新型紧致WENO5格式
一种改进的紧致WENO混合格式
一种改进的紧致WENO混合格式武从海;赵宁;田琳琳【摘要】A conservative hybrid compact-WENO scheme,which is a weighted average of a fifth-order compact scheme and the WENO5 scheme,is introduced.The WENO scheme gets nonzero weight only near the discontinuities.An improved WENO weight which has better resolution for discontinuities and an improved weight of the two sub-schemes with better robustness are used here.For Euler system,the characteristic projection is only used on WENO scheme,so the good resolution for discontinuity of characteristic-wise WENO is kept with higher computational efficiency.Numerical results show that the new scheme has good resolution for complicated flow structure with a low computation cost.%给出了一种用于激波捕捉计算的守恒型混合紧致WENO格式.混合格式可视为五阶WENO格式和五阶守恒紧致格式的加权平均.在格式构造中,本文采用了间断分辨率更好的WENO权因子计算方法以及新的子格式权因子计算方法.对于Euler方程,仅对混合格式中WENO格式部分做特征投影处理,不仅获得了特征型WENO格式良好的间断分辨率,同时又保证了计算效率.数值实验验证了本文混合格式的高时间效率和高流场分辨率.【期刊名称】《空气动力学学报》【年(卷),期】2013(031)004【总页数】5页(P477-481)【关键词】高精度格式;紧致格式;WENO格式;混合格式【作者】武从海;赵宁;田琳琳【作者单位】南京航空航天大学航空宇航学院,江苏南京 210016;南京航空航天大学航空宇航学院,江苏南京 210016;南京航空航天大学航空宇航学院,江苏南京210016【正文语种】中文【中图分类】V211.30 引言自1992年Lele提出了一类紧致差分格式的构造方法后［1］，紧致格式受到研究者的广泛关注［2－4］。
非均匀结构网格上MUSCL和WENO格式的精度
非均匀结构网格上MUSCL和WENO格式的精度
刘君;刘瑜
【期刊名称】《气体物理》
【年(卷),期】2024(9)3
【摘要】基于一维均匀网格条件下构造的差分格式,在实际应用中须推广到非均匀或者曲线网格上,坐标变换过程引入几何诱导误差。
目前常用收敛解误差随着网格细化变化的精度测试方法评估差分格式的精度。
在二维柱坐标均匀网格上,采用1阶迎风、2阶MUSCL和5阶WENO计算流场参数为常数的自由流问题,按照精度测试方法比较收敛曲线斜率,发现1阶迎风的网格收敛精度是2阶的,5阶WENO 的网格收敛精度不到1阶。
理论分析表明,这种精度测试方法与差分格式精度定义不等价,而且所采用的数据无法反映差分格式的固有缺陷,因此,不能用来作为差分格式精度评价指标。
很多研究WENO的文献经常模拟双Mach反射问题、二维Riemann问题等经典算例,把接触间断是否演变成不稳定涡结构作为特征,理论上可以证明涡结构是非物理现象,因此用是否出现涡结构作为算法高精度的论据并不合适。
【总页数】11页(P66-76)
【作者】刘君;刘瑜
【作者单位】宁波大学机械与力学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O35
【相关文献】
1.一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式
2.二维非结构网格上的高精度有限体积WENO格式
3.一种非均匀网格上的高精度紧致差分格式
4.二维泊松方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式
5.非结构网格上求解二维H-J方程的一种WENO格式
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
【国家自然科学基金】_高精度差分格式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
改进型boussinesq方程 扩散方程 序列二次规划方法 平滑 差分逼近程度 差分方法 对流扩散反应方程 对流占优 完全匹配层(pml) 多重网格方法 多自由度系统 四阶紧致差分格式 吸收边界 叶片热传导 可压缩流 变分原理 单调迭代 半显式 加权本质无振荡(weno) 传统差分 传播子技术 中短波 中心格式 三维对流扩散方程 weno格式 sh波场 kelvin-helmhohz不稳定性 fourier分析
有限体积方法 有理谱配点法 显格式 新型高分辨率格式 数学基本格式 数值摄动高精度重构 数值反演 摄动有限体积格式 摄动差分格式 插值 控制容积积分法 指数时程差分法 强对流占优问题 并行算法 导热方程 奇异摄动 奇异分析 多重网格方法 多分辨分析 复杂流场计算 地震波 土壤湿度 吸收边界条件 各向异性 变系数 准p波方程 农业 元体平衡法 代数多重网格方法 交错网格 二阶投影法 二维小波 不可压缩流 不可压navier-stokes方程组 三阶迎风格式 三维小波 三维双调和方程 一致稳定性 weno格式 vti介质 vrs volterra型积分微分方程 vof tvd格式 schr(o)dinger方程 rtk-gps richards方程 pml吸收边界条件 navier-stokes方程 mmb差分格式 gps dlr型k-ε 紊流模型 cdma
高精度紧致差分格式综述
高精度紧致差分格式综述High-accuracy compact difference schemes are essential in computational fluid dynamics for accurately simulating complex fluid flow phenomena. These schemes provide a powerful tool for solving partial differential equations that govern fluid flow, heat transfer, and other physical processes. They are particularly useful in scientific research, engineering design, and industrial applications where precision and efficiency are paramount.高精度紧致差分格式在计算流体力学中是至关重要的，可以准确模拟复杂的流体流动现象。
这些格式为解决控制流体流动、热传递和其他物理过程的偏微分方程提供了强大的工具。
它们在科学研究、工程设计和工业应用中尤为有用，尤其是在精度和效率至关重要的领域。
One of the key advantages of high-accuracy compact difference schemes is their ability to achieve high spatial accuracy with fewer computational nodes compared to traditional finite difference methods. This makes them computationally efficient and allows for the simulation of complex flow phenomena with relatively low computational cost. Additionally, compact schemes are known fortheir ability to preserve important physical properties of the flow field, such as mass conservation, energy conservation, and the satisfaction of boundary conditions.高精度紧致差分格式的一个关键优势是相对于传统的有限差分方法，它们能够以较少的计算节点实现高空间精度。
SR-WD50 钻石微晶体肤面清洁肤肤紧致美容机说明书
User Manual SR-WD50PrefaceDear Users,We’re pleased to present to you our Diamond Microcrystalline Dermabrasion Skin Tightening Beauty Machine that mainly work on deep cleansing.Vacuum pressure technology can effectively remove dead skin cells,suck out blackheads,excess grease and other filth,therefore achieving the function of cleaning and dredging pores.It is a multifunctional beauty machine that targets at clogged pores,thick stratum corneum layer and inelastic skin.We aim at a safe and,at the same time,effective beauty result by using high-end technologies.Diamond Microcrystalline Dermabrasion Skin Tightening Beauty Machine is a facial skin care machine for professional use,which needs to be handled by professionals with proper training.Any improper use will result in adverse consequences.Therefore we advise any personnel read this guide thoroughly and follow the instructions strictly before operation.We believe our quality product will bring in good returns on your end.Also,you can count on our worry-free after-sales service. Thank you!Table of ContentsPrefacePart I IntroductionAdvantagesWorking Principles&TreatmentsDredging PoresPart II1.Detailed Operations2.Technical Parameters3.Safety Precautions4.Dos and Don’ts5.Troubleshooting&Solutions6.FAQs7.Packing List8.Operational DiagramsPart IBrief IntroductionMicrodermabrasion is currently the most popular beauty machines that work on deep cleaning pores.It’s an effective replacement of all the traditional facial cleaning programs in beauty salons.Moreover,they are convenient and easy to operate.It solves various skin issues for beauty-lovers.This equipment requires no injection,no medication,no operation,thus having no side-effects.It is used externally during the whole process and has an immediate effect.Microdermabrasion adopts vacuum negative pressure suction technology to reduce internal air pressure,thus effectively removing wasted cuticle layer,sucking out blackheads and excess oil and other pore garbage,in a way achieving free breathing circulation of skin,which can dredge pores, improve pores and brighten skin tone.Advantages1.It works effectively on your overall facial cleansing.2.Multiple diamond tips can be replaced in different parts according to different requirements.3.Special probes of microdermabrasion can improve varies