弧线齿面齿轮齿面接触分析
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（ ｋ） ｎ ｕ θ ＝ ｓ （ ｊ， ｊ）
图 ２ 弧线齿 圆 柱 齿轮 展 成坐 标 系 ｉ ｎ ｉ ｏ ｎ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｆ ｉ ． ２ Ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ｓ ｆ ｏ ｒ ｐ ｇ ｇ ｙ
ｋ ｋ ｒ ｒ ｓ ｓ × ｕ θ ｊ ｊ
面 齿轮 传动 是 一 种 圆 柱 齿轮 与 圆 锥 齿轮相 啮 合的 齿轮 传动 ， 由 于 在 分 流 －汇 流 传动结构 方 面 表
］ １ １ ５ － ， 已在直升机主传动系统 现 出 了 潜 在 的 优 势［
的 刀 盘 旋 转 而 成 的 刀 齿相 当 于 假 想 产 形齿轮 的 轮 齿 。 利 用 被 加 工齿轮 与 假 想 产 形齿轮 的 啮 合 运 动 ， 展 成 加 工出 被 加 工齿轮 。 图 １ 所 示 为 加 工弧线齿 圆 柱 齿轮 时 ， 刀 盘 的 位置 示 意 图 ， 绕刀盘轴线旋转 形 成 切 削 锥 面 作为产 形齿轮 的 轮齿 。 坐 标 系 Ｓ ｃ 为 刀盘坐标系， 经 坐 标 变换 Ｓ ｓ 为产 形齿轮 动 坐 标 系 ， 获 得 外 刀 和 内 刀 形 成 产 形齿轮 的 位置 矢 量 分 别 为 ｓ ｉ ｎ －Ａ θ ｊ 熿 燄 ， ） Ａ ｃ ｏ ｓ ｃ ｏ ｓ ｕ ｓ ｉ ｎ ｏ ｓ ｒ （ ｕ ＋ γ θ γｃ α－Ｙ０ ＝ θ ｊ ｊ ｊ ｊ
摘 要 ：为了 提 高面 齿轮 副 的 强 度 并 解 决 其 磨 齿 问 题 ， 提 出 了 弧 线 齿 面 齿 轮 副 的 一 种 新 的 加 工 方 法， 并研究其啮合特 模 拟 产 形齿轮和 被 加 工齿轮 啮 合 过 程 ， 推导弧线齿面齿轮 性 。 用有 刀 倾 的 刀 盘 旋 转 而 成 的 切 削面 作为 假 想 齿轮 的 齿 面 ， 副齿面方程； 根据两 齿 面 在 啮 合 过 程 中 连续 相 切 条 件 ， 建立了考虑安装误差的轮齿接触分析（ 模型； 齿轮副计算机 Ｔ Ｃ Ａ） 啮 合 仿真 结 果 表 明 ， 刀倾角、 产 形齿轮齿 数 、 刀尖半径等加工参数和安装误差向量对啮合迹线和接 触 椭 圆 等 参 数 影 响 较 大 。齿轮 副 的 凹 凸 齿 面 有 利 于 提 高 齿轮 副 强 度 ， 用 现 有 砂 轮和 数控机 床 可 实现 面 齿轮 加 工 。 关键词 ：弧线齿 面 齿轮 ；齿轮接触 分析 ；产 形齿轮 ；接触 椭 圆 ；安 装 误 差 中图分类号 ： ＴＨ １ ３ ２ 文献 标识码 ：Ａ
， ， ） 变换 矩 阵 ， 为坐标系Ｓ Ｍｉ ｉ ｄ ｓ ｐ， ｊ＝１， ｉ ｊ（ ｊ 到Ｓ 的 变换 矩 阵 ； 为 消 去 最 后 一 行 和 最 后 一 列 Ｌ Ｍ １ ｓ １ ｓ 的矩阵。 ２ ． ２ 弧 线 齿 面 齿轮齿 面 方 程 图 ３ 所 示 为 展 成 弧线齿轮 面 齿轮 （ 大轮 ） 坐标 系， Ｓ Ｓ ｆ 分别为产形齿轮固定坐标系和大轮固 ｇ、 定坐标系， 与 展 成 小 轮 类 似， Ｓ ２ 为 大轮 动 坐 标 系 ， 展 成 大轮 时 也是 模 拟 两 个 齿 轮 的 啮 合 过 程 ， ２ ｇ、 ／ 为产 形 齿 轮 和 大 轮 加 工 转 角 且 Ｎｇ Ｎ２ ， ２＝ ｇ
