逆变换与逆矩阵

3 1 x y 2 2 , 把直角坐标系内的任意 1 3 x y 2 2
'
一个向量 沿逆时针方向绕原点旋转 30 ，设 R30 ，
如果再进行一次变换 R
30
' 3 1 x y x 2 2 , 即把任意一个向量 : y' 1 x 3 y 2 2
由矩阵与线性变换的对应关系可以看出， A 的逆矩阵就是 r 的逆变换所对应的矩阵。
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧!
例题1、
• 对于下列给出的线性变换，是可逆变换的是 (1) 以x轴为反射轴作反射变换; (2) 绕原点逆时针旋转600作旋转变换; (3) 横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标伸为原来的 2倍作伸压变换; (4) 沿y轴方向,向x 轴作投影变换; (5) 纵坐标y不变,横坐标依纵坐标的比例增加, 且(x,y) (x+2y,y) 的切变变换.
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2.5逆变换与逆矩阵
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பைடு நூலகம்
上一讲我们引进了复合变换以及矩阵的乘法，并 研究了矩阵乘法的一些性质，结合矩阵的乘法， 是否还可以研究矩阵的其他性质呢？？
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如果一个线性变换是可逆的，那么它的逆变 换是唯一的吗？？
如果一个矩阵是可逆的，那么它的逆矩阵唯 一吗？？
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对于旋转变换 R30 , 我们知道 R30 R30 R30 R30 I ， 设 s 是变换 R30 的任意一个变换，则 s R30 R30 s I 对任意一个向量 ，我们有：
s ( ) I (s ) ( R30 R30 )s
R30 ( R30 s ) R30 ( I ) R30 ( )
因此， s R30 ，即旋转变换 R30 的逆变换唯一。 即对应矩阵的逆矩阵唯一。
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沿顺时针方向绕原点旋转 30 ，这样 ' 在 R30 的作用下又变回到 ，
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综上所述，对旋转变换 R30 ，我们找到了一个变换 R30 ， 使得 R30 R30 R30 R30 I ，
3 3 1 1 2 2 ，存在一个二阶矩阵 2 2 ， 及对于二阶矩阵 1 1 3 3 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 E 有 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 思考：对于一般的旋转变换是否也有类似的结论呢？
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设证明过程 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的， 则 A 的逆矩阵唯一
我们把 A 的逆矩阵记为 A ，读作 A 的逆矩阵或 A 的逆， 从而 A1 A AA1 E2
1
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在实数的乘法运算中，如果 a b b a 1 ， 我们称 a , b 互为倒数。
本讲中，我们将恒等变换 I 对应的单位矩阵 E2 作为 1 的类比对象，研究逆变换与逆矩阵。
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探究（课本 43 页）：
s， 对于一个线性变换r ，是否存在一个线性变换
设 A 是一个二阶矩阵，如果存在一个二阶矩阵 B ，
回顾例1、例2
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一般地， 设 A 是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为 r ，
思考：是否每个二阶矩阵都可逆呢？ 投影变换不可逆
1 0 对于二阶矩阵 A ，找不到二阶矩阵 B ， 0 0 1 0 使得 B A A B E2 ，即 A 不可逆 0 0
设 r , s 是两个可逆的线性变换，
那么它们的复合变换仍可逆吗？？ 性质 2：设 A, B 是二阶矩阵，如果 A, B 都可逆，
则 A B 也可逆，且 ( A B) 1 B 1 A 1
证明过程
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例题3、
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×× 使得srrs I？
对于一个二阶矩阵 A ，是否存在一个二阶矩阵B ，
×× 使得 BAABE
2
？
我们先从一些特殊的线性变换来
探究此问题。
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例 1：旋转变换 R
30
' x : y'
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一般地，设 r 是一个线性变换，如果存在线性变换 s 使得 s r r s I ，则称变换 r 可逆， 并且称 s 是 r 的逆变换。
用矩阵语言表述为：
使得 B A A B E2 ，则称 A 可逆， 或称 A 是可逆矩阵，并且称 B 是 A 的逆矩阵
试从几何变换角度求矩阵AB的逆矩阵: (1) 1 0 A 0 1 1 0 A 0 2 0 1 B 1 0 1 1 B 2 0 1
(2)
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逆变换和逆矩阵的概念
课本52页习题5
0 1 (3) C 1 0
结论： 当一个矩阵表示的是平面上向量到向量 的一一映射时，它才是可逆的。 逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的 矩阵。
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逆矩阵的性质
课题：选修4-2 2.5逆变换与逆矩阵
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例题2、
用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆 矩阵,若存在把它求出来;若不存在,说明理由.
(1) 0 1 A 1 0 1 (2) B 2 0 1 (4) D 1 0 1 0 0