skin problems and revivea clean face.4.Painless,non-invasive during the process.Skipping any recovery periods without affecting any work and life plans.5.No consumption,low cost and quick returns.6.Deep clean combined with improving skin and refining skin.7.Thoroughly cleanse the pores.Dredging PoresPrinciplesMicrodermabrasionThe use of special micro-carved tube,inlaid with different thickness of fine steel particles,by the way of back and forth friction,and with the strength of vacuum suction control force,the skin will shed a shallow layer of dead skin cells.It is non-invasive and physical.By removing dead skin cells from the surface of the skin, the regeneration ability and skin quality can be improved.After treatment,the skin will be slightly reduced,and the skin will become more smooth and tender.At the same time,combined with manual massage techniques also play an improving role in skin lifting.Physical EffectsVacuum negative pressure suction technology is adopted to reduce internal air pressure,which can effectively remove waste cuticle,draw out blackheads and excessive oil and other pore garbage.Also,it helps achieve free skin breathing circulation,which can dredge pores,improve large pore sizing and brighten skin tone.Effects1.Remove aged cuticle.2.Deeply clean skin and improve coarse skin.3.Dredge pores.4.Improve large pores.5.Effectively remove pores,acne,blackheads and mites.6.Deeply clean the pores and skin.Applicable Range1.Those with loose and inelastic facial skin.2.Those with clogged pores and thick cuticle layers.3.Those with dull skin.4.Those with coarse skin and large pores.5.Those with high turnover of oil secretion.Inapplicable Range1.Those with severely sensitive skin or those in allergic phase.2.Those with extensive facial trauma.3.Those who are pregnant and those suffering from serious heart disease,severe three H’s(hypertension,hyperlipidemia,hyperglycemia),serious diseases,etc.4.Those with skin diseases and infectious diseases.5.Those who have just received injection,such as hyaluronic acid,intradermal injection,wrinkle removal,or plastic surgery.Notes after Operation1.Wash your face with warm water within3days after operation.2.Strengthen hydration and pay attention to sun protection.3.Do not use stimulating skin care products including scrub,exfoliator and AHAs within one week after operation.4.Avoid staying up late,smoking and drinking,and eat more fruits and vegetables and less greasy food.Apply a hydrating mask once a day for three days.Part II1.Detailed OperationThe accessories of the device are as follows:1.1FunctionsPower SwitchStart/StopThe indicator of vacuum pressureTwist the knob to adjust the suction(It is advised to be20%~80%, it can be adjusted according to personal condition.The suction is not advised to be too big,otherwise it will cause red or purple marks.Twist the knob to the right to increase the suction and twist the knob to the left to decrease the suction).This is the Inhale,insert one end of the white rubber hose into the Inhale,and insert the other end into the handle.1.2Detailed Operation:MicrodermabrasionFix the black rubber ring to the handle.Cotton filter(It must be installed to filter dirt from entering the device and cause damage;Cleaning result can be seen on cotton filter).Install the diamond tip on the handle and tighten it.Twist off the cap on the other end of the handle,install the white rubber hose and twist on the cap.Fix the black rubber ring on the handle.Cotton filter(It must be installed to filter dirt from entering the device and cause damage;Cleaning result can be seen on cotton filter).Install the diamond tip on the handle and tighten it.Twist off the cap on the other end of the handle,install the white rubber hose and twist on the cap.The knob to adjust the suction2.Technical ParametersVoltage:220V-240V/50Hz100V-120V/60HzPower:50W3.Safety PrecautionsPlease consult your doctor or professionals before using the device if you have the following symptoms:1.Those who are pregnant or lactating.2.Those with heart disease or pacemaker equipped.3.Those whose wounds have not healed and who are recovering from the operation.4.Those with epilepsy,severe diabetes and hyperthyroidism.5.Those with malignant tumor,hemophilia or severe bleeding.6.Those with skin diseases and infectious diseases.4.Dos and Don’tse a grounding pin and make sure the power socket of the device is properly connected before each operation.2.Ensure that the voltage of the device is appropriate.If the voltage of the local power supply is unstable,we recommend that users increase to the matching power voltage.3.In order to ensure the therapeutic effect and normal service life expectancy of the device,please use the specified accessories provided or recommended by the original manufacturer.4.The device should not be placed in wet environment or near water,nor should they be directly exposed to sunlight.5.Do not place the device near a strong heat source,because this may affect the life and normal use of the device.6.Please restrain from using the device on eyes,thyroid,parathyroid,testicles, abdomen of pregnant women,and pacemakers.7.Patients who are suffering from illness should consult with a doctor and gain permission from the doctor before using.8.Please turn off the power switch of the device,and ensure that the total power supply of the device is turned off before the staff leaves after daily use,so as to ensure the safety of the electrical products.e device or train device operators in strict accordance with instructions in the user manual.10.Start from the lowest energy level and slowly add up.11.When using this device,the operating parts must be kept moist and dry skinshould be avoided.12.Avoid using on eyes and ear,around skin lesion or areas that went through plastic surgery.13.Adjust the vacuum suction pressure subjecting to the customers’comfort level accordingly when operating microdermabrasion.14.Clean the instrument with normal saline after operation to ensure its cleanliness and hygiene to prolong its service life.15.Make sure to install rubber ring when operating microdermabrasion setting to avoid no suction or weak suction.16.Make