高考常考的超越函数—双曲函数

高考常考的超越函数—双曲函数

戴又发

双曲函数是工程技术中的一类常用函数，也是一类最重要的初等函数.尽管在高中数学教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点.

一．定义

我们定义函数2sinh x x e e x --=为双曲正弦函数．函数2cosh x

x e e x -+=为双曲余弦

函数．函数 x

x x

x e

e e e x --+-=tanh 为双曲正切函数． 并将它们统称为双曲函数．

二．双曲函数的图象与基本性质

1．双曲正弦函数2

sinh x

x e e x --=的图象和基本性质

定义域：R ； 值域：R ； 单调性：增函数；

奇偶性：奇函数，图象关于原点对称； 零点：0=x ； 反函数：)1ln(sinh

21

x x x ++=-．

2．双曲余弦函数2

cosh x

x e e x -+=的图象和基本性质

定义域：R ； 值域：),1[+∞； 单调性：在)0,(-∞上单调减函数； 在),0(+∞上单调增函数； 奇偶性：偶函数； 最小值：1．

3．双曲正切函数x

x x

x e e e e x --+-=tanh 的图象和基本性质

定义域：R ； 值域：)1,1(-； 单调性：增函数； 奇偶性：奇函数； 反函数：x

x

x +-=-11ln

21tanh 1

三．重要关系 1．商数关系：x

x

x cosh sinh tanh =

；

2．平方关系： 1sinh cosh 22=-x x

3．加法公式：y x y x y x sinh cosh cosh sinh )sinh(⋅+⋅=+

y x y x y x sinh sinh cosh cosh )cosh(⋅+⋅=+ y

x y

x y x tanh tanh 1tanh tanh )tanh(⋅++=

+

4．减法公式：y x y x y x sinh cosh cosh sinh )sinh(⋅-⋅=-

y x y x y x sinh sinh cosh cosh )cosh(⋅-⋅=- y

x y

x y x tanh tanh 1tanh tanh )tanh(⋅--=

-

5．二倍数公式：x x x cosh sinh 22sinh ⋅=

1sinh 21cosh 2sinh cosh 2cosh 2222+=-=+=x x x x x

x

x

x 2tanh 1tanh 22tanh +=

四．导数性质

1． x x cosh )(sinh ='； 2．x x sinh )(cosh =' 3．x x 2

tanh 1)(tanh -='

五．高考试卷中的双曲函数

例1.【 2009年山东理科第6题】函数x x

x x

e e y e e

--+=-的图像大致为 【解析】函数有意义，需使0x

x

e e

--≠，其定义域为{}0|≠x x ，排除C ，D ，又因为

22212

111

x x x x x x x

e e e y e e e e --++===+---，所以当0x >时函数为减函数，故选A ． 答案：A ．

【命题立意】本题选取双曲正切函数的倒数作为研究对象，这个函数也叫双曲余切函数．考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的双曲余切函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内考察其余的性质．

例2.【 2015年新课标Ⅰ第13题】若函数)ln()(2

x a x x x f ++=为偶函数，则=a 【解析】因为函数)ln()(2

x a x x x f ++=为偶函数，

由0)]ln([)ln()()(2

2

≡++---++=--x a x x x a x x x f x f ， 得 0)ln()ln(22

≡++-+++x a x x a x ，

1x y 1O

A x

y

O 1

1

B x

y

O 1 1 C x y 1 1 D

O

0ln ln(22==-+a x x a ）．所以1=a ．

【命题立意】本题已知函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，能得到函数

)ln()(2

x a x x g ++=应为奇函数，而函数)1ln(2

x x ++正是双曲正弦函数

2

x x e e --的反函数，且为奇函数，故1=a ．本题的根仍为双曲函数．

例3. 【 2015年湖北文科卷21】

设函数)(x f ，)(x g 的定义域均为，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，

x e x g x f =+)()(，其中e 为自然对数的底数.

（Ⅰ）求)(x f ，)(x g 的解析式，并证明：当0>x 时，0)(>x f ，1)(>x g ； （Ⅱ）设，，证明：当时，)1()()

()1()(b x bg x

x f a x ag -+<<-+. 【解析】（Ⅰ）由)(x f ，)(x g 的奇偶性及

x e x g x f =+)()(

①

得： x

e x g x

f -=+-)()( ②

联立①②解得)(21)(x x e e x f --=

，)(2

1

)(x x e e x g -+= 当0>x 时，1>x e ，10<<-x e ，故0)(>x f ③

又由基本不等式，有1)(2

1)(=>+=--x x x x

e e e e x g ，即1)(>x g ④ （Ⅱ）由（Ⅰ）得)(21)(x x e e x

f --=

，)(2

1

)(x x e e x g -+= )()(2

1)(x g e e x f x x

=+=

'-， ⑤ )()(2

1)(x f e e x g x x

=-=

'-， ⑥ 当0>x 时，

)1()()

(a x ag x

x f -+>等价于x a x axg x f )1()()(-+>， ⑦

)1()()

(b x bg x

x f -+<等价于x b x bxg x f )1()()(-+< ⑧ 设函数x c x cxg x f x h )1()()()(---= ，

由⑤⑥，有)1()()()()(c x cg x g cx x f x h ---'-'='

R 0x >0a ≤1b ≥0x >