2019-2020学年江西省上饶市广丰区九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年江西省上饶市广丰区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）下列图形中不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值是（）
A．3B．﹣3C．﹣1D．1
3．（3分）如图，已知△ABC的六个元素，其中a、b、c表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC不一定相似的图形是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（3分）直线PQ⊥x轴，且于反比例函数y＝的图象交于P点，与x轴交于点Q，那么△OPQ的面积为（）A．4B．3C．2D．1
5．（3分）抛一个铁球，在泥地上砸了一个直径8cm，深2cm的坑，这个铁球的直径是（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab ＜0；②b2＞4ac；③0＜b＜1；④当x＜﹣1时，y＜0．其中正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
7．（3分）点A（1，5）关于原点对称，得到点A′，那么A′的坐标是．
8．（3分）奥运会射击比赛冠军在以后的某次比赛中，“有一枪脱靶”，这一事件是（填不可能事件、必然事件或随机事件）
9．（3分）已知反比例函数k＜0（其中y＝），点A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）是函数图象上的三个点，那么y1、y2、y3的大小关系是．
10．（3分）商场中换季衣服都要打折处理，今年10月某商店将某种春秋装以原价8.1的折出售，到了11月，再次降价，现将这种春秋装仅以原价的6.4折出售，经过两次降价，则平均折扣率是．
11．（3分）如图AB、CD是⊙O的两条平行且相等的弦，⊙O′与弦AB、CD都相切，若小圆外深色阴影部分的面积为16πcm2，那么弦AB的长等于．
12．（3分）AB、AC是半径为2的⊙O上的两条弦，且AB＝2，AC＝2，那么，AC的弦心距，圆周角∠BAC 所对的弧等于．
三、解答题（本大题共5小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
13．（6分）（1）（x+1）（x﹣3）＝x+1
（2）（2x﹣3）2＝（x+6）2
14．（6分）直线y＝x+1与反比例函数y＝（其中k≠0）的图象交于A（﹣2，﹣1）、B（m，n），求点B的坐标．15．（6分）如图，在△ABC中，D是BC上的点，且AB＝AC＝DC，∠B＝36°．求证：△ABC∽△DBA．
16．（6分）如图，从一个半径为1m的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90°的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，求此圆锥的底面圆的半径．
17．（6分）小亮手中有红桃10、8、6、4四张牌，小明手中有黑桃9、7、5、3四张牌，他俩做如下游戏：每人从手中随机取出三张牌，和大者为胜；求小明得胜的概率；为了公平起见小明得胜的奖励应是小亮得胜奖励的几倍？
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
18．（8分）下面方格的小正方形的边长为1，用无刻度直尺按要求作图；
（1）作AB的中垂线；
（2）作CD的中垂线
19．（8分）在一张较大的白纸上面画满了间距为3cm的平行线，往这张纸上扔一枚半径为1cm的圆形小铁片，求铁片与直线不相交的概率．
20．（8分）阅读：三角形的一条边的平方等于另两条边的积，称这个三角形为优美三角形，这条边称为优美边．（1）已知△ABC是优美三角形，且AC＝1，AB＝2，求BC的长；
（2）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC，∠ABC＝∠ACD．求证：△ABC是优美三角形．
21．（8分）在函数的学习中，读图能力是一项很重要的基本功．请仔细阅读如图，解决下列问题：（1）函数y＝x+（x＞0）在x＝时，有最小值y最小＝；
（2）依据（1）的结论，结合换元思想求y＝x+（x＞1）的最小值，并求函数值最小时的x的取值；
（3）求函数y＝x2++2x的最小值．
五、（本大题共10分）
22．（10分）如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．（1）求∠ADB与∠ADC的大小；
（2）求证：AD＝BD+CD．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3），直线CD平行于x轴，与抛物线另一个交点为D．
（1）求函数的解析式；