sure to install filter cotton when operating microdermabrasion setting to avoid filth being inhaled to the tube and damage the machine.5.Troubleshooting&Solutions1.The instrument can't start and the key lamp on the back of the instrument doesn't work?A.Ensure that the power cord is connected to a working power outlet.B.Ensure the fuse tube on the back of the instrument is not loose or being burnt.2.No spray coming from the hydro spray jet?A.Please check whether the nozzle is blocked.B.Please check whether the operation button of the spray bottle is loose.6.FAQs1.Q:Will the skin become thinner and more sensitive after microdermabrasion treatment?A:No.During the process,microdermabrasion operation is just to remove the skin aging cuticle.Our skin regenerates every28days,so it will only make the skin become more smooth,fine and glowing.Sensitive symptoms will not appear.2.Q:Why exfoliate?A:The cuticle is the layer above the epidermis where the cells are completely dead. Depending on your body,the cuticle consists of15to20layers of dead cells.Human skin has a metabolic cycle,which is normally28days.It is the metabolic cycle of people in puberty.For adults,the metabolic cycle should be the actual age+10.But due to various reasons,dead corneous cells may not fall off in time and bring about thick aging cutins.On the other hand,it also affects the color of skin,and the skin metabolism,so other method needs to be utilized when normal metabolic process won’t do the job by itself.3.Q:Can I wear makeup after using this instrument?A:Absolutely,the skin after treatment is moist and plump,makeup will actually last longer.This is a safe,healthy,quick and effective way of nursing without puncturing skin or leaving scars.4.Q:How long will it take to see results?A:After one treatment obvious results are shown,such as clean and translucent skin.It works even better on a continuous basis,improving skin problems such as dehydrating,darkening,fine lines and aging process in the deeper layers of your skin.5.Q:Is it dependent?A:No,this is for skin problems to improve and deeply clean the skin,which belongs to the maintenance and improving skin of malnutrition caused by other factors.It’s used to help skin absorb nutrition products,solve other issues such as dark,yellowish skin,water shortage,rough skin,wrinkled skin.Without the treatment you skin will only go back to secretion of its own and aging,therefore not dependence factor is involved.7.Packing List1X Diamond Dermabrasion Machine1X PVC vacuum hose 6*43X Stainless steel wands9X Diamond tips2X Cotton filter package (1big,1small)Additional connector,tube rings and fusesFull detailed English manual/instructions8.Operational DiagramParameterAdjustment Product Technique DiagramDredging Pores:30min,once/weekMicrodermabrasionenergy level:20%~80%Operate accordingto different skintypes of customers Makeup Remover+Face Wash+Blackhead Export Liquid+Base Mask+ 1.Remove makeup and clean face,5min.2.Apply blackhead export liquid+hot steam (on large pores or clogged area,and toner on cheeks;for sensitive skin it is not recommended to Technique 3(try the set energyon lower arm firstthen on face,meanwhile checkwith customersconstantly.)Cold and Hot Steam+Essence+Pure Water+Sheet mask do so but apply toner+cold steam)5-8min.3.Microdermabrasion operation Stay on forehead for one sec,then gently twist and leave itup in the air,one point to onepoint(forehead→nose→chin),5min.4.Operation on cheekStart from chin,and operatein dots then connects 3dotsin a line.Move in parallellines.End with temple,3min.5.Do the same on the otherside,3min.6.Wash face clean,2min.7.Apply sheet mask,15min.8.Clean the face,2min.9.Apply toner,serum,cream,and sunscreen.Technique 4Suggested Treatment:Once a week,if you are with the oily skin,you can do the whole-face operation;if you are with dry skin or sensitive skin,you can only operate at nose or clogged areas.。
几类weno-z型格式高效算法
几类weno-z型格式高效算法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!几类WENOZ型格式高效算法在计算数值解的过程中，高效的算法对于提高计算速度和精度至关重要。
利用5阶WENO格式求解一维Euler方程
被学者 广泛使 用 和研究 ， 尤其 是 ＪＡ Ｇ和 Ｓ Ｕ发 ＩＮ Ｈ
展 的 ＷＥ Ｏ 格 式 （ Ｅ ＯＪ ） Ｊ 它 的 加 权 因 子 Ｎ Ｗ Ｎ ． ¨， Ｓ
是一 种本质无 振 荡格式 ， 阶 ＷＥ Ｏ格 式在 复杂 高 Ｎ 流场计 算 中具有 重要 的地 位 ， 因此 对 ＷＥ Ｏ格式 Ｎ
第 ２ 第 ３期 ６卷
２１ ０ ０年 ６月
上
海
电 力 学 院
学
报
Ｖｏ ． ６．Ｎｏ ３ １． ２ ． Ｊｌ ｏ Ｓ ａ ｇ ａ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ Ｅｌｃｒ ｃ Ｐ ｗｅ ｏ ｒａ ｆ ｈｎ ｈｉ ｉｅ ｓｔ ｆ ｅｔ ｏ ｒ ｉ
收 稿 日期 ：２０ ０ ２ ０ ９— ６— ２
１ 控 制方 程
流体力学 无粘 流 动 的 Ｅ ｌ 方 程 是 典 型 的非 ｕｅ ｒ
Ｓ ｌ ｉ ｇ １ Ｅｕ ｅ ｕ ｔｏ ｉ ｇ Ｆｉｔ ｄ ｒ Ｗ ＥＮＯ ｃ ｍ ｅ ｏ ｖｎ Ｄ ｌ ｒ Ｅｑ ａ ｉ ｎ Ｕｓｎ ｆｈ Ｏｒ ｅ Ｓ ｈｅ ｓ
ＸＵ Ｌｉ
（ ｅｔ ｆＭａｈｍ ｔ ｓ ｎ ｈｓ ｓ Ｓａ ｇ ａ ｎ ｅ ｉ ＥｅｔｃＰ ｗ ｒ Ｓ ｎｈ ｉ ２０ ９ Ｃ ｉ ） Ｄｐ．ｏ ｔ ａｉ ｄＰ ｙｉ ， ｈ ｎ ｈ ｉ ｉ ￣ｔ ｏ ｌ ｒ ｏ ｅ， ｈ ｇ ａ ０ ００， ｈｎ ｅ ｃａ ｃ Ｕ ｖ ｙｆ ｃ ｉ ａ ａ
文 章 编 号 ：１０ ４ ２ （０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ６— ７ ９ ２ １ ）３— ３ ８— ３
利 用 ５阶 Ｗ Ｅ ＮＯ 格 式 求 解 一 维 Ｅ ｌ ｕｅ 程 ｒ方
徐 丽
２ ０９ ） ０ ０ ０
OpenCFD1理论手册
11 2
(非守恒形式 )
1 1 U f1 f2 f 3 Ei V1 V2 V3 E v t r r z r r z U [ , u, v, w, E ]T f1 [ u, u 2 p, uv, uw, u ( E p )]T f 2 [ v, vu, v 2 p, vw, v( E p)]T
第二章 基本方程
本软件采用差分法数值求解控制流动的可压缩 Navier-Stokes 方程组，对复 杂流动进行直接数值模拟。本软件目前支持直接坐标、柱坐标，球坐标及任意曲 线坐标。 直角坐标、柱坐标及球坐标系下的可压 Navier-Stokes 方程形式如下[1]：
1.1 直角坐标下的 N-S 方程
U f1 f2 f 3 V1 V2 V3 t x y z x y z
其中：
U [ , u , v, w, E ]T f1 [ u , u 2 p, uv, uw, u ( E p)]T f 2 [ v, vu, v 2 p, vw, v( E p)]T
复杂流动直接数值模拟软件 OpenCFD
理论手册
李新亮 傅德薰 马延文 中国科学院力学研究所 LNM
目录
上篇 : 理论手册 第一章：前言
第二章：基本方程 2.1 直角坐标下的 N-S 方程 2.2 柱坐标下的 N-S 方程 2.3 球坐标下的 N-S 方程 第三章：数值方法 3.1 流通矢量分裂 3.2 差分格式 3.3 边界条件 3.4 时间推进 第四章：并行处理 第五章：本软件的基本结构
第三章 3.1 流通矢量分裂
数值方法
对于无粘项，首先进行流通矢量分裂，将原先的无粘项分解为正通量和负通 量。然后再分别针对对正、负通量采用相应的差分离散（通常采用迎风格式） 。 与不进行矢量分裂，直接离散对流项（通常采用中心格式或谱方法等）相比，矢 量分裂后采用迎风差分格式具有更好的稳定性，同时能有效抑制混淆误差[2]。另 外对于含激波或间断的流动，流通矢量分裂后配合激波捕捉格式求解，可以有效 抑制数值解的非物理振荡，从而取得很好的计算效果。 下面介绍常用的 Steger-Warming 流通矢量分裂[1,3] ,软件 OpenCFD 采用这种 分裂方法。 设： f 1 f1 2 f 2 3 f 3 其中 f 1 , f 2 , f 3 为 3 个方向的流通矢量
一维Euler方程的特征有限体积格式