题 。 弧线齿 面 齿轮 传动 是 一 种 全 新 的 齿轮 传动 机
１ ０］ ， 构， 拥 有 自主 知 识 产 权 ［ 并已对其几何设计和 ］ １ １ １ ２ － 。弧线齿面齿轮 啮 合特 性 作 了 一 定 的 研 究 ［
凸、 凹 两 啮 合 齿 面 曲 率 差 较 小， 可 相 互 包 容， 重合 度大， 因 此在 强 度 、 啮 合平 稳 性 方 面 具 有 独 特的 优 势外， 最 为 重 要 的 是 该 齿轮 副 加 工 方 便 ， 可利用现 有 普 通 多 轴 联 动 数控机 床 和 格 里 森 刀 盘 加 工 。
弧线齿 面 齿轮齿 面 接触 分析 苏 进展 等 ：
５ ４ ７
加 工 小 轮和大轮 ； α为 刀 盘 齿形 角 ； γ ０ 为初始刀倾 角， Ｙ０ 、 Ｚ Ｙ０ ＝ ｒ ｃ ｏ ｓ ａｍ － γ ０ 为 刀 盘 初 始 位置 ， ｏ ０－ （ （ ） ， 齿宽中点 ｈ ａ ｎ Ｚ ｒ ｈ ｒ ｓ ｉ ｎγ γ α） ｆｔ ０＋ ０＝ ｆ－ ｏ ０， ｓ＋ ｐ ／ （ ， 半 齿 厚 ａｍ ＝ｍｎ ４ ｍｎ 为 法 向 模数 ） ｈ π ｆ 为被加工 ／ 产 形 齿 轮 节 圆 半 径ｒ 齿轮齿 根 高 ， ｚ ２， ｚ ｓ ＝ｍ ｎ ｓ ｓ ｐ 为产 形 齿 轮 齿 数 ； ｕ θ ｊ 为 切 削 刃 位 置 参 数； ｊ 为刀 盘绕 中心 轴 线 旋 转 角 。
Ｔ 、 产 形齿轮 法 矢 ｎ ０ ０］ ωｓ＝ ［ ω ω１ ＝ ｓ 的分量； ｓ Ｔ ［ ］ 分别为产形齿轮和被加工小轮的 － ０ ０ ω １ 角速 度 ； Ｅｓ ｒ ｒ ｒ ． ５ ｍｎＮ１ 为 １＝ １＋ ｓ为 中 心 距 ； １ ＝０ ｐ ｐ ｐ
被加工小轮节圆半 径； ｒ ． ５ ｍｎＮｐ 为 假 想 产 形 ｓ ＝０ ｐ 齿轮 节 圆 半 径 。
Ｍ ａ ｒ ． ２ ５ ２ ０ １ １Ｖ ｏ ｌ ． ３ ２Ｎ ｏ ． ３ ５ ４ ６ ５ ５ １ － ／ Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ０ ０ ０ ６ ８ ９ ３ Ｎ １ １ １ ９ ２ ９ Ｖ － Ｃ －
弧 线 齿 面 齿轮齿 面 接触 分 析
苏进展 ，方宗德 ＊ ，崔艳梅
西北工业大学 机电 学院 ，陕西 西安 ７ １ ０ ０ ７ ２
（）
（）
ｋ ｋ ｒ ｒ ｓ ｓ × ｕ θ ｊ ｊ
（）
（）
（ ， ； ） ｋ ＝ｉ ｏ ｇ ｊ ＝ ｐ， （ ） ３
Hale Waihona Puke Baidu
在 不 同 的 加 工 位置 轮齿 的 刀 倾 角 是 不 断 变换 的， 由产 形齿轮齿 面 包 络 出 的 齿 面 位 置 矢 量 和 法 向 矢 量 可 表示 为
ｒ ｕ ｒ ｕ θ θ ＝ Ｍ１ １（ ｓ） ｓ（ ｓ） ｓ（ ｐ， ｐ， ｐ， ｐ） 烌 （ ） ６ 烍 （ ， ， ） （ ） （ ， ） ｎ ｕ Ｌ ｎ ｕ １ ｓ ＝ １ ｓ ｓ ｓ ｐθ ｐ ｐθ ｐ 烎 式中： 为 坐 标 系 到 Ｍ１ Ｓ Ｓ ｓ ｓ＝Ｍ１ ｄＭｄ ｓ １ 的坐标 ｐＭｐ