（2）若M是x轴上的动点，N是抛物线上的动点，求使以B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形的M的横坐标．
2019-2020学年江西省上饶市广丰区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不
满足中心对称图形的定义，符合题意；
D、是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：这里a＝1，b＝﹣3，
∴x1+x2＝＝3．
故选：A．
3．【解答】解：甲三角形的两边AC，BC的夹角不一定等于72度，故与△ABC不一定相似的图形，故选此选项正确；
乙可以利用两边对应成比例且夹角相等得出相似；
丙、丁可以利用两角对应相等得出相似；
故选：A．
4．【解答】解：∵直线PQ⊥x轴，且于反比例函数y＝的图象交于P点，与x轴交于点Q，∴△POQ的面积为|k|＝＝1，
故选：D．
5．【解答】解：设该铅球的半径是rcm．
在由铅球的半径、小坑的半径即半弦和弦心距组成的直角三角形中，
根据勾股定理，得r2＝（r﹣2）2+16，
解得r＝5，
故2r＝10．
故选：B．
6．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），∴c＝1，a﹣b+c＝0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x＝﹣＞0，
∴a与b异号，∴ab＜0，正确；
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，正确；
③∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a﹣b+c＝0，c＝1，∴a＝b﹣1，
∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，
∴0＜b＜1，正确；
④由图可知，当x＜﹣1时，y＜0，正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：D．
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
7．【解答】解：点A（1，5）关于原点对称，得到点A′，
那么A′的坐标是：（﹣1，﹣5）．
故答案为：（﹣1，﹣5）．
8．【解答】解：奥运会射击比赛冠军在以后的某次比赛中，“有一枪脱靶”，这一事件是随机事件；
故答案为：随机事件．
9．【解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大；
又∵B（2，y2）、C（4，y3）是双曲线上的两点，且4＞2＞0，
∴y2＜y3＜0；
又∵点A（﹣4，y1）在第二象限，
∴0＜y1，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．
10．【解答】解：设平均折扣率是x，
依题意，得：（1﹣x）2＝，
解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
故答案为：0.2．
11．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∵⊙O′与弦AB、CD都相切，
∴EF＝⊙O′的直径，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF，
∴OE＝⊙O′的半径，
连接OB，
∵小圆外深色阴影部分的面积为16πcm2，
∴⊙O的面积﹣⊙O′的面积＝OB2π﹣EF2π＝（OB2﹣EF2）π＝BE2π＝16π，∴BE＝4（负值舍去），
∵OE⊥AB，
∴AB＝2BE＝8cm，
故答案为：8cm．
12．【解答】解：作直径AD，连接BD、CD、OB、OC，如图，∵AD为直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
在Rt△ABD中，∵cos∠BAD＝＝＝，
∴∠BAD＝45°，
在Rt△ACD中，∵cos∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，
当AC和AB在直径AD的两侧，如图1，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+30°＝75°，∴∠BOC＝2∠BAD＝150°，
∴的长度＝＝π；
当AC和AB在直径AD的同侧，如图2，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°，∴∠BOC＝2∠BAD＝30°，
∴的长度＝＝π；
综上所述，圆周角∠BAC所对的弧的长度为π或π．
故答案为π或π．
三、解答题（本大题共5小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13．【解答】解（1）移项得（x+1）（x﹣3）﹣（x+1）＝0，
提取公因式得（x+1）（x﹣4）＝0，
解得x＝﹣1或x＝4；
（2）移项得（2x﹣3）2﹣（x+6）2＝0，
分解因式（3x+3）（x﹣9）＝0，