文章编号 :100020887 (2009) 0320291210 Ζ 应用数学和力学编委会 , I SSN 100020887Ξ一维 Euler 方程的特征有限体积格式郭 彦 , 刘儒勋(中国科学技术大学 数学系 ,合肥 230026)(周哲玮推荐)摘要 : 提出了一种用于求解一维标量方程和无粘 Eu ler 方程组的高阶有限体积格式 1 其中时间 离散采用 S imp son 数值积分公式从而实现时间上的高阶 1 利用特征线理论得到网格节点在各个时 间层沿着特征线的位置 ,而积分公式中的节点值通过三阶和五阶的中心加权本质无震荡重构得到 1 最后 ,给出了几个数值算例验证此方法的高精度和收敛性以及捕获激波的能力 1关 键 词 : 双曲方程 ; 有限体积方法 ; 特征理论 ; WE NO 重构 ; Rung e 2Ku tta 方法 中图分类号 : O241. 8 ;O352文献标识码 : A引 言当今求解流体动力学问题需要一些高精度的计算方法 1 最近几年已经提出很多高阶格式求解守恒型双曲方程组 ,这些格式一般都是基于高阶重构数值流通量来构造高阶格式 ,而通过 这种方法构造的高阶格式在光滑区域能够达到很高精度 ,但是在出现间断区域就会出现明显的数值震荡 1 高阶无震荡格式中具有代表性的格式是本质无震荡格式 ( E NO ) 1 22,加权本质无 震荡格式 (WE NO ) 3 和中心加权本质无震荡格式 ( C WE NO ) 4 25 1 还有其它高阶格式如最近所提出的 RK D G 有限元格式 6 ,激波捕获差分格式紧7 ,紧致格式8 ,分段有理方法 ( PR M ) 9和 CIP/ MM FV M 格式10 1 其中 ,CIP/ MM FV M 格式是通过对一维 E uler 守恒律方程运用特征线理 论 ,并沿着特征曲线求解 R iem ann 不变量的半 Lagrange 数值解 1 该格式主要利用节点值 ,单元 平均值和一阶导数值构建 3 次多项式 ,从而利用特征线理论所求出的节点位置代入所求的三 阶多项式就可以得到各个变量在节点的值 1 从格式分析及其数值结果中可以看到该格式具有 三阶精度 1本文对 E uler 守恒律方程组提出一种新的高阶有限体积格式 1 采用对时间积分进行 Sim p 2 son 积分公式离散得到时间上的高精度 1 我们运用 C WE NO 重构 4 25 得到的多项式和由特征方 程求得的节点位置得到有限体积格式中的各时间层沿特征线的变量的节点值 1 这种处理结合 特征线方法的高分辨率性质 、C W E NO 格式的高精度和本质无震荡性质 1 最后给出一些经典的 数值算例验证该格式的数值精度和格式的性质 1本文如下安排各节内容 : 第 1 节中 ,对一维的标量方程和欧拉方程组分别构造所提的格 式 ;第 2 节将该格式应用于一些经典算例 ,从算例中可以看出格式的高精度收敛性及其捕获激Ξ 收稿日期 : 2008207204 ; 修订日期 : 2009202212基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (10771134)作者简介 : 郭彦 (1982 —) ,男 ,安徽人 ,博士 (联系人 . E 2mail : g ysx @mail . ustc . edu. cn) .291292郭 彦 刘 儒 勋波的能力 1 最后对本文做简短的总结 11 数 值 方 法1 . 1 标量守恒方程本节考虑如下标量守恒方程 :u t + f ( u ) x = 0 ,其中 , u ( x , 0) = u 0 ( x ) 1为近似求解方程 (1) ,分别离散空间和时间并取步长 h (1)= Δx 和Δt , 记空间网格节点为 x i= x i - 1/ 2 , x i +1/ 2 ] 为空间剖分单元 ,, N , 时间层为 t n +1 = t n +Δt , 同时记 I i = i × h , i = 0 , x i +1/ 21 h∫x¯u in ≈ u ( x , t n) d x , i = 1 ,, N 为变量在时间 t n处的单元平均值 , 记 u n≈ u ( x , t n) , i =i i i - 1/ 2, N 为节点值 1 对方程 (1) 在单元片 I i ×[ t n , t n +1 ] 上积分可以得到如下公式 :0 ,n +1t1 h∫tn¯u n +1 n= ¯u i - , t ) ) ]d t 1 (2)[ f u (( xi +1/ 2 , t) ) - f ( u ( x ii - 1/ 2 由各变量在时间 t n 层处的单元平均值通过该方程求得在时间 t n +1 处的值 1 为得到方程 (2) 的 全离散形式 ,下面就要对时间积分进行离散 11 . 1 . 1 时间积分本文利用 Sim p s on 积分公式对方程 (2) 进行时间离散实现时间上的高精度3d t d x 6^ ^ ¯u n +1nn n= ¯u i- N l [ f ( u ( x i +1/ 2 , t + βl d t ) ) - f ( u ( x i - 1/ 2 , t + βl d t ) ) , (3)i l = 1^其中 , N = ( 1/ 6 , 2/ 3 , 1/ 6) T 为权 ,β = ( 0 , 1/ 2 , 1) T 为积分节点 1 u 为所求变量的节点值 11. 1 . 2 网格点位置类似 CIP/ MM FV M 10,我们运用半 Lagrange 方法求解如下特征方程 ,从而得到节点沿特征线的位移 :d x ′ = f ( u ) 1 (4)d t求解该方程有很多方法 1 本文分别采用四阶 Runge 2K utta 方法和中点方法求解该特征方程 1四阶 Runge 2K utta 方法求解单元边界点沿特征线在时间 t n +1 处的位置 `x j +1/ 2 可以表示为4x n +1 = x n+ d t6 bkg ,( k )(5)k = 1其中 , b = ( 1/ 6 , 2/ 6 , 2/ 6 , 1/ 6) , g ( k) 是 Runge 2K utta 通量逼近 1g (1)g(2) g (3)g (4)f ′( u ( t n , x n ) ) ,f ′( u ( t n+ d t / 2 , x n+ d t / (2 g(1)) ) ) ,f ′( u ( t n + d t/ 2 , x n + d t/ (2g (2) ) ) ) , f ′( u ( t n + d t , x n + d t g (3) ) ) 1= -= - = - = - 类似得到单元边界点在时间 t n +1/ 2 处沿特征线方向位于时间 t n 处位置 `x j +1/ 24xn +1/ 2= x n+ d t6B k g,( k )(6)k = 1其中 , B = (5/ 24 , 4/ 24 , 4/ 24 , - 1/ 24) 1为运算简单 ,我们也可以采用中点格式来计算时间 t n +1/ 2 和 t n +1 处的网格点 `x j +1/ 2 沿特征一维 Eu ler 方程的特征有限体积格式293线落在时间 t n层的位置 1 仅介绍时间 t n +1/ 2处的处理方法 1 度在 t n 处的线性插值形式速度 u 在时间 t n +1/ 2 可以写成速u j +1/ 2 (1 - ξ) + u j - 1/ 2ξ,(7)u η = 从而可以得到单元边界格点 x j +1/ 2 在时间 t n 处的位移为u j +1/ 2Δt / 2ξΔx (8)(Δ(Δ- u ) j +1/ 2 j - 1/ 2 从而得到单元格点 `x j +1/ 2 在时间 tn +1/ 2处的位置 ( x j +1/ 2 - ξΔx ) 1 1. 1 . 3 节点值的重构为得到高阶无震荡格式 ,本文分别采用三阶和五阶中心加权本质无震荡格式 4 25来对各变量的节点值进行重构 1 这里仅简要介绍五阶本质无震荡格式4 25 1在模版 I j - 2 , I j - 1 , I j , I j +1 , I j +2 上 引 入 四 阶 最 优 多 项 式 u o ( x ) , 并 将 其 定 义 为 u o ( x ) =5 6 x i ) i - 1 1 为了得到本质无震荡格式还需要构造 3 个二阶多项式 1 类似 u o ( x ) 定3a oi - 1( x - i = 16 义 ,首先构造 3 个一般的二阶多项式为 : 在模板3I j - 2 , I j - 1 , I j 上定义 u 1 ( x) =a 1i - 1( x -i = 16 x i )i - 1, 在模板3x i ) i - 1 , 在模板 I j - 1 , I j , I j +1 上定义 u 2 ( x) =a 2i - 1( x - I j , I j +1 , I j +2 上定义i = 16 x i ) i - 1 1u 3 ( x ) =a 3i - 1 ( x -i = 1上面定义的 4 个多项式都满足下面的关系 :∫Iu ix d x = Δx ¯uj + k ,( ) ( ) 9j + k其中 ,当 i = 0 时 , k ∈ - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 ; 当 i = 2 时 , k ∈ - 2 , - 1 , 0 - 1 , 0 , 1 ; 当 i = 3 时 , k ∈ 0 , 1 , 2 1 这 4 个多项式的系数由文献 4 25 ; 当 i = 1 时 , k ∈可以得到 1 为得到中心加权本质无震荡格式 ,需要引入非线性权 ,首先定义中心多项式 u c ( x ) , 而上 面定义的多项式满足关系u o ( x ) =6 Cj×u j ( x ) 1(10)j由该式可以得到五阶的中心多项式为u c ( x ) = ( u o ( x ) - C 1 u 1 ( x ) - C 2 u 2 ( x ) - C 3 u 3 ( x ) ) / C o ,(11)其中 , 6 C j = 1 , j ∈ o , 1 , 2 , 3 , 同样本文也取 C 1 = C 3 = 1/ 8 , C 2 = 1/ 2 1j由上面所得到的 4 个多项式 u k ( x ) , k 质无震荡方法引入下面关系式 :∈ c , 1 , 2 , 3 可以定义本质无震荡权 1 类似加权本 2xl = 1∫x i +1/ 2IS i =6 h 2 l - 1 ( u ( l ) 2d x ,k = c , 1 , 2 , 3 1 (12)) k k i - 1/ 2整理可以得到 IS i为kIS i = a 2 Δx 2 + ( 13/ 3) a 2 Δx 4+ O (Δx 6) , (13)k k 1 k 2 其中 , k ∈ 1 , 2 , 3 1对中心多项式 u c ( x) , 可以定义 IS i 为c IS i = a 2Δx 2 + ( (13/ 3) a 2 + ( 1/ 2) a a )Δx 4 + O (Δx 6) 1 (14)c c1 c2c1 c3294郭 彦 刘 儒 勋由式 (13) 和 (14) 可以定义本质无震荡权αk C kωk , αk =(15)= 2 ,i 6(ε + IS k ) αpp ∈ c , 1 , 2 , 3其中 , k ∈ c , 1 , 2 , 3 1 对于不同的算例以及不同网格剖分取不同的小量 ε1在上 面 所 得 到 的 本 质 无 震 荡 权 的 基 础 上 可 以 定 义 单 元 c , 1 , 2 , 3 的凸组合 R j ( x )R i ( x ) = ωc u c ( x ) + ω1 u 1 ( x ) + ω2 u 2 ( x ) + ω3 u 3 ( x ) 1详细的中心本质加权无震荡构建可以参见文献 5 1 I i 上 多 项 式 u k ( x ) , k ∈ (16) ^^从而节点值 u ( x i +1/ 2 , t n + d t ) 和 u ( x i +1/ 2 , t n + d t / 2) 可从上面中心加权本质无震荡重构的 多项式 R i ( x ) 得到^ ^ u ( x i +1/ 2 , t n + d t ) = R i ( x n +1) , u ( x i +1/ 2 , t n+ d t / 2) = R i( x n +1/ 2) 1(17) 下面给出由时间 t n 层的各变量单元平均值 ¯u n 求解下一时间层的值 ¯u n +1 的算法 1i i 算法 :给定时间 t n 层处的单元平均值 ¯u n 计算下一时间层处的值i 1) 计算多项式 u k ( x ) 的系数并计算权 ωk , k ∈ c , 1 , 2 , 3 在 t n层的值 ;2) 由式 (5) 和 (6) 分别计算单元边界 x n +1 和 x n +1/ 2在时间层 t n +1 和 t n +1/ 2 沿特征线落在时间层 t n 的位置 ;^3) 利用式 (16) 计算 u ( x i +1/ 2 , t n+ βl d t ) 并计算方程 (2) 的右端项 ; 4) 由方程 (2) 计算下一时间层单元平均值 ¯u n +1 1 i 1 . 2 Euler 方程组本节将前面所提出的格式运用到一维无粘 E uler 守恒方程组 1 首先考虑如下一维无粘守 恒 E uler 方程组5 U 5 F(18)= 0 ,5 t + 5 x其中ρu ρu 2 + pρρu1U = , F =Eu ( E + p )其中 , U 为守恒变量向量形式 , F 为无粘通量 1 分别记密度为 ρ, 速度为 u , 压力为 p , 总能量为 E 且有关系式 E = p/ (γ - 1) + ρu 2/ 2 , 其中 γ = 1 . 4 1 1. 2 . 