航 空 学 报 Ａ ｅ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ ｅ ｔ Ａ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ Ｓ ｉ ｎ ｉ ｃ ａ Ａ ｃ ｔ ａ ： ｈ ｔ ｔ ／ ／ ｈ ｋ ｘ ｂ ． ｂ ｕ ａ ａ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ ｋ ｘ ｂ ｕ ａ ａ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ ｈ ＠ｂ ｐ （ ） 文章编号 ： １ ０ ０ ０ ６ ８ ９ ３ ２ ０ １ １ ０ ３ ０ ５ ４ ６ ０ ６ － － －
图 １ 假 想 产 形齿轮 Ｆ ｉ ． １ Ｉ ｍ ａ ｉ ｎ ａ ｒ ｅ ａ ｒ ｇ ｇ ｙ ｇ
外刀形成的 切 削 锥 面 作 为 假 想 齿 轮 的 凸 面， 内刀形成的切削 锥 面 作 为 假 想 齿 轮 的 凹 面， 齿数 可 以 是整 数 ， 也 可 以 是 实 数。产 形 齿 轮 的 单 位 法 矢 表示 为
刀 盘 切 削面的 切矢 可 表示 为
ｋ ｒ ｓ ｔ （ ｕ ＝ ｊ） ｕ ｊ
（ ｋ） ｓ （）
ｋ ｒ ｓ （ ， ； ） ｋ ＝ｉ ｏ ｇ ｊ ＝ ｐ， ｕ ｊ
（）
（ ） ４ ， 式中： ｋ ＝ ｉ ｏ分别表示用内刀和外刀加工面齿轮的凸 。 面和凹面， 为方便起见， 在后续推导中将省略上标ｋ
ｕ ＝ θ ｆ ｓ １（ ｐ， ｐ， ｐ） （ （ ） ｎ Ｅｓ ｃ ｏ ｓ ＋ ｓ － ω ｓ ＋ω １ ｚ ｓ ＋ω １ １ ｐ） ｙ （ （ ） ） ｎ Ｅｓ ｓ ｉ ｎ ｚ ｓ ω ｓ ＋ω １ ｙ ｓ －ω １ １ ｐ ＝０
（ ） ５
式中： ｘ ｚ ｙ ｓ、 ｓ、 ｓ 为产形齿轮动坐标系产形轮位置 矢 量ｒ ｎ ｎ ｎ ｓ 的分 量； ｘ ｓ、 ｓ、 ｚ ｓ为 产 形 齿 轮 动 坐 标 系 ｙ
（ ） ｏ ｓ
中得到应用， 减轻了直升机传动系统的重量并提 高 了可 靠 性 。 国 内 外 许 多 研 究 者 围 绕 着 直 、 斜齿 面 齿轮 进 行了 大 量 的研究 ， 发现直齿、 斜 齿 面 齿轮
］ ５ ９， １ ３ １ ５ － － 存 在着 加 工 困 难 且 对 安 装 误 差 敏 感 ［ 等问
２ 弧线齿 面 齿轮 副 齿 面 数学模型
２ ． １ 弧 线 齿 圆 柱齿轮齿 面 方 程 图 ２ 所 示 为 弧线齿 圆 柱 齿轮 （ 小 轮） 展 成坐 标 系， Ｓ Ｓ Ｓ ｄ 分 别 为产 形齿轮和 小 轮 固 定 坐 标 系 ， １ ｐ、 。 为小 轮 动 坐 标 系 加 工 小 轮 的 过 程为 模 拟 假 想 齿 轮和 小 轮 的 啮 合 过 程 ， １ 分 别 为产 形齿轮 加 工 ｐ、 ／ 转 角 和 小 轮 加 工 转 角 且 Ｎｐ Ｎ１ ， Ｎｐ、 Ｎ１ 分 １＝ ｐ 别 为产 形 齿 轮 齿 数 和 小 轮 齿 数 。 由 齿 轮 啮 合 理 论， 在产 形齿轮 动 坐 标 系 Ｓ 啮 合 方 程为 ｓ 中，
