近世代数课件(全)--3-3 循环环、剩余类环

x, y Z
st . ax my 1 ,因此, [a][ x] [ax] [1] ,故 [ a ] 可逆.
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
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例 2 Z12 解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
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定理2 (1) 循环环是交换环， (2) 循环环的子环是循环环， (3) 无限阶循环环的特征是无限， n阶循环环的特征是n.
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二、模m的剩余类环 1. 剩余类环的构造: 设 m 为大于1 的正整数, 则有
Zm {[0],[1],
,[m 1]}
[a],[b] Zm,规定 [a] [b] [a b] [a][b] [ab]
,故 m | ab .若 ( a, m) 1 ,则 m | b ,所以 [b] [0] ,矛盾.于是 ( a, m) 1 .
反之,如果
Z m 的零因子,则存在 [b]( [0]) Zm ,使得 [a][b] [ab] [0]
证：(1)若 [a] 为
( a, m) d 1 , 设 a a1d , m m1d ,则 m | ma1 m1da1 m1a ,所以 [m1 ][a] [m1a] [0] ,但 [m1 ] [0]
,则 Z m 关于剩余类的加法与乘法构成 一个有单位元的交换环.
Zm ([1])
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2. 剩余类环的性质 定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则 (1) [a] 为 Z m 的零因子 ( a, m) 1 (2) [a] 为 Z m 的可逆元 ( a, m) 1
ab,
但[a][b] [ab] [0],来自百度文库Z m 为有零因子环.
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定理3
Z m 为域 m 为素数.
（有限无零因子环是除环）
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练习： 求Z18的全部零因子、全部可逆元、全部 子环及子环特征、单位群.
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近世代数
第三章 环与域 §3 循环环、剩余类环
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一、循环环 定义1 若环 R 关于加法是循环群，称 R 为循环环. 例1 整数环是循环环. 定理1 若 ( R, ) ( a) ，则 （1）当 | a | 时，
R { , 2a, a, 0, a, 2a, } 2 a ka, k Z （2）当 | a | n 时， R {0, a, 2a, , ( n 1)a} 2 a ka, 0 k n 1
直接计算可知,相应的逆元为
1 1 1
[1] [1],[5] [5],[7] [7],[11] [11]
(3) 全部子环:
1
([0]), ([1]), ([2]), ([3]), ([4]), ([6]) char (([0])) 1, char (([1])) 12, char (([2])) 6, char (([3])) 4, char (([4])) 3, char (([6])) 2.
,于是 [ a ] 是零因子.
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(2)若 [a ] 为 Z m 的可逆元,则 [b] Zm , [a][b] [ab] [1]. 于是, m | ab 1,即 c Z ,使得 ab 1 cm ,也就是 ab ( c )m 1 ，所以 ( a, m ) 1. 反之, 如果 ( a, m) 1 ,则
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(4) 各子环特征:
定理2
Z m 为无零因子环 m 为素数.
证：设 m 为素数，若 [a][b] [ab] [0] ，则 m | ab ，m | a 或者 m | b ，即
[a] [0], 或者[b] [0], Z m 为无零因子环.
若 m 不是素数，则 m m | a, m | b, 即[a] [0],[b] [0],