1 一维 E uler 方程的数值格式类似与构造一维标量守恒方程的格式 ,由下式得到单元平均值在下一时间层的值 U ¯n +1: i3d t ^ ^ U ¯n +1n d x 6n n = U ¯i- N l [ F ( U ( x i +1/ 2 , t + βl d t ) ) - F ( U ( x i - 1/ 2 , t + βl d t ) ) ] 1 (19)il = 1设 V = (ρ, u , p ) T 为原始变量的向量形式 ,方程 (18) 可以改写为5 V 5 V+ A p 5 x= 0 ,(20)5 t 其中ρ 0u 0 u 1/ ρ 1A p = 0 γpu一维 Eu ler 方程的特征有限体积格式295由原始变量得到的方程 (20) 是非守恒方程 1 设 c 为声速且记 c = γp/ ρ, 则 A p 的特征值为λ1 = u - c ,λ2 = u ,λ3 = u + c1 相应与这些特征值的右特征向量 ,左特征向量和特征矩阵分别 为 1/ (2 c 2) - 1/ c21/ (2 c 2) λ1λ2 0 00 λ31 - c / ρ c 210 1 010 - ρ/ ( 2 c )0 ρ/ (2 c )c/ ρ , Λ =1R p =, L p = c 2从而方程 (20) 的特征形式可以重写为5 V 5 V L p + ΛL p5 x = 0 1(21)5 t 线性化特征矩阵可以将方程 (21) 化为ρ 1 d x 2 c d u - 2 c2 d p = 0 , l 1 ( X 0):= λ1 = u - c , d t d ρ - 1 d p = 0 , l 2 ( X 0) : d x = λ2 = u , c2 d tρ 1 d x l 3 ( X 0) : d t = λ3 = u + c1 2 c d u + 2 c2 d p = 0 , 原始变量在 X 0 处的值可以由下面的式子得到 , 其中 X ( l k ) ( k = 1 , 2 , 3) 为单元边界格点分别在 时 间 t n 和 t n +1 沿特征线 l k ( k = 1 , 2 , 3) 落在时间 t n 处的位置 1 对每条特征线来说 ,这里求解节 点落在前一时间层位置的方法类似求解标量守恒率方程中求解的方法 1 从而通过求解线性方程就可以沿特征线求解 (ρ, u , p ) 为=1 ( U ( X ( l 1) ) + U ( X ( l 3) ) + 1( P ( X ( l 3) ) - P ( X ( l 1) ) ) ) ,u ( X 0) ρc2 = 1( P ( X ( l 1) ) + P ( X ( l 3) ) + ρc ( U ( X ( l 3) ) - U ( X ( l 1) ) ) ) , p ( X 0) 2= R ( X ( l 2) ) + 1( p ( X 0) - P ( X ( l 1) ) ) ,ρ( X 0) c2 其中 , R ( x ) , U ( x ) 和 P ( x ) 分别表示为ρ, u 和 p 的近似 , 这3 个节点值都可以用中心加权本 质无震荡重构得到 1 这里的重构类似与求解标量方程的重构 R i ( x ) 求解节点值 (17) 1算法 :给定时间 t n 层处的单元平均值ρ¯n ,ρ¯u n 和 ¯E n 计算下一时间层的单元平均值ρ¯n +1,ρ¯u n +1 和 i i i i i ¯E n +1 ;1) 利用时间 t n 层的单元平均值ρ¯n,ρ¯u n 和 ¯E n 计算 ¯u n 和 ¯p n ;iiiiii2) 计算在时间 t n处多项式 R k ( x ) , U k ( x ) , P k ( x ) 的系数和权 ωk , k = c ,1 ,2 ,3 , R i ( x ) = ωc R c ( x ) + ω1 R 1 ( x ) + ω2 R 2 ( x ) + ω3 R 3 ( x ) , U i ( x ) = ωc U c ( x ) + ω1 U 1 ( x ) + ω2 U 2 ( x ) + ω3 U 3 ( x ) ,P i ( x ) = ωc P c ( x ) + ω1 P 1 ( x ) + ω2 P 2 ( x ) 3) 利 用 式 ( 5) 和 ( 6) 计 算 单 元 边 界 点 在 时 间 + ω3 P 3 ( x ) ;t n +1 和 t n +1/ 2 沿 特 征 线 落 在 t n 层 的 位 置 X ( l k ) n +1 和 X ( l k ) n +1/ 2 ( k = 1 , 2 , 3) 类似式 (5) 和 (6) , 其中式子中的特征值分别替换为λ1 ,λ2 和λ3 ;^4) 利用方程 (16) 和 (19) 的右端项可以得到单元节点值 U ( x i +1/ 2 , t n+ βl d t ) ; 5) 最后利用方程 (19) 计算下一时间层的各变量单元平均值 U ¯n +1 1 i296郭 彦 刘 儒 勋2 数 值 结 果本节主要将本文所提出的格式运用到一些一维的算例 1 首先将该格式运用到经典的线性 ,非线性 Burgers 方程和一维欧拉方程的密度扰动问题检验该格式的精度和收敛性 1例 1 求解如下线性标量方程 :u t + u x = 0 ,(22)分别给出两个初值条件 u ( x ,0) = sin (πx ) 和 u ( x ,0) = sin 4 (πx ) ,考虑以 2 为周期的边界条件 1 两种初值都计算到时间 t = 10 1 第一个初始条件下的精度和收敛性可以由表 1 得到 1 从表 1 可以看到该格式几乎可以得到理论上的三阶和五阶精度且收敛性也是比较好的 1 对于初始 = sin 4 (πx ) 可以得到类似的结论 1u t + u x = 0 , u ( x , 0) = sin (πx) 的精度和收敛性 ( t = 10)条件 u ( x , 0) 表 1e L 误差1O L 阶1e L 误差∞O L 阶∞方法n10 2 . 31 E - 01 3 . 13 E - 01206 . 58 E - 02 1 . 81 1 . 47 E - 01 1 . 10 4080 7 . 52 E - 034 . 00 E - 04 3 . 134 . 23 2 . 00 E - 021 . 25 E - 032 . 904 . 00 3 阶160 3 . 97 E - 05 3 . 33 8 . 71 E - 05 3 . 80 320 4 . 98 E - 06 3 . 008 . 61 E - 06 3 . 341020 3 . 72 E - 021 . 77 E - 03 6 . 22 E - 023 . 22 E - 034 . 39 4 . 27 405 . 71 E - 05 4 . 96 1 . 11 E - 04 4 . 86 5 阶80160 1 . 81 E - 065 . 70 E - 08 4 . 984 . 99 3 . 54 E - 061 . 09 E - 07 4 . 975 . 03 3201 . 79 E - 095 . 003 . 37 E - 095 . 02u t + ( u 2 / 2) x = 0 , u ( x , 0) = 0. 5 + sin (πx ) 的精度和收敛性 ( t = 0. 5/π) 表 2e L 误差1O L 阶1e L 误差∞O L 阶∞方法n102040 5 . 13 E - 021 . 76 E - 021 . 69 E - 03 1 . 62 E - 019 . 37 E - 021 . 08 E - 02 1 . 553 . 38 0 . 793 . 12 3 阶80160320 1 . 12 E - 041 . 06 E - 051 . 29 E - 06 3 . 913 . 403 . 048 . 18 E - 041 . 04 E - 041 . 32 E - 053 . 722 . 972 . 9810 1 . 47 E - 02 7 . 73 E - 022040801 . 32 E - 031 . 03 E - 044 . 71 E - 06 3 . 483 . 694 . 45 1 . 46 E - 021 . 43 E - 036 . 61 E - 05 2 . 413 . 354 . 445 阶1601 . 73 E - 07 4 . 762 . 12 E - 06 4 . 96 3206 . 18 E - 094 . 804 . 97 E - 085 . 42例 2 数值求解如下非线性方程 :一维 Eu ler 方程的特征有限体积格式297u 2= 0 , (23) = 0. 5/π时解仍为光滑u t + 2x其中 ,初值为 u ( x , 0) = 0. 5 + sin (πx ) , 以 2 为周期 1 当数值求解到 t 解 1 表 2 给出数值解的 L 1 和 L ∞ 误差估计 ,同时给出收敛性情况 1 从该表格中同样可以得到 理论中的三阶和五阶精度并且可以看出格式的收敛性 1 随着时间的增加数值解出现激波现 象 ,该格式也能较好地捕捉到激波 1例 3 E uler 方程的密度扰动问题11本例考虑 E uler 方程组 (18) 1 为了得到所提格式对 E uler 方程的收敛性以及精度分析 ,我们考虑初始条件为 ρ( x , 0) = 1 + 0 . 2sin (πx ) , u ( x , 0) = 1 , p ( x , 0) = 1 , 同样取以 2 为周期的 边界条件 1 E uler 方程在此初值条件下的真解为 :ρ( x , t ) = 1 + 0. 2sin (π( x - t ) ) , u ( x , t ) = 1 , p ( x , t ) = 1 1 由本文格式所得到的数值解在时间 t = 2 时密度的 L 1 和 L ∞误差从表 3 可以看到 1 由此表可以看出三阶和五阶格式都能达到理论阶 ,数值上得到格式的收敛性 1 另外通过 所得到数值信息可以得出 :本格式与本质加权无震荡和中心加权本质无震荡格式所得到的精 度阶和收敛性具有类似的效果 1表 3初始密度 ρ0 = 1 + 0. 2sin(πx ) , 初值速度压力 u 0 = p 0 = 1 的精度和收敛性e L 误差1O L 阶1e L 误差∞O L 阶∞方法n10 1. 185 E - 02 3 . 41 E - 02201 . 39 E - 03 3 . 09 4 . 23 E - 03 3 . 01 4080160 1 . 79 E - 042 . 40 E - 053 . 14 E - 06 2 . 962 . 902 . 94 4 . 02 E - 044 . 33 E - 055 . 21 E - 06 3 . 403 . 213 . 06 3 阶320 3 . 98 E - 07 2 . 986 . 41 E - 07 3 . 0210201 . 99 E - 031 . 25 E - 04 6 . 53 E - 033 . 36 E - 04 3 . 99 4 . 28 40 4 . 42 E - 06 4 . 82 1 . 10 E - 05 4 . 93 5 阶801603201 . 47 E - 074 . 75 E - 091 . 45 E - 104 . 914 . 955 . 033 . 22 E - 078 . 93 E - 092 . 55 E - 105 . 095 . 175 . 13下面 3 个数值算例用来考察该格式对激波的捕获能力 1例 4 Lax 问题12考虑 Lax 激波管问题 ,这种问题是由方程 (18) 在下面初值条件下所得到的物理现象 :(0. 445 , 0 . 698 , 3 . 528) , (0. 5 , 0 , 0 . 571) ,- 5 ≤ x ≤0 ,0 < x ≤5 1(ρ, u , p ) =本文所提格式所得到的时间 t = 1. 3 时数值解与 C WE NO 格式得到的数值解 5和解析解 的比较可以从图 1 中观察到 1 由图 1 可以看到 ,在网格数为 n = 200 时 ,该格式所算的数值结 果有一些震荡 ,但是 ,当我们继续加密网格时 ,就能明显地看到震荡在逐渐变弱 1 在引入本质 无震荡权抑制震荡的同时 ,该格式还是能较好地捕获到激波现象 1 将此数值结果与中心加权 本质无震荡的格式 C WE NO 和 UW E NO 5 得到的数值结果相比较 ,可看到在抑制震荡方面本格 式要好一些 ,能得到较为准确的数值解 1298郭 彦 刘 儒 勋(a ) 密度 ( b ) 速度 (c ) 压力( d ) 密度 (e ) 速度 (f ) 压力图 1 Lax 问题在 t = 1. 3 时的密度 、速度 、压力的数值解和解析解的比较 (网格数为 n = 200 1上排图为本文所提格式 ( G CF L = 0. 5) ,下排图为 C WE NO 格式 ( G CF L = 0. 5 )例 5 S od 问题13同样考虑 E uler 方程 (18) 1 该方程的解由 3 部分组成 1 我们考虑下面初值条件 :(1 , 0 , 1) ,( 0. 125 , 0 , 0 . 1) ,- 0. 5 ≤ x ≤0 ,0 < x ≤0. 5 1(ρ, u , p ) =在时间 t = 0. 2 处的数值解与真解的比较可以从图 2 观察到 1 通过与真解比较可以得出 该格式 ,能较好捕获激波位置 ,并且在间断处与真解也能较好的吻合 1 图 2 给出的是 n = 200 时的数值结果 ,可以看出此时还是有一点震荡 ,但是随着网格的进一步加密震荡会减弱 1 这些 数值结果与其它的高阶方法特别是本质无震荡型方法所得到的结果一致 1(a ) 密度 ( b ) 速度 (c ) 压力图 2 So d 问题在 t = 0. 2 时的密度 、速度 、压力 (网格数为 n = 200 )例 6 激波相互扰动问题2本例依然考虑方程 (18) 在下面初值下的数值模拟结果 :一维Eu ler 方程的特征有限体积格式299(3. 857 148 , 2. 629 369 ,10 .333 333) ,(1 + 0. 2sin (5 x) , 0, 1) ,- 5 ≤x ≤- 4 ,- 4 < x ≤5 1(ρ, u , p) =图3 给出在时间t= 1. 8 时数值结果与由五阶中心加权本质无震荡格式,在网格数为2 000的情形下所得到的“真解”1 同别的一些高阶格式类似,本格式也不能较好地模拟激波下游正确的流动特征1 但是,随着网格地加密数值结果也是会更接近真实解1(a) 密度( b) 速度(c) 压力图3 激波交互扰动问题在t = 1. 8 时的密度、速度、压力(网格数为n = 400 )3 总结本文运用特征线理论,结合中心加权本质无震荡插值思想,对一维的双曲守恒律方程提出一种新的有限体积格式1 通过算例可以发现所提格式能较准确的给出数值解,通过对几个经典的例子的数值求解,可以得出所提出的三阶和五阶格式在光滑区域能达到理论阶,在间断处仍然保持本质无震荡的性质1 该方法所得到的数值解既保持WE NO 格式的本质无震荡性的优点,同时,相对与已有的一些的WE NO 和C W E NO 格式,该格式又体现出特征线方法的分辨率高的优点1[ 参考文献]S h u C W , Os h e r S .Efficie n t i m p le m e n t a ti o n of es s e n tially no n2os c illat o ry s h oc k cap t u ri n g s c h e m esJ . J Comp u t Ph ys , 1988 , 77 (2) :4392471.S h u C W , O s he r S . E fficie n t i m p le m e n t a ti o n o f es s e n tially no n2os c illat o ry s h oc k cap t u ri n g s c h e m es ⅡJ . J C o mp ut Phys , 1989 , 83 (1) :32278.