］ ： 引用格式 ：苏进展 ，方 宗德 ，崔艳梅 ．弧线齿 面 齿轮齿 面 接触 分析 ［ Ｊ ．航空学报 ， ２ ０ １ １， ３ ２（ ３） ５ ４ ６５ １． Ｓ ｕ Ｊ ｉ ｎ ｚ ｈ ａ ｎ， Ｆ ａ ｎ Ｚ ｏ ｎ ｄ ｅ， －５ ｇ ｇ ［ ］ ： Ｃ ｕ ｉ Ｙ ａ ｎ ｍ ｅ ｉ ． Ｔ ｏ ｏ ｔ ｈ ｃ ｏ ｎ ｔ ａ ｃ ｔ ａ ｎ ａ ｌ ｓ ｉ ｓ ｏ ｎ ｆ ａ ｃ ｅ ｅ ａ ｒ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ａ ｒ ｃ ｕ ａ ｔ ｅ ｔ ｏ ｏ ｔ ｈ Ｊ ． Ａ ｃ ｔ ａ Ａ ｅ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ ｅ ｔ Ａ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ Ｓ ｉ ｎ ｉ ｃ ａ， ２ ０ １ １， ３ ２（ ３） ｙ ｇ ５ ４ ６５ １． －５
Ａ ｓ ｉ ｎ ｏ ｓ ｕ ｃ ｏ ｓ ｏ ｓ γｃ θ γｃ α＋Ｚ ０ ｊ－ ｊ 燀 燅 （ ） １
（ ） ｉ ｒ ｕ ＝ θ ｓ （ ｊ， ｊ）
１ 假 想 产 形齿轮
１ ２］ ， 采用 成 形 法 时 ［ 刀盘 相 当 于 产 形 齿 条 加 工
ｓ ｉ ｎ θ －Ｂ ｊ 熿 燄 （ Ｂ ｃ ｏ ｓ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎγｃ ｏ ｓ γｃ θ α＋２ γ －Ｙ０ ０） ｊ ＋ｕ ｊ （ Ｂ ｓ ｉ ｎγｃ ｏ ｓ ｃ ｏ ｓ ｏ ｓ ＋Ｚ θ γｃ α＋２ γ ０） ０ ｊ －ｕ ｊ 燀 燅 （ ） ２ ； 式中： Ａ＝ ｒ ｕ ｓ ｉ ｎα； Ｂ＝ ｒ ｕ ｓ ｉ ｎ（ ｒ α＋２ γ ｏ＋ ｉ－ ０） ｏ、 ｊ ｊ
弧线齿 面 齿轮 。 类似 于 弧齿 锥 齿轮 的 假 想 平面 产 形轮 ， 采用 假 想 产 形齿轮 的 概 念 ， 具 有 一定 刀 倾 角
ｒ ｇ分别表示 ｊ＝ｐ， ｉ 分 别 为外 刀 和 内 刀刀 尖 半 径 ；
；退修日期 ： ；录用日期 ： ；网络出版时间 ： 收稿日期 ： ２ ０ １ ０ ０ ５ ３ １ ２ ０ １ ０ ０ ７ １ ６ ２ ０ １ ０ ０ ８ ２ ５ ２ ０ １ ０ １ １ １ １ ０ ９∶１ ４ － － － － － － － － ／ ／ ／ ： ： ／ 网络出版地址 ： ｗ ｗ ｗ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ｋ ｃ ｍ ｓ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ １ １． １ ９ ２ ９． Ｖ． ２ ０ １ ０ １ １ １ １． ０ ９ １ ４． ０ ２ ５． ｈ ｔ ｍ ｌ Ｄ Ｏ Ｉ Ｃ Ｎ Ｋ Ｉ １ １ １ ９ ２ ９ Ｖ． ２ ０ １ ０ １ １ １ １． ０ ９ １ ４． ０ ２ ５ － ） 基金项目 ：国家 自 然 科 学基 金 （ ５ ０ ８ ７ ５ ２ １ １ ： ： Ｔ ｅ ｌ ． ０ ２ ９ ８ ８ ４ ９ ３ ９ ５ ８ ａ ｉ ｌ ｆ ａ ｕ ｔ ｏ ｗ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ － Ｅ －ｍ ＠ｎ ｐ ＊ 通讯作者 ．
