )( L(t − 1) + T (t − 1))
T (t ) = γ ( L(t ) − L(t − 1)) + (1 − γ )T (t − 1)
S (t ) =
用延迟算子来表示d阶差分
∇ d Yt = (1 − B ) d Yt
用延迟算子来表示k步差分
∇ k Yt = Yt − Yt − k = (1 − B )Yt
k
ARIMA模型
ARIMA(p,d,q)模型
设Yt为一含有趋势性的非平稳序列，在经过d阶差分后得
到平稳序列
Z t = ∇ d Yt = (1 − B) d Yt
L(t − 1 ) (t-1)期的一次指数平滑值， 为第
α 称为“平滑系数”，其取值范围为 [0,1]。 Y(t)是第t期的实际观察值。
指数平滑模型
布朗单一参数指数平滑模型
适合于其中有线性趋势但没有季节性的序列
L(t ) = αY (t ) + (1 − α ) L(t − 1)
T (t ) = α ( L(t ) − L(t − 1)) + (1 − α )T (t − 1) ˆ (k ) = L(t ) + ((k − 1) + α −1 )T (t ) Y t
：
ARMA模型的自相关和偏相关函数
MA(q)模型的自相关函数
− θ k + θ1θ k +1 + ... + θ q − k θ q ： 2 rk = 1 + θ1 + θ 22 + ... + θ q2 0
1≤ k ≤ q k>q
MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性
MA(q)模型的偏自相关函数
t>d
Zt可用ARMA(p,q)模型来表示，那么Yt称为ARMA的d阶求
和序列，并用ARIMA(p,d,q)表示。
指数平滑模型
霍特双参数指数平滑模型
适合于其中有线性趋势但没有季节性的序列 比布朗更加常用，但在计算大型序列的估计值时
会花费更多的时间
L(t ) = αY (t ) + (1 − α )( L(t − 1) + T (t − 1))
T (t ) = γ ( L(t ) − L(t − 1)) + (1 − γ )T (t − 1)
将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机
序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。
3.1 ARMA模型
ARMA模型，即自回归移动平均模型是目前 最常用的拟合平稳随机序列的模型。 平稳随机序列，直观地说，其折线图没有明 显的上升或下降的趋势，统计特性不随时间 的推移而变化。 ARMA模型预测的平稳随机序列还必须是零 均值的，即观察值的大小围绕着0上下随机波 动。 因此，在应用ARMA模型之前，往往需要先 对时间序列进行零均值化和差分平稳化处理 。
wk.baidu.com
对于纯随机序列，即一个由随机数字构成的时间序列
，其各阶的自相关系数将接近于零或等于零。 具有明显的上升或下降趋势的时间序列或具有强烈季 节变动或循环变动性质的时间序列，将会有高度的自 相关。
偏自相关系数
偏自相关是在给定了Yt-1，Yt-2，...
件下，Yt与Yt-k之间的条件相关。
r1 k −1 rk − ∑ (φ k −1,i × rk −i ) φ kk = i =1 k −1 1 − ∑ (φ k −1,i × ri ) i =1
均方误差
2 ˆ [ ( ) ) Y i − Y ∑ i n
MSE(T ) =
i =T +1
选择使得MSE最小的周期T为移动平均法的周期
n −T
时间序列预测的传统方法
移动平均法
加权移动平均法
在预测时，对近期的观察值和远期的观察值赋予不同
的权值，再进行预测。 第t+1期的预测值为：
ˆ = α Y (t − T + 1) + α Y (t − T + 2) + ... + α Y (t ) Y 1 2 t +1 T
ˆ (k ) = L(t ) + kT (t ) Y t
指数平滑模型
阻尼趋势指数平滑
阻尼趋势指数平滑是对霍特模型的调整，用于对
具有逐渐衰退的线性趋势但没有季节性的序列
L(t ) = αY (t ) + (1 − α )( L(t − 1) + φT (t − 1))
T (t ) = γ ( L(t ) − L(t − 1)) + (1 − γ )φT (t − 1)
，Yt-k+1的条
k =1 k = 2,3,...
