利用极限的定义证明例题

利用极限的定义证明例题

对于极限的定义是：对于给定的函数f(x)和实数a，如果对于任意给定的正实数ε，存在另一个正实数δ，使得当x满足0 < |x-a| < δ时，有|f(x)-L| < ε成立，则称L是函数f(x)在x趋于a时的极限。

现在我们来证明一个极限举例题：

例题：证明lim(x->2) (3x+1) = 7.

根据极限的定义，我们需要证明对于任意给定的正实数ε，存在另一个正实数δ，使得当x满足0 < |x-2| < δ时，有|(3x+1)-7| < ε成立。

首先，我们可以计算当x接近2时，(3x+1)的值接近7。例如，当x=2.1时，(3x+1)=7.3；当x=2.01时，(3x+1)=7.03；当x=2.001时，(3x+1)=7.003，依此类推，我们可以观察到(3x+1)逐渐趋近于7。

基于这个观察，我们可以猜测当x足够接近2时，(3x+1)与7之间的差距将越来越小。为了证明这一点，我们可以尝试使用数学推导。

我们来进行具体推导：

|(3x+1)-7|可以简化为|3x-6|，接下来我们需要找到一个δ，使得当0 < |x-2| < δ时，有|3x-6| < ε成立。

我们可以通过不等式|3x-6| < ε来推导：

-ε < 3x-6 < ε

将上述不等式两边都加上6：

6-ε < 3x < 6+ε

再除以3：

2-ε/3 < x < 2+ε/3

于是，我们可以选择δ=min(ε/3, 1)，这样当0 < |x-2| < δ时，就有|3x-6| < ε成立。

因此，根据极限的定义，我们证明了lim(x->2) (3x+1) = 7。