飞行动力学飞机方程

设方向余弦表为矩阵Mbg，用欧拉角描述：
体轴坐标与地轴坐标可以互相转换
Mbg是复共轭矩阵：
x
y
M bg
xg
yg
z
zg
M 1 bg
MbTg
姿态角变化率与角速度分量间的几何关系
地轴系 Oxgyg平面
飞机三个姿态角变化率的方位
—沿ozg轴的向量，向下为正
—在水平面内与ox轴在水平面上的
u vw
F 按各轴分解，表示为： F iX jY kZ
各轴分量：
X m u wq vr
Y
m v ur
wp
Z
m
w
vp
uq
飞机的力方程
2.力矩方程
M
dH dt
dH dH dt 1H dt H
先考虑第一项
H 是动量矩，单元质量dm因角速度引起的动量矩为
dH r ( r )dm
式中：r 为质心至单元质量dm 的向径。
对飞行器的全部质量积分，可得总的动量矩 H r ( r )dm
式中： r ix jy kz, ip jq kr
依据：
i jk r p q r i(qz r y) j(r x pz) k( p y xq)
xyz
i r ( r ) x
xydm Ixy
表示惯性积
依据假设 Ixy=Izy=0 ，H 的各分量
H
x
H y
pI x qI y
rI xz
代入
dH dt
1H
dH dt
H
H
z
rI z
pI xz
可得
dH x dt
pI x rI xz
dH y dt
qI y
dH z dt
rI z pI xz
由于
i jk
H p q r i(qH z rH y ) j(rH x pH z ) k ( pH y qH x )
以及
Hx Hy Hz
M iL jM kN
两项相加，使其分量分别相等，可得飞机的力矩方程:
L pI x rI xz qr(I z I y ) pqI xz M qI y pr(I x I z ) ( p2 r 2 )I xz
N rI z pI xz pq(I y I z ) qrI xz
式中:i, j, k分别表示沿机体轴ox, oy，oz的单位向量。
于是
dV du dv dw
1v
dt
i dt
j k dt
dt
令 u du / dt, v dv / dt, w dw / dt
可得
1v
dV dt
iu
jv kw
又有
i jk
V p q r
展开：
V iwq vr j ur wp k(vp uq)
投影线相垂直，向右为正 —沿ox轴的向量，向前为正 将三个姿态角变化率向机体轴上投影，得
p sin q cos cos sin r sin cos cos
q cos r sin p (r cos q sin )tg 1 (r cos q sin )
m
dV dt
M
dH dt
采用机体坐标系建立动力学方程
把对惯性系的绝对速度 V及绝对动量矩 H 按机体坐标系分解
机体坐标系是动坐标系，用动坐标系表示飞机上某质点运 动的绝对导数（相对于地坐标系的线速度和绕飞机质心的 角速度）：
dV dV dt 1V dt V
dH dt
1H
dH dt
H
式中： 1V —沿 V 的单位向量
1.地轴系与机体轴系间的方向余弦表
o
xg
x
cos cos
y
cos sin sin- sincos
z
cos sin cos+sinsin-
yg sincos sin sin sin+cos cos sin sin cos-cos sin
zg -sin cos sin cos cos
表中，oxyz为机体轴系， oxgygzg为地轴系
地坐标系：
xd xd dt
dt
yd yd dt
dt
zd zd dt
dt
欧拉角 地坐标系
xd , yd , zd —地速，需要从空速转换
xd
V
yd
M
ga
0
,
zd
0
式中，Mg—气流坐标系到地坐标系的转换矩阵
三、飞行器的运动学方程（续）
为了描述飞行器相对于地面的运动，需建立机体轴系与地 轴系之间的转换关系。
cos
机体系 Oyz平面
积分获 得欧拉 角
和 在一般情况下并不是互相垂直的正交向量，但p,q,r却互相正交，
故
ip jq kr
上式表明，飞机三个姿态角变化率或绕机体轴的三个角速度分量都能合成
一、刚体飞行器运动的假设
飞行器是刚体，质量是常数； 地面为惯性参考系，即假设地坐标为惯性坐标； 忽略地面曲率，视地面为平面； 重力加速度不随飞行高度而变化，常值； 假设机体坐标系的x-o-z平面为飞行器对称平面，
且飞行器不仅几何外形对称.而且内部质量分布亦 对称，惯性积
I xy I zy 0
二、动力学方程(锁定舵面)
飞行器动力学方程可由牛顿第二定律导出力方程：Βιβλιοθήκη Fd (mV dt
)
i
力矩方程： M
dH dt
i
式中：F — 外力，m —飞行器质量
V —飞行器质心速度， M — 外力矩
H — 动量矩， i — 对惯性空间
依据假设1，m=常数；
依据假设2，地面为惯性系，去掉 i
得
F
采用机体坐标系建立动力学方程的优点： (1)可利用飞机的对称面，有Ixy=Izy=0,从而使方程简化 (2)在重量不变时，各转动惯量和惯性积是常数 (3)机体轴的姿态角和角速度就是飞机的姿态角和角速度，可
用安装在飞机上的位置陀螺和角速度陀螺直接测得而不必 转换。
三、飞行器的运动学方程
运动方程描述运动学关系：角度，位置
qz ry
j y rx pz
k z py xq
展开，得
H i
y2 z2
Ix
p
xyq
=0
xzr
dm
j z2 x2 q yzr xyp dm
Iy
=0
=0
k [(x2 y2 )r xzp yzq]dm
Iz
=0
式中，
y2 z2 dm Ix 绕ox轴的转动惯量
—动坐标系对惯性系的总角速度向量
—表示叉积，向量积
1H —沿动量矩 H 的单位向量
dV , dH dt dt
—对动坐标系的相对导数
1.力方程
F
m
dV dt
dV dt
1V
dV dt
V
V 和 用机体坐标系上的分量（u,v,w；p,q,r）表示
V iu jv kw, ip jq kr