图 ２ 弧线齿 圆 柱 齿轮 展 成坐 标 系 ｉ ｎ ｉ ｏ ｎ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｆ ｉ ． ２ Ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｓ ｓ ｔ ｅ ｍ ｓ ｆ ｏ ｒ ｐ ｇ ｇ ｙ
ｋ ｋ ｒ ｒ ｓ ｓ × ｕ θ ｊ ｊ
面 齿轮 传动 是 一 种 圆 柱 齿轮 与 圆 锥 齿轮相 啮 合的 齿轮 传动 ， 由 于 在 分 流 －汇 流 传动结构 方 面 表
］ １ １ ５ － ， 已在直升机主传动系统 现 出 了 潜 在 的 优 势［
的 刀 盘 旋 转 而 成 的 刀 齿相 当 于 假 想 产 形齿轮 的 轮 齿 。 利 用 被 加 工齿轮 与 假 想 产 形齿轮 的 啮 合 运 动 ， 展 成 加 工出 被 加 工齿轮 。 图 １ 所 示 为 加 工弧线齿 圆 柱 齿轮 时 ， 刀 盘 的 位置 示 意 图 ， 绕刀盘轴线旋转 形 成 切 削 锥 面 作为产 形齿轮 的 轮齿 。 坐 标 系 Ｓ ｃ 为 刀盘坐标系， 经 坐 标 变换 Ｓ ｓ 为产 形齿轮 动 坐 标 系 ， 获 得 外 刀 和 内 刀 形 成 产 形齿轮 的 位置 矢 量 分 别 为 ｓ ｉ ｎ －Ａ θ ｊ 熿 燄 ， ） Ａ ｃ ｏ ｓ ｃ ｏ ｓ ｕ ｓ ｉ ｎ ｏ ｓ ｒ （ ｕ ＋ γ θ γｃ α－Ｙ０ ＝ θ ｊ ｊ ｊ ｊ
摘 要 ：为了 提 高面 齿轮 副 的 强 度 并 解 决 其 磨 齿 问 题 ， 提 出 了 弧 线 齿 面 齿 轮 副 的 一 种 新 的 加 工 方 法， 并研究其啮合特 模 拟 产 形齿轮和 被 加 工齿轮 啮 合 过 程 ， 推导弧线齿面齿轮 性 。 用有 刀 倾 的 刀 盘 旋 转 而 成 的 切 削面 作为 假 想 齿轮 的 齿 面 ， 副齿面方程； 根据两 齿 面 在 啮 合 过 程 中 连续 相 切 条 件 ， 建立了考虑安装误差的轮齿接触分析（ 模型； 齿轮副计算机 Ｔ Ｃ Ａ） 啮 合 仿真 结 果 表 明 ， 刀倾角、 产 形齿轮齿 数 、 刀尖半径等加工参数和安装误差向量对啮合迹线和接 触 椭 圆 等 参 数 影 响 较 大 。齿轮 副 的 凹 凸 齿 面 有 利 于 提 高 齿轮 副 强 度 ， 用 现 有 砂 轮和 数控机 床 可 实现 面 齿轮 加 工 。 关键词 ：弧线齿 面 齿轮 ；齿轮接触 分析 ；产 形齿轮 ；接触 椭 圆 ；安 装 误 差 中图分类号 ： ＴＨ １ ３ ２ 文献 标识码 ：Ａ
， ， ） 变换 矩 阵 ， 为坐标系Ｓ Ｍｉ ｉ ｄ ｓ ｐ， ｊ＝１， ｉ ｊ（ ｊ 到Ｓ 的 变换 矩 阵 ； 为 消 去 最 后 一 行 和 最 后 一 列 Ｌ Ｍ １ ｓ １ ｓ 的矩阵。 ２ ． ２ 弧 线 齿 面 齿轮齿 面 方 程 图 ３ 所 示 为 展 成 弧线齿轮 面 齿轮 （ 大轮 ） 坐标 系， Ｓ Ｓ ｆ 分别为产形齿轮固定坐标系和大轮固 ｇ、 定坐标系， 与 展 成 小 轮 类 似， Ｓ ２ 为 大轮 动 坐 标 系 ， 展 成 大轮 时 也是 模 拟 两 个 齿 轮 的 啮 合 过 程 ， ２ ｇ、 ／ 为产 形 齿 轮 和 大 轮 加 工 转 角 且 Ｎｇ Ｎ２ ， ２＝ ｇ