解得x＝﹣1或x＝9．
14．【解答】解：把A（﹣2，﹣1）代入y＝得k＝﹣2×（﹣1）＝2，则反比例函数解析式为y＝，解方程组得或，
所以B点坐标为（1，2）．
15．【解答】证明：∵AB＝AC，∠B＝36°，
∴∠C＝36°．
又∵AC＝DC，
∴∠DAC＝＝72°．
∴∠DAB＝180°﹣2×36°﹣72°＝36°，
∴∠DAB＝∠C．
又∵∠B是公共角，
∴△ABC∽△DBA．
16．【解答】解：连接BC，依题意，线段BC是圆的直径．
∴，
∴＝＝π．
∴圆锥的底面圆的半径＝π÷2π＝（m）．
答：圆锥的底面圆的半径为m．
17．【解答】解：小亮随机抽出的三张牌的三个数字和的可能结果有：24、22、20、18，小明随机抽出的三张牌的三个数字和的可能结果有：21、19、17、15，
列表如下：
24222018
21（21，24）（21，22）（21，20）（21，18）
19（19，24）（19，22）（19，20）（19，18）
17（17，24）（17，22）（17，20）（17，18）
15（15，24）（15，22）（15，20）（15，18）
列表知小明获胜的情形只有三种，小明获胜的概率是
为了公平起见小明得胜的奖励应是小亮得胜奖励倍．
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
18．【解答】解：（1）图中直线EF即为所作；
（2）图中直线MN即为所作．
19．【解答】解：如图，在与格线距离1cm处画出与格线平行的虚直线，当圆心落在两虚线之间，圆与格线不相交，否则就与格线相交（相切的概率很小忽略）．
于是得铁片与直线不相交的概率为．
20．【解答】（1）解：显然AB、AC都不可能为优美边，否则三线段不能构成三角形．
由BC2＝1×2，得BC＝．
（2）证明：在△ABC与△DCA中，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
又∵∠ABC＝∠ACD，
∴△ABC∽△DCA，
∴，得AC2＝BC•AD，
∵AB＝AD，
∴AC2＝BC•AB．
即△ABC是优美三角形．
21．【解答】解：（1）由函数图象得，在x＝1时，有最小值y最小＝2，
故答案为：1，2；
（2）∵y＝x+＝x﹣1++1，
由（1）知，当x﹣1＝1时，y＝x﹣1++1（x＞1）的值最小，
即当x＝2时，y有最小值3
（3）y＝x2++2x＝（x2+2x+3）﹣3，
∵x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，
∴当x2+2x+3＝2时，即x＝﹣1时，y最小＝2+﹣3＝﹣．
五、（本大题共10分）
22．【解答】（1）解：连接BC，由题意得△ABC为等边三角形，有∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠ADC＝∠ABC，∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADC＝60°；
（2）证明：在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，
∵∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△BDE、△CDF为正三角形，
∴∠DEB＝∠DFC＝60°，
∴∠AEB＝∠CF A＝120°，
又∠F AC+∠FCA＝∠DFC＝60°、∠F AC+∠EAB＝∠BAC＝60°，
∴∠EAB＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∵
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD＝DE+AE＝BD+FC＝BD+CD．
六、（本大题共12分）
23．【解答】解：（1）∵二次函数的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），∴可设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入，
得，3＝a（0+1）（0﹣3），
解得，a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝3时，x1＝0，x2＝2，
∴点D的坐标为（2，3），
当以B、D、M、N为顶点四边形是平行四边形时，有两类情形；
①BD是平行四边形的边时，如图1，
联立方程组，
解得，x N＝1+或1﹣，
如图，此时x M＝1+﹣1＝或x M＝0+1＝1或x M＝1﹣﹣1＝﹣，
∴点M的坐标为（，1）或（1，0）或（﹣，0）；
②当BD是平行四边形的对角线时，如图2，
∵B（3，0），D（2，3），
∴B、Q两点的中点坐标为（，），
∴设M（m，0），可得N的坐标为（5﹣m，3），
将N的坐标为（5﹣m，3）代入y＝﹣x2+2x+3，
得3＝﹣（5﹣m）2+2（5﹣m）+3，
解得，m1＝3（舍去），m2＝5，
∴点M的坐标为（5，0），
综上所述，点M的坐标为（，1）或（1，0）或（﹣，0）或（5，0）．。