用向量法求空间角

∴cos<B→C1，A→B1>＝|BB→→CC11|·|AA→→BB11|＝
4－1 5×
＝ 9
1＝ 5
5 5 >0.
∴B→C1与A→B1的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角，
∴直线
BC1
与直线
AB1
夹角的余弦值为
5 5.
答案 A
考点二 利用空间向量求直线与平面所成的 角
【例2】 (2013·湖南卷)
图2
规律方法 本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何 法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应 注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键， 一般地，异面直线 AC，BD 的夹角 β 的余弦值为 cos β＝||AA→→CC|·|BB→→DD||.
【训练 1】 如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC－
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的 直线，则二面角的大小θ＝ <A→B，C→D> .
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足|cos θ|＝ |cos<n1，n2>| ，二面
角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)．
向量方法求空间角与距离
四川省万源中学 楚润昱
[教学目标]
1．能用向量方法解决直线与直线，直线与平 面，平面与平面的夹角的计算问题．
2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应 用.
一：知 识 梳 理
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
(2)法一 如图 1，取 PB 中点 F，连接 EF，AF，则 EF∥BC， 从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角． 在△AEF 中，由于 EF＝ 2，AF＝ 2，AE＝12PC＝2. 则△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF＝π4. 因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
范围
0，π2
Leabharlann Baidu
[0，π]
求法
cos θ＝||aa|·|bb||
cos β＝|aa|·|bb|
2.直线与平面所成角的求法
设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α
|a·n|
所成的角为 θ，a 与 n 的夹角为 β.则 sin θ＝|cos β|＝ |a||n|
.
3．求二面角的大小
面所成的二面角的大小为 45°.
(×)
(7)(2013·上海卷改编)在如图所示的正方体
ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角
的大小为60°.
(√)
[感悟·提升]
1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面 角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位 置关系的判定和计算程序化、简单化．主要 是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量 积的夹角公式计算．
考点一 求异面直线所成的角 【例 1】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA
⊥底面 ABCD，E 是 PC 的中点．已知 AB＝2，AD＝2 2，PA ＝2.求： (1)三角形 PCD 的面积． (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．
解 (1)因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD. 又 AD⊥CD，所以 CD⊥平面 PAD，从而 CD⊥PD. 因为 PD＝ 22＋2 22＝2 3，CD＝2， 所以三角形 PCD 的面积为12×2×2 3＝2 3.
2．两种关系
一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角： 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角 时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角 的补角是异面直线所成的角，如(2)．
二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法 向量求二面角的大小时，当求出两半平面α， β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形 中观察法向量的方向，从而确定二面角与向 量n1，n2的夹角是相等，还是互补，如(6).
二：辨 析 感 悟
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)
若 n1 ， n2 分 别 是 平 面 α ， β 的 法 向 量 ， 则
n1∥n2⇔α∥β.
(×)
(2)
两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成
的角．
(×)
(3)
已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，
－6,2)，则a∥c，a⊥b.
A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦
值为
( )．
5 A. 5
25 C. 5
5 B. 3 3 D.5
解析 不妨令 CB＝1，则 CA＝CC1＝2.
可得 O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，
∴B→C1＝(0,2，－1)，A→B1＝(－2,2,1)，
(√)
2．空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，2π，直线与平面所成角的范围
是0，π2，二面角的范围是[0，π]．
(√)
(5)(2014·成都期末)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方
向向量、法向量，若 cos<m，n>＝－12，则 l 与 α 所成的角为
150°.
(×)
(6)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平
如 图 ， 在 直 棱 柱 ABCD － A1B1C1D1 中 ， AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1， AD＝AA1＝3.
图1
法二 如图 2，建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0)，C(2,2 2，
0)，E(1， 2，1)，A→E＝(1, 2，1)，B→C＝(0,2 2，0)．
设A→E与B→C的夹角为 θ，则
→→
cos θ＝|AA→EE|·|BB→CC|＝2×42
＝ 2
22，所以
θ＝π4.
由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
4．利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|A→B|＝ . x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (2)点到平面的距离
如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向 量，则 B 到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→|Bn·|n|.