题 。 弧线齿 面 齿轮 传动 是 一 种 全 新 的 齿轮 传动 机
１ ０］ ， 构， 拥 有 自主 知 识 产 权 ［ 并已对其几何设计和 ］ １ １ １ ２ － 。弧线齿面齿轮 啮 合特 性 作 了 一 定 的 研 究 ［
凸、 凹 两 啮 合 齿 面 曲 率 差 较 小， 可 相 互 包 容， 重合 度大， 因 此在 强 度 、 啮 合平 稳 性 方 面 具 有 独 特的 优 势外， 最 为 重 要 的 是 该 齿轮 副 加 工 方 便 ， 可利用现 有 普 通 多 轴 联 动 数控机 床 和 格 里 森 刀 盘 加 工 。
弧线齿 面 齿轮齿 面 接触 分析 苏 进展 等 ：
５ ４ ７
加 工 小 轮和大轮 ； α为 刀 盘 齿形 角 ； γ ０ 为初始刀倾 角， Ｙ０ 、 Ｚ Ｙ０ ＝ ｒ ｃ ｏ ｓ ａｍ － γ ０ 为 刀 盘 初 始 位置 ， ｏ ０－ （ （ ） ， 齿宽中点 ｈ ａ ｎ Ｚ ｒ ｈ ｒ ｓ ｉ ｎγ γ α） ｆｔ ０＋ ０＝ ｆ－ ｏ ０， ｓ＋ ｐ ／ （ ， 半 齿 厚 ａｍ ＝ｍｎ ４ ｍｎ 为 法 向 模数 ） ｈ π ｆ 为被加工 ／ 产 形 齿 轮 节 圆 半 径ｒ 齿轮齿 根 高 ， ｚ ２， ｚ ｓ ＝ｍ ｎ ｓ ｓ ｐ 为产 形 齿 轮 齿 数 ； ｕ θ ｊ 为 切 削 刃 位 置 参 数； ｊ 为刀 盘绕 中心 轴 线 旋 转 角 。
Ｔ 、 产 形齿轮 法 矢 ｎ ０ ０］ ωｓ＝ ［ ω ω１ ＝ ｓ 的分量； ｓ Ｔ ［ ］ 分别为产形齿轮和被加工小轮的 － ０ ０ ω １ 角速 度 ； Ｅｓ ｒ ｒ ｒ ． ５ ｍｎＮ１ 为 １＝ １＋ ｓ为 中 心 距 ； １ ＝０ ｐ ｐ ｐ
被加工小轮节圆半 径； ｒ ． ５ ｍｎＮｐ 为 假 想 产 形 ｓ ＝０ ｐ 齿轮 节 圆 半 径 。
Ｍ ａ ｒ ． ２ ５ ２ ０ １ １Ｖ ｏ ｌ ． ３ ２Ｎ ｏ ． ３ ５ ４ ６ ５ ５ １ － ／ Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ １ ０ ０ ０ ６ ８ ９ ３ Ｎ １ １ １ ９ ２ ９ Ｖ － Ｃ －
弧 线 齿 面 齿轮齿 面 接触 分 析
苏进展 ，方宗德 ＊ ，崔艳梅
西北工业大学 机电 学院 ，陕西 西安 ７ １ ０ ０ ７ ２
（）
（）
ｋ ｋ ｒ ｒ ｓ ｓ × ｕ θ ｊ ｊ
（）
（）
（ ， ； ） ｋ ＝ｉ ｏ ｇ ｊ ＝ ｐ， （ ） ３
Hale Waihona Puke Baidu
在 不 同 的 加 工 位置 轮齿 的 刀 倾 角 是 不 断 变换 的， 由产 形齿轮齿 面 包 络 出 的 齿 面 位 置 矢 量 和 法 向 矢 量 可 表示 为
ｒ ｕ ｒ ｕ θ θ ＝ Ｍ１ １（ ｓ） ｓ（ ｓ） ｓ（ ｐ， ｐ， ｐ， ｐ） 烌 （ ） ６ 烍 （ ， ， ） （ ） （ ， ） ｎ ｕ Ｌ ｎ ｕ １ ｓ ＝ １ ｓ ｓ ｓ ｐθ ｐ ｐθ ｐ 烎 式中： 为 坐 标 系 到 Ｍ１ Ｓ Ｓ ｓ ｓ＝Ｍ１ ｄＭｄ ｓ １ 的坐标 ｐＭｐ
