上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年第一学期高二期中数学试卷

华二附中高二期中数学试卷
2020.11
一. 填空题
1. 已知直线l 过点(2,3)P ，它的一个方向向量为(1,5)d =，则直线l 的点方向式方程为
2. 若一条直线的斜率(1,1)k ∈-，则该直线的倾斜角的取值范围是
3. 若椭圆2
2
1y x m +=的焦距是4，则m = 4. 已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是
5. 已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为
6. 与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有 个
7. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，若EF ∥AD ，且 35
AE AD AB BC ==，若AB a =，DC b =，则EF 可用a 、b 表示为
8. 手表的表面在一个平面上，整点1，2，3，⋅⋅⋅，12这12 的圆周上，从整点i 到整点1i +的向量记作1i i t t +，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=
9. 设实数x 、y 满足约束条件0,4312
x y x x y ≥≥⎧⎨+≤⎩，则231x y x +++取值范围是 10. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =
+++，定义点集 {|A F =}||||FP FM
FQ FM
FP FQ ⋅⋅=，若对于任意的3m ≥，当12,F F A ∈且不在直线PQ 上时，
不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的取值范围为
二. 选择题
11. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=（1a 、1b 不同时为零），
2222:0l a x b y c ++=（2a 、2b 不同时为零），那么“1122
0a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行” 的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
12. 已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程
(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）
A. 与l 重合
B. 与l 交于点P
C. 过Q 与l 平行
D. 过Q 与l 相交
13. 已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若|4||3|5c a c b -+-=，则||c a +的取值范围是（ ）
A. [3,10]
B. [3,5]
C. [3,4]
D. [10,5]
14. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （2n ≥，*n ∈N ）等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,n P P P -⋅⋅⋅，记1121n n T AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，若给出四个数值：①294
；②9110；③19718；④23233；则n T 的值可能的共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
三. 解答题
15. 设a 、b 是两个不共线的非零向量.
（1）记OA a =，OB tb =，1()3
OC a b =+，那么实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？
（2）若||||1a b ==，且a 与b 夹角为120°，那么实数x 为何值时，||a xb -的值最小？
16. 已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B .
（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（2）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.
17. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l .
（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +≥；
（2）已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，求(,)d P l ；
（3）定点00(,)C x y ，动点(,)P x y 满足(,)d C P r =（0r >），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.
18. 已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>，它的上、下顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l 、2l ，它们与椭圆E 分别交于点C 、D 、M 、N ，且四边形CDMN 是菱形；
求证：①直线1l 、2l 关于原点对称；②求出该菱形周长的最大值.
参考答案
一. 填空题 1. 2315x y --= 2. 3[0,)(,)44πππ 3. 5 4.
411(,)(0,)(,)333-∞+∞
5. 227320x y x y +-++=
6. 7
7. 21211010EF b a =-
8. 9
9. [3,11] 10. 34
k ≥
二. 选择题 11. B 12. C 13. B 14. A
三. 解答题
15.（1）12
t =；（2）12x =-，min 3||a xb -=.
16.（1）223
95()(3)243
x y x -+=<≤；（2）325{}[,4k ∈±-. 17.（1）证明略；（2）4(,)3
d P l =；（3）24S r =.
18.（1）22
121
x y +=；（2）①证明略；②菱形周长的最大值为。