[1 ][ 2 ][ 3 ] J Co mp ut Phys , 1996 , 126 J ia n g G , S h u C W. E fficie n t i m p le m e n t a ti o n of w e ight e d ENO s c h e m es J .(1) :2022228.[ 4 ] Levy D , Pup o G , Rus s o G. Comp a ct ce n t r al W E NO s c h e m es f or m ulti d i m e n si o nal c o ns e r vati o n laws J . SIAM J Sci C o mp ut , 2000 , 22 (2) :6562672.Cap deville G. A ce n t r al W E NO s c h e m e f or s o lvi n g hyp e r b olic c o ns e r vati o n laws on non2unif o r mmes hes J . J C o mp ut Phys , 2008 , 227 (5) :297723014.陈荣三. 大密度和大压力比可压缩的数值计算J . 应用数学和力学, 2008 , 29 (5) :6092617.涂国华, 袁湘江, 陆利蓬.激波捕捉差分方法研究J . 应用数学和力学, 2007 , 28 (4) :4332440.HU J un , G UO S h a o2ga n g . S o l u ti o n t o Eule r equati o ns by high2res ol u ti o n u p w i n d c o mp a ct s c h e m e [ 5 ][ 6 ][ 7 ][ 8]I n te r n a t J N u m e r Met h Fl u i ds , 2008 , 56 (11) :213922150.bas e d o n fl u x sp litti n g J .[ 9 ] Xia o F , P e n g X. A c o nve x it y p res e r vi n g s c h e m e f or c o ns e r vative a d vecti o n t r a n sp ort J . J C o mp ut Ph ys , 2004 , 198 (2) :3892402.300郭 彦 刘 儒 勋Ii S , Xiao F . CI P / m ulti 2mome n t fi n it e vol u me met h o d f or Eule r equati o ns :A s e m i 2Lagra n gia n c h a r ac 2 [ 10 ] J Co mp ut Phys , 2007 , 222 (2) :8492871.t e r is t ic f or m ulati o n J .[ 11 ]Qi u J , S h u C W. He r m it e W E NO s c h e m es a n d t h eir app licati o n as li m it e r s f or Runge 2Kutt a dis c o nti n 2 uo us Gale r k i n met h o d : o ne di m e n si o nal cas e J . J Co mp ut Phys , 2004 , 193 (1) :1152135.La x P D . Wea k s o l u ti o ns o f nonli n ea r hyp e r b olic equati o ns a n d t h eir n ume r ical c o mp ut a ti o n J . Com m u n P u r e Appl Ma t h , 1954 , 7 (1) :1982232.S o d G. A s urvey of s e ve r al fi n it e diff e r e n ce met h o ds f or s y s t e m s of non 2li n ea r c o ns e r vati o n laws J . J Comp u t Ph ys , 1978 , 27 (1) :1231.[ 12 ] [ 13 ]C h a r a c t e r i s t i c 2B a s e d Fi ni t e Vol u m eS c h e m e f o r 1D E u l e r E q u a t i o n sGUO Y a n , LIU Ru 2x u n( Dep a r t m e n t of Ma t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f Sci e n ce a n d Tech n o logy of Chi n a ,Hef e i 230026 , P. R. Chi n a )A b s t r a c t : A high 2or d e r fi n it e 2vol u me s c h e m e w a s p res e n t e d f or t h e o ne 2di m e n si o nal s c ala r a n d i n vis 2 ci d Eule r c o ns e r vati o n laws . The Si m p s o n ’s qua d rat u re r u le w a s us e d t o ac h ieve high 2or d e r acc u racy i n ti m e . To g et t h e p o i n t val u e of t h e Si m p s o n ’s qua d rat u re , t h e c h a r act e r is t ic t h e o ry w a s us e d t o o b 2 t a i n t h e p ositi o ns o f t he gri d p oi n ts at eac h s ub 2ti me s t ages al o ng t he c h a ract e r is t ic c u rves , a n d t h e t h ir d 2or de r a n d fif t h 2or de r ce n t ral w eight e d es s e ntially non 2os c illat o ry ( C W E NO ) rec o ns t r u cti o n w a s a dop t e d t o es t i mat e t he cell p o i n t val ues . Seve ral s t a n da r d one 2di me n si o nal e xa m p les w e r e u s e d t o ve r if y high 2or d e r acc u racy , c o nve r ge n ce a n d cap a b ilit y o f cap t u ri n g s h oc k .Ke y w o r ds : hyp e r b olic equati o n ; fi n it e vol u me met h o d ; c h a r act e r is t ic t h e o ry ; W E NO rec o ns t r u cti o n ;Runge 2Kutt a met h o d。
可压缩平板边界层转捩的大涡模拟
为了解释小涡无序化的过程，文献［1］最先提出了高剪切层的概念。文献［2］采用直接数值模拟精确计算了槽道内层流向湍流发展的全过程。文献［3］采用大涡模拟（Large eddy simulation，LES）方法观察了自然转捩过程中Tollmien-Schlichting（T-S）波的增长。文献［4～7］通过直接数值模拟方法研究了边界层自然转捩过程，并对转捩晚期的涡系结构的演化进行了深入研究，发现了发卡涡、U型涡、桶型涡等多种涡结构形式，探讨了次生流向涡的生成机理。文献［8］则分析了直接数值模拟结果与实验结果之后，确定了T-S波感受性问题以及其非线性发展阶段对转捩的影响。
关于平板层流转捩过程也有众多的学者进行了大量的实验研究。这些研究不仅实现了边界层流动的可视化，并且对涡系结构的空间发展进行了描述。文献［9］通过实验研究观测了三维非线性波包、发卡涡、二次涡环以及涡链的形成过程。文献［10］实验研究发现边界层转捩晚期可以分为H型和K型两种扰动，尽管它们的涡结构有着不同的空间排列方式，但它们的涡系演化规律在转捩的后期是相似的。
2.2 进口边界条件
入口边界条件为二维布拉修斯相似解，叠加设定的T-S扰动波，具体形式为
式中：q1am为二维层流平板边界层的布拉修斯相似解，扰动为一个二维T-S波（方程（5）右边第2项）和一对三维T-S波（方程（5）右边第3项），这里通过求解可压缩平板边界层的线性稳定性方程，分别得到了二维扰动和三维扰动的特征值和特征扰动形状函数；A2d和A3d为扰动振幅；q′2d和q′3d为相应的扰动形状函数（特征向量）；α，β，ω分别为扰动波的流向波数、展向波数和频率。
【国家自然科学基金】_激波分辨率_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
科研热词 迎风格式 计算效率 自适应 网格适应性 激波分辨率 多小波 weno格式 tvd格式 lu-sgs隐式算法 euler方程 ausmpw格式 ausm+复合格式
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
科研热词 激波 weno格式 高超声速 非定常流动 自适应 纳米示踪 精细结构 直接数值模拟 熵相容格式 熵守恒格式 热流 激波-旋涡相互作用 测量 模板集合 日冕物质抛射 无网格方法 数值耗散 数值格式 并行计算 平面激光散射 子模板 太阳耀斑 太阳射电 声波 可压缩各向同性湍流 双曲守恒律 半离散 动态点云 三阶优化龙格库塔方法 riemann问题 npls mweno格式
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2011年 科研热词 黎曼问题 高超声速 限制器 间断侦测器 间断galerkin有限元 通量分裂 行星际磁场南向分量 磁暴 激波与边界层相互作用 涡结构 数值粘性 弹塑性应力波 太阳风密度 太阳风动压 weno格式 weno:分离 taylor展开 sph godunov格式 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
新型紧致WENO5格式
新型紧致WENO5格式概述新型紧致WENO5格式是一种高效的数值解法，常用于求解一维守恒型偏微分方程的数值模拟。
该格式结合了WENO（Weighted Essentially Non-Oscillatory）和紧致格式的优点，能够在保持精度的同时降低计算成本。
本文将介绍新型紧致WENO5格式的原理、特点和应用，并对其性能进行分析。
原理新型紧致WENO5格式是在WENO5格式的基础上增加了紧致格式的修正项，以提高数值解的精度和稳定性。
WENO格式在高阶精度上表现出色，但在高频区域可能产生振荡，而紧致格式在低阶精度上表现相对稳定。
新型紧致WENO5格式通过将WENO5格式与紧致格式相结合，克服了二者各自的缺点，既提高了精度，又降低了振荡。
特点新型紧致WENO5格式的主要特点包括以下几个方面：1. 高精度：WENO5格式在光滑区域能够达到五阶精度，具有很好的数值解析度，能够准确捕捉细微的流动结构。
2. 低振荡：通过引入紧致格式的修正项，新型紧致WENO5格式在高频区域能够有效抑制振荡，提高了数值解的稳定性。
3. 适用范围广：新型紧致WENO5格式适用于各种类型的守恒型偏微分方程，包括Euler 方程、Navier-Stokes 方程等，具有很好的通用性和适用性。
应用新型紧致WENO5格式在科学计算和工程仿真领域有着广泛的应用，特别适用于流体力学、燃烧动力学、材料科学等领域的数值模拟。
以下将介绍该格式在流体力学中的具体应用。
1. 空气动力学在航空航天领域，流体力学模拟是一项关键技术，涉及到飞机、导弹等器件的气动设计和性能评估。
新型紧致WENO5格式能够准确模拟湍流流场和激波等复杂现象，为飞行器的气动设计提供有力支持。
2. 燃烧动力学在燃烧动力学领域，燃烧模拟是一项重要的研究内容，对汽车发动机、火箭推进器等燃烧设备的性能分析和优化具有重要意义。
新型紧致WENO5格式能够准确模拟燃烧过程中的湍流传热和化学反应，为燃烧设备的设计和燃烧效率的提升提供了重要支持。
Richtmyer-Meshkov不稳定性强化混合参变机理
