数列极限的方法总结

求数列极限

数学科学学院数学与应用数学

11级电子张玉龙陈进进指导教师鲁大勇

摘要数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。

关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了

1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设｛Xn｝是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N，当n〉N 时,都有Xn ? a < ε ,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为lim Xn = a . n→∞例1: 按定义证明lim 1 = 0. n →∞n! 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令1/n< ε ,则让n> 即可, ε存在N=[ 立, 1 ε ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε成1 = 0. n →∞ n!

2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 1+ a + a2 + L+ an 例2: 求lim ,其中a < 1, b < 1 . n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以lim

3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N, 当n>N 时, 有Xn ≤Yn ≤Zn, 且lim Xn = lim Zn = a , 则有n →∞ n →∞ lim Yn = a . n →∞例3:求{ 解: 1+ n }的极限. n2 对任意正整数n,显然有1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而→ 0 , → 0 ,由夹逼性定理得n n 1+ n lim 2 = 0 . n →∞ n

4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单. an ?1 例4.求极限lim n ，此时n →∞ a + 2 有，令解：若5.单调有界原理

4. 例

5.证明数列证：令我们用归纳法证明若≤２则则有极限，并求其极限。，易知｛｝递增，且≤2. 显然。。中两故由单调有界原理｛｝收敛，设→，则在边取极限得即解之得=２或=-１明显不合要求，舍去，从而

5.

6. 6.先用数学归纳法,再求极限. 1 ? 3 ? 5 ? L ? (2n ? 1) 例6:求极限lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0 < ? ? ? L ? < 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n ? 1 S= ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2 4 2n 设S * = ? ?L? 则有S< S * 3 5 2n + 1 1 S2=S*S

7. 7.利用两个重要极限lim = 1 , lim (1 + ) x = e . x →0 x → +∞ x x 2 例7:求lim (1 + ) x x → +∞ x x x 2 1 解: 原式= lim (1 + ) 2 ? (1 + ) 2 = e ? e = e 2 x → +∞ x x

8. 8.利用等价无穷小来求极限将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限. , lim 例8:求lim x→+ 而0 < S < 1 1 1 + x sin x ? 1 ex ?1 2 解:当x → 0 的时候, x sin x → 0 , 1 + x sin x ? 1 ~ 而此时, e x ? 1 ~ x 2 ,所以x sin x 1 原式= lim = x →0 2 x 2 2 0 ∞

9. 9.用洛必达法则求极限.适用于和型0 ∞ 1 ? cos x 例9:求lim x →0 x2 0 解: 是待定型. 0 1 ? cos x sin x 1 = lim lim = 2 x →0 x →0 2 x 2 x

10. 10.积分的定义及性质1p + 2 p + 3 p + L + n p 例10:求lim ( p > 0) n → +∞ n p +1 1p + 2 p + 3 p + L +n p 1 n i 解: lim ( p > 0) = lim ∑ ( ) p n → +∞ n → +∞ n n p +1 i =1 n p 设f ( x ) = x ,则f (x ) 在[0,1]内连续, 1 i i ?1 i ?x i = , 取ξ i = ∈ [ , ] n n n n i 所以, f (ξ i ) = ( ) p n 1 1 所以原式= ∫ x p dx = 0 p +1

11. 11.级数收敛的必要条件. 2 x sin x . 2 设∑ u n 等于所求极限的表达式, 再证∑ u n 是收敛的, 据必要条件知所求表达式的n =1 n =1 ∞∞极限为0. 例11:求lim n → +∞ n! nn ∞ u 1 1 n! = <1 ,则lim n +1 = lim n n → +∞ u n → +∞ 1 e n n =1 n (1 + ) n n n! 所以该级数收敛,所以lim n =0 n → +∞ n

12. 12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数的恒等变形。sin 5 x ? sin 3 x 例12. 求lim x →0 sin 2 x 解：? sin 5 x 2 x 5 sin 3 x 2 x 3 ? 5 3 法一：原式= lim ? ? ? ? ? ? = ? =1 x →0 3 x sin 2 x 2 ? 2 2 ? 5 x sin 2 x 2 ? 5 x + 3x 5 x ? 3x 2 cos sin 2 cos 4 x sin x 2 cos 4 x 2 2 法二：原式= lim = lim = lim =1 x →0 x → 0 2sin x cos x x → 0 2 cos x sin 2 x

13. 13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。(?1) x 例13：求lim x 的值x→∞ 2 ?1 解：奇数列为lim x =0 x→∞ 2 1 偶数列为lim x =0 x→∞ 2 (?1) x 所以lim x =0 x→∞ 2

14. 14．利于泰勒展开式求极限。解:设∑ u n = 例14.求lim(5 x 5 + x 4 ? 5 x 5 ? x 4 ) 1 1 ? 1 1 1 ? 解：原式= lim x ?(1 + ) 5 ? (1 ? ) 5 ? (令t= ) x → +∞ x x x ? ? 1 ? 1 ? 1 + t + o(t ) ? ?1 ? t + o(t )? 1 1 ? 1? 5 ? 5 ?=2 = lim ?(1 + t ) 5 ? (1 ? t ) 5 ? = t → +0 t t 5 ? ? 15. 15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。1 例15：求lim 2 sin x 的值x →∞ x 1 是无穷小量，而lim sin x 是有界变量，所以x →∞ x 2 x →∞ 1 lim 2 sin x 还是无穷小量，即x →∞ x 1 lim 2 sin x =0 x →∞ x