第六章点的运动学

r (t )
o
r
M
r (t )
o
源自文库△r
M
此法只适用于定性分 析，不适用于定量分 析。
r (t )
矢径r(t)大小和方向的连 续变化唯一地确定了矢 端点的运动规律, 所以我们称r r(t) 为点的运动的矢量式方 程. 其表达式简单 , 抽象, 具有普遍意义 . 常用于公式的表达 , 推导和理论证明 .
t 2
S ds v dt 2r sin dt 4r 1 cos t c c 0 2 2
y O1 r C O
(0 t
2 )
M
x M
2 y 2 2r sin t v x 2
O
进一步的讨论:
一、弧坐标和自然轴系: 在点M的运动轨迹(道)上任选一点O, 并规定在O的某一侧为正向, 则点的位置可由弧长 S 来确定. S 的正负及大小便称作点M的弧坐 标. 当M点运动时, 它是时间的单值连续函数. 即 S = S ( t ) .
O (-)
M
(+)
S = S(t)
轨道曲线上任意一点处的切线, 主法线和副法线构成的正交坐 标系称为曲线在此点的自然轴系, 这三个轴称为自然轴. 自然轴系是沿曲线而变动的游动的正交坐标系.
点的运动是研究一般物体运动的基础. 下面介绍点的运动表示 方法。
§6 – 1 矢量法
1、位置矢量( 矢径 ): 取运动参考系上的某一点O为原点, 则运 动的 点M 在空间上对参考点O的位置, 可用一位置矢量来表示.
M
r r (t )
矢量 是时间 t 的单值 连续函数( 大小方向随时 间变化).
y
B
M
解法二：以O2 为原点建立弧坐标S = O2 B M点运动方程: S = R· 2t = 2Rt
R 2t O2
2R vs
x
0 at s 2 s an 42 R R
2 n 2 4 R 2
例二. 某一点的运动轨迹为平面曲线, 其速度在铅垂方向的投影始终是常量 C.
▲ ：i , j , k , n, b
动的正交坐标系.
为常向量 为变向量
二、速度——大小等于动点弧坐标对时间一阶导的绝对值 S S(t) o
M M ，经过△t ，矢量增量△ r

M

M´
当△t→0时 ， r MM s
v
dr r s ds lim lim dt t 0 t t 0 t dt ds s (+) dt
2


由此可得，点的速度、加速度在自然坐标轴上的投影：
2 s , at , an s s , ab 0
全加速度为：


a a a , tg
2 t 2 n
at
an
( : a与法线间的夹角）
由以上我们得到点的速度和加速度在自然坐标轴上的投影:
密切面
b M1
M
n 指向曲线内凹一侧， b 指向与 , n构成右手系， 且 b n 。
n
轨道曲线上任意一点处的切线, 主法线和副法线构成的正交坐 标系称为曲线在此点的自然轴 系, 这三个轴称为自然轴.
1 1
自然轴系是沿曲线而变动的游
B
y
M
A
M 点的坐标:

O t O1 C
R x
x 2 R cos t y 2 R cost sin t R sin 2t
2
4 R cost sin t vx x 2R sin 2t 2R cos 2t vy y
v
2 y 2 2R x
的速度矢为
r
O1
r ' r
又因为 是切线轴的单位矢量，所以点
ds s dt
点的速度永远沿运动轨迹的切向
三、加速度 M
a
S M´

v
d d d d a ( ) dt dt dt dt
求证: 任意时刻点的加速度大小 为: v3 a 其中 , 为 点 所 在曲 线 处 的 曲 半 率 径. C
证明: 不妨设铅垂轴为 y轴
2 C2 v2 x 0 2v at 2 x x
C 则 y
a 即 v at x
0 y
两边对t 求导:

度

v'
故法向加速度an 反映点的速度方向改变的快慢程度，大小 2 除以曲
率半径，方向沿主法线，指向曲率中心
▲：▲式的证明：
曲线运动中，曲率为
1
，曲率半径为
，
均表示曲线的弯曲程度。
M
a
S M´
其中曲率为曲线的转角对弧长的一阶倒数的绝对

v
值： 1
n
an
'
(+)
d lim s 0 s ds
v0 其中, s s s x x vA l 2 x2 v0 x
v d r dx dy dz i j k dt dt dt dt vy y vz z
速度:
r (t )
O
y
z
i y j z k x vx x
y ( j) 2 2 2 v x y z x
加速度:
dv d 2r d 2x d2y d 2z a i j 2 k 2 2 2 dt dt dt dt zt i j k x y z
O S = S(t) b
M
n
(+)