Richtmyer-Meshkov不稳定性强化混合参变机理王兵;卢梦【摘要】在不同参数条件下，计算分析了H2O和N2等混合物界面上激波诱导Richtmyer-Meshkov（R—M）不稳定性过程．采用有限差分方法数值求解了二维可压缩Navier-Stokes方程，对流项以5阶特征紧致．WENO混合格式离散，输运项以6阶对称紧致格式离散，时间方向以3阶显式Runge—Kutta方法推进．研究表明，界面振幅和激波强度增大，均可增强界面附近涡量场，强化混合．【期刊名称】《气体物理》【年(卷),期】2016(001)006【总页数】17页(P5-21)【关键词】激波加速界面;紧致格式;激波强度;涡合;拟涡能【作者】王兵;卢梦【作者单位】清华大学航天航空学院,北京100084【正文语种】中文【中图分类】V211.3存在扰动的两种密度不同的流体交界面,在受到外部作用时,扰动将发展,界面将失稳,导致两种流体发生混合,即界面不稳定性.激波与不同流体界面的相互作用广泛存在于自然界和工程应用领域[1],导致的流动失稳被称为Richtmyer-Meshkov(R-M)不稳定性.它对流体的混合具有促进作用,从而影响流动发展进程.对于激波加速界面导致的流体不稳定性的研究可追溯到20世纪50年代[2].1960年,Richtmyer对激波加速下的界面流动不稳定性给出了严格的理论推导和分析预测; 1969年,Meshkov通过激波管实验验证了Richtmyer的分析预测[3].球形界面和平面激波是研究激波与界面作用的良好模型.Haas等[4]通过在水平激波管中观测弱激波对He和R22的球形界面的作用,研究了激波反射折射及绕射等复杂现象,详细分析了作用过程中的激波速度和界面速度变化规律.球形界面实验研究的不足是需要支杆支撑,支杆会对其附近的界面发展产生影响.柱形界面也是研究R-M不稳性的基本模型之一.Tomkins等[5]运用实验测量了激波与无膜技术形成的气柱作用过程中气体混合的速率,揭示了气体混合的机制,并指出了二次不稳定性在界面发展后期的重要作用.单模态界面在R-M不稳定性研究中也被大量使用[6].例如,Brouillette等[7]采用厚度为0.5 μm的硝化纤维膜进行了相关研究,Sadot等[8]采用厚度为0.1 μm的薄膜形成的单模界面开展了与平面激波作用的实验.通常,分开两种流体的薄膜破裂的碎片会影响不稳定性的发展,且这种影响很难预测.扰动振幅增长率的激波管实验结果与理论预测之间的偏差大小取决于其强度.为了避免薄膜对实验结果的影响,可采用薄金属板分开流体,然后在启动激波管前通过机械装置快速抽出隔板,将抽出隔板时产生的扰动作为界面上初始的扰动.因为分子扩散,这样得到的是一个密度梯度为有限值的连续界面,与密度间断界面相比不稳定性的发展会减慢.然而,采用这种方法形成的初始扰动不具有可重复性.一种改进的生成无膜界面的方法是,让两种介质分别从竖直激波管的两端进入观察段中形成界面,并在实验段位置开设狭缝排出多余的气体,通过振荡实验仪器来得到正弦的界面[9-10]. 虽然实验研究比较直观,但难度大,重复性差,且大多数结果都是定性的流动显示,定量的实验数据少.随着计算机和数值计算技术的发展,越来越多的学者运用数值模拟的方法对R-M不稳定性开展研究工作.Holmes等[11]用前缘追踪数值方法模拟了R-M不稳定性,准确捕捉了物质界面和激波.由于要求追踪所有的波系和界面的发展,该算法的计算量很大.Anuchina等[12]用MAH-3程序得到了R-M不稳定性线性和非线性发展阶段的结果,对比了二维和三维的界面增长率.Latini等[13]用WENO重构方法对R-M不稳定性进行数值模拟,发现低阶方法在不稳定性发展的后期保留了大尺度结构和对称性,而高阶方法复现了小尺度结构,导致对称结构被破坏,从而增强了流体间的混合.Hu等[14]用6阶中心-迎风WENO格式模拟了R-M不稳定性,并与相关实验结果做了对比.近年,Olson等[15]用大涡模拟方法模拟了R-M不稳定性,讨论了数值方法网格精度Reynolds数的影响.关于早期的R-M不稳定性研究,可参考Holmes等[16]的综述,文献系统而详尽地比较了实验数值模拟线性理论非线性理论,以及脉冲理论的结果.在不稳定性发展早期,界面以大尺度结构为主,线性理论通常能较好地与实验和数值模拟结果吻合.在不稳定性发展后期,界面两侧的流体出现速度差,产生二次不稳定性,出现一些小尺度结构,精度越高的数值算法,越能识别出小尺度结构,而实验方法则难以测量.本文针对激波与H2O和N2等混合物界面相互作用而发生的R-M不稳定性流动现象数值模拟,主要分析界面振幅和激波强度的影响特征及规律,为工程应用提供理论指导.因研究的流体由多种组分构成,故基本控制方程由二维可压缩Navier-Stokes方程和组分质量守恒方程组成.不考虑外部体积力做功和辐射换热,其守恒型为第k种组分的黏性系数采用基于Chapman-Enskog理论的公式,第k种组分的导热系数采用改进的Eucken公式,两种组分间的相互扩散系数计算采用Chapman 和Enskog基于Boltzmann方程提出的公式,分别为混合流体的黏性系数计算公式如下:解出守恒变量后,依据守恒变量可以直接得到密度动能总能质量分数.压力和静焓都是温度的函数,可使用Newton迭代法得到温度.改写混合流体状态方程和总能表达式,得到:考虑有限差分法离散,对流项采用5阶特征紧致-WENO混合格式[19],输运项采用6阶对称紧致格式,时间推进采用3阶显式Runge-Kutta方法.为此,改写基本控制方程如下:特征紧致-WENO混合格式是紧致格式和WENO格式通过加权而形成的,用以解决光滑流场中有间断的问题.紧致格式可用较少的模板点高精度逼近导数,但在处理间断时会出现严重的数值振荡; WENO格式可抑制这种振荡,但数值耗散大.于是,通过加权因子使两者结合起来,在光滑流场使用紧致格式,在参数梯度比较大的间断部分使用WENO格式,同时满足了对高精度和捕捉激波的算法要求.省略下标“c”,记基本控制方程x方向的对流通量F的Jacobi矩阵为A=∂F/∂U,则矩阵A有特征值λ(i),对应特征向量L(i),这些特征向量构成特征空间.将网格点xj 的对流通量投影到特征空间，得到整点特征向量wj.在xj+1/2处计算半点守恒变量.对于输运项的离散也以x方向为例.记,u″j分别为(∂u/∂x)j,[∂(μ∂u/∂x)/∂x]j的近似差分,则可由6阶对称紧致格式离散为对于时间推进,一种3步3阶显式Runge-Kutta方法为选取一维Sod激波管中物质界面变化问题.初始条件为选取一维激波与气泡相互作用问题,一道激波沿y方向穿过一个静止气泡.初始条件为5阶WENO格式是经典的被广泛用来捕捉可压缩流动中激波等复杂间断的高精度格式.以上两个典型的算例均对比显示出本文算法的计算精度与其一致,表明所引入的5阶特征紧致-WENO混合格式对于激波等复杂间断的捕捉也具有很强的适用性和有效性.二维物理模型如图3所示.计算区域中,界面上层流体A为H2O和N2的混合物,Ab 表示激波后的流体,Af表示激波前的流体; 界面下层流体B为H2,O2,N2的混合物.平面正激波从流体A中向流体B中运动,在距离激波一定距离处有受单模态扰动的呈一定几何分布规律的界面,a为界面扰动的振幅,λa为界面扰动的波长.计算区域为矩形区域,宽XL为0.0314 m,高YL为0.15 m.正弦型流体间断界面为[20]上下边界采用流动物理量外插边界条件,左右边界采用周期性边界条件.网格为均匀分布正交网格,网格数为100 500.流体A中物质的质量分数分别为:wH2O=0.135,wN2=0.865,密度ρA=0.092kg/m3; 流体B中物质的质量分数分别为:wH2= 0.015,wO2= 0.12,wN2= 0.865,密度ρB= 0.476 kg/m3.上下层流体等压,均为0.5 atm.为便于参变对比分析,设定基本工况并加以计算分析.取激波Mach数Ms=1.3,界面扰动的振幅a=0.005 m.图4为瞬时密度等值云图时间序列，图5为相应的瞬时纹影时间序列图,计算公式为由图可以清晰地观察到激波与界面相互作用的过程.激波后流体的密度变大,激波与界面相遇后继续入射.t=0.02 ms后,激波离开界面,平面入射波发生微弱变形,而界面仍然是比较规则的正弦形.t=0.075 ms 后,激波基本恢复成平面波,界面逐渐发生变形.在t=0.125 ms后可以看到,界面已经完全失去正弦形状,轻流体以“气泡”形式进入重流体,重流体以“漏斗”形式进入轻流体,且两端发生卷起,形成“蘑菇”结构,“蘑菇杆”上出现一些小尺度结构.t=0.25 ms后,“蘑菇”结构非常明显,“蘑菇杆”上的小尺度结构会逐渐消失,流体混合剧烈.图6为瞬时流向速度等值云图时间序列.在t=0.02 ms 以后,界面两侧的流体存在流向速度梯度,所以沿界面切线方向两侧流体也存在流向速度梯度,引起Kelvin-Helmholtz(K-H)不稳定性[21],从而产生涡,使界面发生变形.在t=0.125 ms的界面发展后期,K-H不稳定性的作用更为明显,界面“漏斗”结构两侧在涡的作用下发生卷起,形成“蘑菇”结构.图7为瞬时涡量等值云图时间序列.t=0 ms时,激波与界面没有接触,流场中基本没有涡.激波与界面相遇后,流体界面附近产生涡,涡量有正有负,对称分布.随时间推移,涡量的大小和方向发生变化.“蘑菇”结构的顶部涡量最小,两侧最大.涡量表征流体旋转运动的强度,在涡的作用下,不同流体不断被卷吸掺混.在R-M不稳定性发展的前期,激波对界面的发展起主要作用; 在中后期,界面附近涡的产生和分布对界面变形和演化起关键作用.现分析涡动力学方程:这里,界面两侧流体密度的不同产生密度梯度,激波的作用产生压力梯度.涡线的拉伸和扭曲可以忽略,即第2项.因此,涡量的变化主要取决于斜压项散度项黏性项.图8为t = 0.02,0.075,0.25 ms不同时刻斜压项与散度项的空间分布对比,对应激波与界面相遇阶段界面线性发展阶段界面非线性发展阶段.对比发现,在激波与界面作用的前中后3个时刻,斜压项均比散度项大1个量级,表明在激波与界面作用的过程中,斜压项始终对涡的产生起主导作用.定义拟涡能ε为图9给出了激波与界面作用过程中拟涡能和界面振幅随时间变化的曲线.初始阶段,激波作用于界面,斜压作用剧烈,流场的拟涡能迅速增大; 激波离开界面后,拟涡能在一定时间内减小,然后又开始增大; 界面进入非线性发展阶段后,拟涡能发生振荡,但总体上继续增大.对于界面振幅,先减小后增大,且约在0.12 ms以前增长速率较大,随后增长速率变小.激波向着界面运动,二者没有接触时,界面不会发生明显的变化.激波与界面相遇时,在激波的强压缩作用下,界面振幅有所减小,图中曲线的第1个极值点是激波离开界面的时刻.激波离开界面后,斜压作用在界面附近产生的涡主导界面的变形,使界面振幅增长,增长速率较大且呈线性增长.界面发展到后期,伴随K-H不稳定性引起的界面“漏斗”结构向“蘑菇”结构的变化,界面振幅增长速率有所减小,不再呈线性变化,而是进入非线性增长阶段.基于基本工况a=0.005 m,再增加界面扰动的振幅a=0.0025,0.01 m算例,计算分析界面振幅对R-M不稳定性的影响规律.相对基本工况,增大界面振幅.图10为a=0.01 m 算例瞬时密度等值云图时间序列.激波与界面作用后继续入射,激波后流体密度增大,t=0.02 ms 前界面被压缩,激波离开界面后,界面上出现小尺度结构,界面振幅线性增长,随时间发展小尺度结构消失;t=0.075 ms时出现“蘑菇”结构,界面振幅继续增大,进入非线性发展阶段,“蘑菇”结构变明显,“蘑菇杆”结构变细,流体不断发生混合; t=0.25 ms后混合剧烈,“蘑菇”结构明显被破坏.同图4的基本工况相比,两种情况在界面附近涡的分布发生了变化.图11为a=0.01 m算例瞬时涡量等值云图时间序列.流场中的涡始终聚集在界面附近,t=0.075 ms 前流场中最大涡量较大,分布较集中; t=0.25 ms 后流场最大涡量变小,由于流体混合,分布较分散.同图7的基本工况相比,a=0.01 m时激波与界面作用使界面附近产生的涡量更大,且发展过程前后期最大涡量的变化也更大.这主要是由于a=0.01 m时混合进行得更剧烈,使界面间密度梯度减小,减弱了斜压作用.图12分别给出了a=0.01 m算例激波与界面作用过程中拟涡能和界面振幅随时间变化的曲线.初始时激波作用于界面,斜压作用剧烈,流场的拟涡能迅速增大; 激波离开界面后,拟涡能在一定时间内减小,然后继续增大,发展后期拟涡能发生振荡,但总体上仍保持增大趋势.界面振幅先减小后增大.在增大过程中,约0.08 ms以前振幅增长速率较大,为线性增长阶段; 0.08 ms之后振幅增长速率开始变小,进入非线性发展阶段.同图9的基本工况相比,拟涡能变化规律相似.相对基本工况,减小界面振幅.图13为a=0.0025 m 算例瞬时密度等值云图时间序列.界面首先被激波压缩,激波发生变形; 激波离开界面后,界面较长一段时间仍然保持正弦型,之后界面振幅开始增长; t=0.125 ms时出现“蘑菇”结构,t=0.25 ms 后混合较明显,但与另2种较大界面振幅情况相比,混合较弱.图14为a=0.0025 m算例瞬时涡量等值云图时间序列.流场中涡量集中在界面附近,混合发生得并不剧烈; 随时间发展,涡量最大值增大,发展后期最大涡量明显集中在“蘑菇”结构两侧.图15分别给出了a=0.0025 m算例激波与界面作用过程中拟涡能和界面振幅随时间变化的曲线.拟涡能发展趋势与另2种较大界面振幅情况相似.界面振幅先减小后增大,t=0.14 ms左右增长速率开始有所减小,进入非线性发展阶段.综合对比分析3种界面振幅情况可知,当激波Mach数相同时,a=0.01 m情况的界面最先进入非线性增长阶段,出现细小的“蘑菇”结构; 其次是a=0.005 m 情况; 最后是a=0.0025 m情况.就“蘑菇”结构诱导的混合强度而言,也呈逐渐减弱趋势.也就是说,界面振幅越大,界面线性发展阶段时间越短,进入非线性增长阶段越快,出现特征结构越快,流体发生混合也越剧烈.另一方面,激波与界面相遇时,不同界面振幅对应的拟涡能变化趋势及早期增长速率相差不多,但界面振幅越大,激波与界面相互作用的时间越长; 界面振幅越大,对应的拟涡能越大,拟涡能再增长速率越大.拟涡能的增强,强化了混合.在3种初始界面振幅情况下,界面振幅开始都会有一定程度的减小; 达到最小值后,在涡的作用下逐渐增大.在界面发展前期,界面振幅越大,界面的变化速率越大; 在界面发展中后期,界面振幅越大,界面振幅增长率越早开始减小,也越早进入非线性发展阶段,界面变形发展得越快.基于基本工况Ms=1.3,再增加激波Mach数Ms=1.15,1.5算例,计算分析激波强度对R-M不稳定性的影响规律.相对基本工况,增大激波强度.图16为Ms=1.5 算例瞬时密度等值云图时间序列.激波强度变大,激波前后流体密度比增大,界面运动速度也变大.当激波与界面相遇时,在激波压缩作用下,界面振幅变小,激波发生微弱变形,继续运动,经过一段时间恢复为平面波; 界面在线性增长阶段,维持正弦型特征,振幅增大; 然后进入非线性增长阶段,流场出现“蘑菇”特征结构.“蘑菇”结构两侧的混合最剧烈,混合导致混合区域流场中密度梯度变小,界面上的结构被破坏.图17为Ms=1.5算例瞬时涡量等值云图时间序列,也显示界面附近的涡很明显,最大涡量集中在“蘑菇”结构两侧.图18分别给出了Ms=1.5算例激波与界面作用过程中拟涡能和界面振幅随时间变化的曲线.拟涡能首先在激波作用下迅速增大,激波离开界面后,拟涡能开始减小,然后又开始增大,后期出现振荡,但总体保持增大趋势.界面振幅先减小,约在0.018 ms开始增大,在0.1 ms增长速率变小.相对基本工况,减小激波强度.图19为Ms=1.15 算例瞬时密度等值云图时间序列.由图可以看出,激波后的流体密度变大,但是激波前后流体密度比和界面运动速度相比于另2种较大激波强度情况明显减小,且界面变化减慢,接近t=0.25 ms 时界面才开始出现“蘑菇”结构,混合剧烈程度也小得多.图20为Ms=1.15算例瞬时涡量等值云图时间序列.