ARMA模型的自相关和偏相关函数
AR(p)模型的偏自相关函数 AR(p)模型偏自相关函数的p步截尾性
：
φ kk
≠ 0 = = 0
k≤p k>p
ARMA模型的自相关和偏相关函数
AR(p)模型的自相关函数
AR(p)模型的自相关函数的拖尾性
δY (t )
L(t )
+ (1 − δ ) S (t − s )
ˆ (k ) = ( L(t ) + kT (t )) S (t + k − s ) Y t
3 ARIMA模型
ARIMA模型，即自回归求和移动平均模型（ Autoregressive Integrated Moving Average Model ）， 由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于上世纪70年代 初提出，又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法 。 ARIMA模型的基本思想是
ARMA模型
ARMA模型是建立在AR模型和MA模型基础之上的。
Yt = ϕ1Yt −1 + ϕ 2Yt − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ϕ p Yt − p + et − θ1et −1 − θ 2 et − 2 − ⋅ ⋅ ⋅ − θ q et − q
自相关分析
在建立ARMA模型之前，我们必须首先确
S (t ) = δ (Y (t ) − L(t )) + (1 − δ ) S (t − s )
ˆ (k ) = L(t ) + S (t + k − s ) Y t
指数平滑模型
温特加法指数平滑模型
适合于具有线性趋势且季节效应不随时间变化的
序列。
L(t ) = α (Y (t ) − S (t − s )) + (1 − α )( L(t − 1) + T (t − 1))
时间序列预测的传统方法
简单平均法 设时间序列已有的t期观察值为Y(1)，Y(2)，... ， Y(t)，那么对第t+1期的预测值为
ˆ Y t +1 1 1 t = [Y (1) + Y (2) + ... + Y (t )] = ∑ Y (i ) t t i =1
简单平均法适合对较为平稳的时间序列进行预测
ˆ (k ) = L(t ) + ∑ φ i T (t ) Y t
i =1
k
指数平滑模型
简单季节指数平滑
季节变动是有规律的，其表现形式为以年为周期，逐年
的同月或同季有相同的变化方向和大致相同的变动幅度 。
L(t ) = α (Y (t ) − S (t − s )) + (1 − α ) L(t − 1)
自相关系数和偏自相关系数的性质
3.2 差分运算与ARIMA模型
差分运算
d阶差分
1阶差分：相隔1期的两个序列值之间的减法
∇Yt = Yt − Yt −1
2阶差分：对1阶差分后的序列再进行一次差分运算
∇ 2Yt = ∇Yt − ∇Yt −1
d阶差分：对d-1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算
T (t ) = γ ( L(t ) − L(t − 1)) + (1 − γ )T (t − 1)
S (t ) = δ (Y (t ) − L(t )) + (1 − δ ) S (t − s )
ˆ (k ) = L(t ) + kT (t ) + S (t + k − s ) Y t
指数平滑模型
定模型的类型（即选定AR模型、MA模型 还是ARMA模型）以及模型的阶数（p和q 的值）。 自相关分析就是对时间序列求其本期与不 同滞后期的一系列自相关系数和偏自相关 系数，并据此来识别时间序列的特性。
自相关系数
k阶自相关系数，表示序列中任意相隔k期的两项之 间的相关程度 n
rk =
t = k +1
，新数据给较大的权值，旧数据给较小的权值。
根据平滑次数不同，指数平滑法分为：
一次指数平滑法 二次指数平滑法 三次指数平滑法
指数平滑模型
简单指数平滑模型
当时间序列没有明显的趋势和季节性时使用此方法。
L(t ) = αY (t ) + (1 − α ) L(t − 1)
其中，L(t)称为第t期的一次指数平滑值，