航 空 学 报 Ａ ｅ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ ｅ ｔ Ａ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ Ｓ ｉ ｎ ｉ ｃ ａ Ａ ｃ ｔ ａ ： ｈ ｔ ｔ ／ ／ ｈ ｋ ｘ ｂ ． ｂ ｕ ａ ａ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ ｋ ｘ ｂ ｕ ａ ａ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ ｈ ＠ｂ ｐ （ ） 文章编号 ： １ ０ ０ ０ ６ ８ ９ ３ ２ ０ １ １ ０ ３ ０ ５ ４ ６ ０ ６ － － －
图 １ 假 想 产 形齿轮 Ｆ ｉ ． １ Ｉ ｍ ａ ｉ ｎ ａ ｒ ｅ ａ ｒ ｇ ｇ ｙ ｇ
外刀形成的 切 削 锥 面 作 为 假 想 齿 轮 的 凸 面， 内刀形成的切削 锥 面 作 为 假 想 齿 轮 的 凹 面， 齿数 可 以 是整 数 ， 也 可 以 是 实 数。产 形 齿 轮 的 单 位 法 矢 表示 为
刀 盘 切 削面的 切矢 可 表示 为
ｋ ｒ ｓ ｔ （ ｕ ＝ ｊ） ｕ ｊ
（ ｋ） ｓ （）
ｋ ｒ ｓ （ ， ； ） ｋ ＝ｉ ｏ ｇ ｊ ＝ ｐ， ｕ ｊ
（）
（ ） ４ ， 式中： ｋ ＝ ｉ ｏ分别表示用内刀和外刀加工面齿轮的凸 。 面和凹面， 为方便起见， 在后续推导中将省略上标ｋ
ｕ ＝ θ ｆ ｓ １（ ｐ， ｐ， ｐ） （ （ ） ｎ Ｅｓ ｃ ｏ ｓ ＋ ｓ － ω ｓ ＋ω １ ｚ ｓ ＋ω １ １ ｐ） ｙ （ （ ） ） ｎ Ｅｓ ｓ ｉ ｎ ｚ ｓ ω ｓ ＋ω １ ｙ ｓ －ω １ １ ｐ ＝０
（ ） ５
式中： ｘ ｚ ｙ ｓ、 ｓ、 ｓ 为产形齿轮动坐标系产形轮位置 矢 量ｒ ｎ ｎ ｎ ｓ 的分 量； ｘ ｓ、 ｓ、 ｚ ｓ为 产 形 齿 轮 动 坐 标 系 ｙ
（ ） ｏ ｓ
中得到应用， 减轻了直升机传动系统的重量并提 高 了可 靠 性 。 国 内 外 许 多 研 究 者 围 绕 着 直 、 斜齿 面 齿轮 进 行了 大 量 的研究 ， 发现直齿、 斜 齿 面 齿轮
］ ５ ９， １ ３ １ ５ － － 存 在着 加 工 困 难 且 对 安 装 误 差 敏 感 ［ 等问
２ 弧线齿 面 齿轮 副 齿 面 数学模型
２ ． １ 弧 线 齿 圆 柱齿轮齿 面 方 程 图 ２ 所 示 为 弧线齿 圆 柱 齿轮 （ 小 轮） 展 成坐 标 系， Ｓ Ｓ Ｓ ｄ 分 别 为产 形齿轮和 小 轮 固 定 坐 标 系 ， １ ｐ、 。 为小 轮 动 坐 标 系 加 工 小 轮 的 过 程为 模 拟 假 想 齿 轮和 小 轮 的 啮 合 过 程 ， １ 分 别 为产 形齿轮 加 工 ｐ、 ／ 转 角 和 小 轮 加 工 转 角 且 Ｎｐ Ｎ１ ， Ｎｐ、 Ｎ１ 分 １＝ ｐ 别 为产 形 齿 轮 齿 数 和 小 轮 齿 数 。 由 齿 轮 啮 合 理 论， 在产 形齿轮 动 坐 标 系 Ｓ 啮 合 方 程为 ｓ 中，