与另2种较大激波强度情况相比,流场中的涡量明显较小,在界面发展后期,流场中最大涡量同样集中在“蘑菇”结构两侧.图21分别给出了Ms=1.15算例激波与界面作用过程中拟涡能和界面振幅随时间变化的曲线,它们随时间变化的规律与另2种较大激波强度情况基本一致.综合对比分析3种激波强度情况可知,当初始界面振幅相同时,Ms=1.5情况的界面最先从线性增长阶段进入非线性增长阶段,出现细小的“蘑菇”结构,两种流体在“蘑菇”两侧发生混合,界面结构被破坏.其次是Ms=1.3情况,最后是Ms=1.15 情况.激波在与界面作用过程中,若初始界面振幅相同,则激波强度越强,界面线性发展阶段时间越短,进入非线性增长阶段越快,出现特征结构越快,两种流体混合得越剧烈.类似地,激波强度越大,流场中拟涡能越大,且拟涡能的增长速率也越大; 界面振幅均先在激波的压缩作用下一定程度地变小,达到最小值后,在涡的作用下开始增长.在界面发展前期,激波强度越大,界面振幅增长的速率越大; 界面发展中后期,激波强度越大,界面振幅增长率越先开始减小,进入非线性发展阶段后,出现特征结构,此刻振幅增长速率会变小.总体上,激波强度越大,界面变形越快且越早进入非线性发展阶段,拟涡能伴随增大可导致流体混合发生得越剧烈.最后,以基本工况为例,将本文数值模拟得到的界面振幅随时间变化曲线与经典的脉冲模型[23]线性模型[24]非线性模型[25]等理论进行对比(见图22).从图中曲线的对比可得出:各曲线整体趋势一致,数值模拟结果与非线性理论结果定量上吻合较好,差异较小.因此,本文数值模拟得到的界面发展规律是合理的.采用数值模拟方法,详细研究了平面正激波与单模态正弦波界面相互作用导致的R-M不稳定性现象与强化混合流动物理机制.改变界面初始振幅和运动激波强度,比较了不同条件下R-M不稳定性的规律.主要得到以下结论:(1)当激波从轻流体运动到重流体中时,激波与界面作用,激波发生变形.由于激波的压缩作用,界面振幅小幅度减小.激波离开界面后,界面发展进入线性增长阶段,界面振幅增大,发展到后期,轻流体以“气泡”形式进入重流体,重流体以“漏斗”形式进入轻流体,出现“蘑菇”特征结构,界面发展呈现非线性发展规律,界面增速变小.由于斜压项和散度项作用,界面附近产生涡,诱导界面发生变形,斜压作用占主导地位.由涡诱导出界面的速度差,流动出现K-H不稳定性,使流场中产生更多的涡.(2)激波Mach数不变,比较界面初始振幅为a=0.0025,0.005,0.01 m时R-M不稳定性发展规律表明,增大界面初始振幅,能诱导界面附近产生更强的涡,界面变形发展更快,加快R-M不稳定性发展,更有利于流体混合.(3)界面初始振幅不变,比较激波Mach数为Ms=1.15,1.3,1.5时R-M不稳定性发展规律表明,类似地,增大激波强度,能诱导界面附近产生更强的涡,界面变形发展更快,加快R-M不稳定性发展,同样更有利于流体混合.。
湍流的理论与实验研究
湍流的理论与实验研究湍流的理论与实验研究湍流是流体力学界公认的难题，被认为是经典物理学中最后一个未被解决的问题。
自然界和工程领域的绝大多数流动都是湍流，因此湍流研究具有重大意义。
近年来，随着实验测量技术和数值模拟能力的不断增强，学术界对高雷诺数和高马赫数湍流有了许多新的认识。
我国科学界也结合国家重大战略需求和学科发展前沿，分析国际上湍流研究的特点、现状和发展趋势，希望对湍流产生机制和流动本质进行深入研讨，加强与航空、航天、航海等相关单位和部门间的沟通与联系，推动湍流研究的发展。
针对国内学科发展现状，尤其是实验研究相对薄弱的特点，国家自然科学基金委员会数理科学部、工程与材料科学部和政策局，于2014年3月20-21日在北京联合举办了第110期双清论坛，论坛主题为“湍流的理论与实验研究”。
来自全国15个单位的近50位流体力学与工程领域的专家学者应邀出席。
与会专家通过充分而深入的研讨，凝练了该领域的重大关键科学问题，探讨了前沿研究方向和科学基金资助战略。
本期特刊登此次论坛学术综述。
一、湍流研究的重要意义自1883年雷诺（Reynolds）发现湍流以来，湍流问题的研究一直困扰着众多学者。
著名物理学家费曼曾说，湍流是经典物理学中最后一个未被解决的难题；2005年《科学》杂志在其创刊125周年公布的125个最具挑战性的科学问题中，其中至少两个问题与湍流相关。
在我们日常生活中，湍流无处不在。
自然界和工程应用中遇到的流动，绝大部分是复杂的湍流问题。
在自然界，从宇宙星系的时空演化，到星球内部的翻滚流动，从大气环流的全球运动，到江河湖泊的区域流动，都有湍流的身影。
在工程领域，从陆地、海洋、空天等交通运载工具，到原子弹、氢弹、导弹、战斗机、舰船等国防武器的设计；从全球气象气候的预报，到地区水利工程的设计；从传统行业如叶轮机械、房桥建筑、油气管道，到新兴行业如能源化工、医疗器械、纳米器件的设计，都需要了解和利用湍流。
因此，湍流流动的研究不仅仅是一个学科发展的问题，更具有重要的工程应用价值。
高精度差分格式及湍流数值模拟(一)
u(x j ) eikxj
du ikeikxj dx
uj
k x
eikx j
k kr iki 修正波数 k ikx i
精确解 差分解
耗散误差
ki
色散误差
1st order upwind
2nd order center
3
3rd order upwind
5th order upwind
5th order upwind compact
网络中心培训讲座
高精度差分格式及 湍流数值模拟
李新亮 中国科学院力学研究所
提纲
Part 1. 高精度差分格式 Part 2. 湍流模拟 Part 3. OpenCFD及可压缩湍流直接数值模拟
提纲
Part 1. 高精度差分格式 1. 前言 2. 高精度高分辨率差分格式 格式的精度、分辨率及优化 常用的高分辨率格式： 紧致格式、TVD/保单调格式； WENO格式 3. 群速度控制格式
u x
j
1 2x
(u j2
4u j1
3u j )
7
6
3u x3
j
x2
O(x3)
截断误差
方法1： Taylor展开，计算截断误差项 （非线性格式推导困难）
方法2： 数值实验
ln err
给定一测试函数（可精确求导），计算 误差对网格尺度的依赖关系
n = 斜率
err Axn
ln err ln A nln x
u a u 0 a 0
x x
f j a1 f j3 a2 f j2 a3 f j1a4 f j a5 f j1 a6 f j2
1） 若高精度逼近
， u
x
必然利用多个基架点
新型紧致WENO5格式
新型紧致WENO5格式新型紧致WENO5格式是近年来在数值计算领域取得重要进展的一种算法，它在高阶精度和边界层处理方面具有明显的优势。
本文将详细介绍新型紧致WENO5格式的原理、应用和优点，以及该算法在科学计算和工程领域的潜在应用价值。
新型紧致WENO5格式是一种基于WENO（Weighted Essentially Non-oscillatory）方法的高阶精度差分格式，它采用了一种紧致的差分算子来近似偏微分方程的空间导数，并且结合了五阶WENO重构技术来获得高阶精度的空间离散。
相比于传统的有限差分方法，新型紧致WENO5格式在空间精度和边界层处理方面具有显著的优势，尤其适用于对激波、边界层和间断问题进行精确的数值模拟。
除了其原理和实现方法外，新型紧致WENO5格式在实际应用中也展现出了明显的优势。
该格式在数值模拟中能够有效地处理多尺度流动现象，例如激波和边界层现象，从而提高了数值求解的准确性和可靠性。
新型紧致WENO5格式还可以有效地减少数值耗散和数值弥散，提高数值模拟的精度和稳定性。
该格式还在处理间断问题和非光滑解方面表现出了良好的性能，能够产生较为平滑和精确的数值解。
新型紧致WENO5格式在科学计算和工程领域还具有许多应用价值。
在流体力学中，该格式可以用于模拟复杂流动现象，如激波、湍流和多相流动等，从而为工程设计和科学研究提供重要的数值模拟工具。
在计算物理学中，新型紧致WENO5格式也可以用于求解各种偏微分方程，如波动方程、热传导方程和量子力学方程等，从而为科学家们研究自然现象提供了重要的数值工具。
新型紧致WENO5格式是一种具有很高应用潜力的数值计算方法，它在高阶精度和边界层处理方面具有明显的优势，并且在科学计算和工程领域有着广泛的应用前景。
相信随着该算法的进一步研究和应用，它将为解决科学与工程领域中的复杂数值问题提供更为有效的数值模拟工具，为人类的科学探索和工程创新发挥重要作用。
迎风紧致格式求解Hamilton-Jacobi方程
迎风紧致格式求解Hamilton-Jacobi方程田保林;傅德薰;马延文;李新亮【期刊名称】《计算物理》【年(卷),期】2005(22)2【摘要】基于Hamilton Jacobi(H J)方程和双曲型守恒律之间的关系,将三阶和五阶迎风紧致格式推广应用于求解H J方程,建立了高精度的H J方程求解方法.给出了一维和二维典型数值算例的计算结果,其中包括一个平面激波作用下的Richtmyer Meshkov界面不稳定性问题.数值试验表明,在解的光滑区域该方法具有高精度,而在导数不连续的不光滑区域也获得了比较好的分辨效果.相比于同阶精度的WENO格式,本方法具有更小的数值耗散,从而有利于多尺度复杂流动的模拟中H J方程的求解.【总页数】6页(P117-122)【关键词】Hamilton-Jacobi方程;迎风紧致格式;H-J方程;双曲型守恒律;WENO 格式;稳定性问题;推广应用;计算结果;数值算例;求解方法;数值试验;平面激波;分辨效果;数值耗散;复杂流动;高精度;不连续;多尺度;光滑;五阶;三阶;一维;同阶【作者】田保林;傅德薰;马延文;李新亮【作者单位】中国科学院力学研究所LNM国家重点实验室【正文语种】中文【中图分类】O241.82;O357.5【相关文献】1.数值求解Navier-Stokes方程的迎风紧致差分格式 [J], 朱庆勇;马延文2.一种求解 KdV-Burgers 方程的迎风超紧致差分格式 [J], 孙建安;郭小霞;贾伟3.求解薛定谔–泊松方程组的时间分裂紧致差分格式 [J], 姜珊;刘荣华;马秀;王汉权;4.求解双曲型守恒律方程的高精度迎风紧致群速度控制法 [J], 朱庆勇;马延文5.求解Navier-Stokes方程组的组合紧致迎风格式 [J], 梁贤;田振夫因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
高精度中心-WENO混合格式在可压缩各向同性湍流大涡模拟中的应用
高精度中心-WENO混合格式在可压缩各向同性湍流大涡模拟中的应用李震;琚亚平;张楚华【摘要】为提高可压缩湍流大涡模拟的格式精度和分辨率,通过引入当地压力脉动的感应因子和格式加权函数的取值界限,发展了一种数值耗散自适应可控的近似6阶中心-WENO(加权本质无振荡)混合格式,采用傅里叶法对离散格式数学特性进行了理论分析,并对一维激波/密度脉动干涉问题和三维可压缩各向同性湍流大涡模拟问题进行了计算.结果表明:近似6阶中心-WENO混合格式相比于5阶-WENO格式具有更小的耗散误差,且对激波和物理脉动均具有较高的分辨率;基于所发展的中心-WENO混合格式的大涡模拟计算结果与已有的直接数值模拟结果符合较好,且能够成功捕捉-5/3幂律能谱特性曲线;该格式标定了适合于可压缩流动大涡模拟的格式加权函数界限数值,为流体机械内部可压缩湍流的高精度大涡模拟研究奠定了算法基础.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2017(051)001【总页数】6页(P25-30)【关键词】大涡模拟;可压缩流动;各向同性湍流;WENO;混合格式【作者】李震;琚亚平;张楚华【作者单位】西安交通大学能源与动力工程学院,710049,西安;西安交通大学能源与动力工程学院,710049,西安;西安交通大学能源与动力工程学院,710049,西安【正文语种】中文【中图分类】O35高速流体机械内部湍流是典型的多尺度黏性流动,大涡模拟(LES)旨在计算成本可控的前提下实现对该类复杂流动的高保真预测,为此,须发展在宽波数范围内具有低耗散特性且能适用于可压缩流动的空间离散格式。
Jiang等基于将不同插值模版加权组合的思想,在r阶ENO格式基础上发展出r+1阶WENO(加权本质无振荡)格式[1]。
该格式作为一种偏置迎风类格式,对激波结构具有高分辨率,但在湍流LES中依然表现出过大的数值耗散。
Martin等构造对称模版进行插值,发展出了高精度WENO-SYM格式[2],但是在结合低耗散的对流通量分裂方法进行计算时,该格式的稳定性较差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新型紧致WENO5格式
WENO格式是现代计算流体力学中最常用的格式之一，它的高阶精度和高效性使其成为众多数值方法中最受欢迎的一种。
然而，传统的WENO方法对于复杂问题中的数值振荡和
数值耗散仍然存在一定的局限性。
因此，人们提出了一种新型的紧致型WENO5格式，该方
法既能够有效地解决数值振荡问题，又能够保持WENO格式的高阶精度和高效性。
新型紧致WENO5格式是在经典的WENO5格式基础上进行改进的，主要的改进包括两个
方面：一是引入一种新的WENO权重策略，可以更好地平衡不同候选项的贡献；二是采用
一个简单的紧致空间离散格式来近似计算计算单元内的斜率。
首先，我们来了解一下新的WENO权重策略。
在传统的WENO格式中，候选项的权重通
过一个简单的多项式插值来计算，然后再通过一个归一化的过程来得到最终的权重。
然而，这种方法很容易受到异常值的影响，导致数值振荡。
为了避免这种情况，新的WENO权重
策略采用了均衡点法，即在计算候选项的权重时，首先计算每个候选项在空间中的均衡点，然后使用这些均衡点来重新计算权重。
这种方法可以更好地平衡不同候选项的贡献，从而
减少数值振荡。
其次，我们来了解一下采用的紧致空间离散格式。
在传统的WENO格式中，计算单元
内的斜率通常是通过高阶差分格式来计算的，但是这种方法容易受到数值耗散的影响，从
而降低了精度。
为了避免这种情况，新的紧致WENO5格式采用了一种简单的中心差分格式
来计算计算单元内部的斜率。
这种方法既能够保持高阶精度，又能够减少数值耗散。
综合来看，新型紧致WENO5格式是一种非常优秀的数值格式，具有高阶精度、高效性
和稳定性等优点。
其核心思想是采用一种新的权重策略和一种简单的紧致空间离散格式来
减少数值振荡和数值耗散问题，从而更好地解决现代计算流体力学中的复杂问题。
在未来
的研究中，这种方法将被进一步改进和优化，以满足更加复杂的应用场景。