(-)
三个向量 , n , b 互相垂直, 且b n.
空间曲线上的每一点都有唯一确定的单位切向量, 法向量和 副法向量. 它们整体上刻画了曲线的微分几何性质. 这三个单位向量的方向因点而异, 从整体上看, 它们是变矢量.
法平面 副法线
, 1 与弧坐标正向一致，
， s
an ——法向加速度，反映速度方向变化的加速度 2、
M
a
S M´

v
n
an
'
(+)
d ——反映速度方向 的变化 an dt d ds （代入▲式,证明见后页） ds dt 1 2 n ——沿主法线方向——法向加速
2、点运动轨迹——矢端曲 线 3、点的速度矢量和加速度矢量 速度和加速度的数学定义式:
dr v r dt
dv d r a 2 v r dt dt
2
§ 6 – 2 点的运动的直角坐标描述
z
(k )
矢径 : M
r(t ) x(t ) i y(t ) j z(t ) k
vy vx cos v , i sin2t cos v , j cos 2t v v ax x ay y 4 2 R cos 2t 4 2 R si n2t
a x y 2 2 4 2 R y cos a , j si n2t a x cos a , i cos 2t a

当△S→0时，△ →0，△ 与 垂直，且有 1
n 1 lim lim n n s s
（▲）
v' '


2 sin 2
d ds


n
an
'
(+)
a t ——切向加速度，反映速度大小变化的加速度 1、
v'
d 其中， 反映v大小的变化，令为 a t dt d 反映v方向的变化，令为 an dt
故切向加速度 a t 反映点速度值对时间的变化率，代数值 方向沿轨迹切向
d ——沿切线的矢量——切向加速度 at dt 0, at 指向轨道的正向； 0, at 指向轨道的负向。 ——代数值，是 a t 沿轨道切向的投影。 at s
ax x a ay y az z
x
(i )
请注意 : 直角坐标轴的单位矢量 i , j , k 是常矢量.
2 2 2 x y z
当点的运动轨迹未知时，常用直角坐标法描述点的运动轨迹。
§ 6 – 3 点的运动的自然坐标描述
当点的运动轨迹为已知曲线时，易用自然法描述其运动，物理 意义更明确直观。
两边平方得 :
2 a2 v 2 at2 x
2 v 2 (a 2 an ) (v 2 C 2 ) a 2
2 v 2 a 2 v 2 an v2 a2 C 2 a2
v a C a
2 2 n 2
2
v4 v 2 C 2 a2
y
x r r sin rt r sint y r r cos r r cost
r r cost vx x r sint vy y
x
O1 M (M) O
O1 r
v
2 2 x y 2r sin t 2
2k 当t ( k 1,2,3, ) v 0 . M点 此 时 与 地 面 接 触 . 我们称此时的 M点 为 轮 子 的 速 度 瞬 心 .
习5–5 B s
解: 由图示可得
x2 s2 l 2
2s s 2x x
aA vA
x
两边对时间 t 求导:
v0
A l
C
r 2 sin t ax x
r 2 cos t ay y
2 2 r 2 (常数) a x y
又在自然坐标下有:
at
dv r 2 cos t dt 2
t
a n a 2 a t2 r 2 sin
2
6 v 即 a2 C 2 2
v3 a C
例三. 书上例5 – 6 ( p 147 )
半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设轮子转角
t（为常值） 如图，求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运
动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。 解法一: 建立坐标系如图. 设t=0时M点在原点. M点在任意时刻有:
第
二 篇
运 动学
第六章: 点的运动学
第六章: 点的运动学
• 本章重难点：
• 描述点的运动的基本方法及应用范围 • 直角坐标法和自然法
一、运动学的研究任务 （1）研究物体的机械运动及运动的几何性质； （2）研究机构传动规律； 二、研究方法 不考虑引起运动的原因，只研究运动的几何性质。 三、研究对象 ●几何点，也称为动点，有时简称为点； ●刚体组成的机构。 四、研究任务 点的几何性质——点对于某坐标系的运动方程、运动轨迹、速 度和加速度。
vs
a s
2 s an
a a a
2
2 n
a tg an
( 见书上)
为 a 与 n 所 夹 的 角 度 .
下面讲解例题。
例一 :习 5 – 7 ( p 154) 图示摇杆滑道机构中, 滑块M同时在固定的圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中运 动. 弧BC的半径为R, 摇杆的O轴在弧BC的圆周上. 摇杆绕O轴以等角速度 转动. 设运动开始时,摇杆OA在水平位置. 分别用直角坐标法和自然坐标法给出M点的运动方程, 并求其速度和加速度. 解法一：以O为原点建立直角坐标系 o – xy
M
a
n
an
v
点的加速度在自然轴上可分解为 切向分量与法向分量.
a
切向分量是速度大小对时间的变 化率; 法向分量为速度方向对时 间的变化率.
d d d d a ( ) dt dt dt dt at an at an n