］ ： 引用格式 ：苏进展 ，方 宗德 ，崔艳梅 ．弧线齿 面 齿轮齿 面 接触 分析 ［ Ｊ ．航空学报 ， ２ ０ １ １， ３ ２（ ３） ５ ４ ６５ １． Ｓ ｕ Ｊ ｉ ｎ ｚ ｈ ａ ｎ， Ｆ ａ ｎ Ｚ ｏ ｎ ｄ ｅ， －５ ｇ ｇ ［ ］ ： Ｃ ｕ ｉ Ｙ ａ ｎ ｍ ｅ ｉ ． Ｔ ｏ ｏ ｔ ｈ ｃ ｏ ｎ ｔ ａ ｃ ｔ ａ ｎ ａ ｌ ｓ ｉ ｓ ｏ ｎ ｆ ａ ｃ ｅ ｅ ａ ｒ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ａ ｒ ｃ ｕ ａ ｔ ｅ ｔ ｏ ｏ ｔ ｈ Ｊ ． Ａ ｃ ｔ ａ Ａ ｅ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ ｅ ｔ Ａ ｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ａ Ｓ ｉ ｎ ｉ ｃ ａ， ２ ０ １ １， ３ ２（ ３） ｙ ｇ ５ ４ ６５ １． －５
Ａ ｓ ｉ ｎ ｏ ｓ ｕ ｃ ｏ ｓ ｏ ｓ γｃ θ γｃ α＋Ｚ ０ ｊ－ ｊ 燀 燅 （ ） １
（ ） ｉ ｒ ｕ ＝ θ ｓ （ ｊ， ｊ）
１ 假 想 产 形齿轮
１ ２］ ， 采用 成 形 法 时 ［ 刀盘 相 当 于 产 形 齿 条 加 工
ｓ ｉ ｎ θ －Ｂ ｊ 熿 燄 （ Ｂ ｃ ｏ ｓ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎγｃ ｏ ｓ γｃ θ α＋２ γ －Ｙ０ ０） ｊ ＋ｕ ｊ （ Ｂ ｓ ｉ ｎγｃ ｏ ｓ ｃ ｏ ｓ ｏ ｓ ＋Ｚ θ γｃ α＋２ γ ０） ０ ｊ －ｕ ｊ 燀 燅 （ ） ２ ； 式中： Ａ＝ ｒ ｕ ｓ ｉ ｎα； Ｂ＝ ｒ ｕ ｓ ｉ ｎ（ ｒ α＋２ γ ｏ＋ ｉ－ ０） ｏ、 ｊ ｊ
弧线齿 面 齿轮 。 类似 于 弧齿 锥 齿轮 的 假 想 平面 产 形轮 ， 采用 假 想 产 形齿轮 的 概 念 ， 具 有 一定 刀 倾 角
ｒ ｇ分别表示 ｊ＝ｐ， ｉ 分 别 为外 刀 和 内 刀刀 尖 半 径 ；
；退修日期 ： ；录用日期 ： ；网络出版时间 ： 收稿日期 ： ２ ０ １ ０ ０ ５ ３ １ ２ ０ １ ０ ０ ７ １ ６ ２ ０ １ ０ ０ ８ ２ ５ ２ ０ １ ０ １ １ １ １ ０ ９∶１ ４ － － － － － － － － ／ ／ ／ ： ： ／ 网络出版地址 ： ｗ ｗ ｗ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ｋ ｃ ｍ ｓ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ １ １． １ ９ ２ ９． Ｖ． ２ ０ １ ０ １ １ １ １． ０ ９ １ ４． ０ ２ ５． ｈ ｔ ｍ ｌ Ｄ Ｏ Ｉ Ｃ Ｎ Ｋ Ｉ １ １ １ ９ ２ ９ Ｖ． ２ ０ １ ０ １ １ １ １． ０ ９ １ ４． ０ ２ ５ － ） 基金项目 ：国家 自 然 科 学基 金 （ ５ ０ ８ ７ ５ ２ １ １ ： ： Ｔ ｅ ｌ ． ０ ２ ９ ８ ８ ４ ９ ３ ９ ５ ８ ａ ｉ ｌ ｆ ａ ｕ ｔ ｏ ｗ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ － Ｅ －ｍ ＠ｎ ｐ ＊ 通讯作者 ．