二次函数的简单应用- 初升高数学衔接(解析版)

二次函数的简单应用- 初升高数学衔接（解析版）
高中必备知识点1：平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
典型考题
【典型例题】
如图，抛物线经过两点，顶点为D．
求a和b的值；
将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．
求平移后所得图象的函数解析式；
若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．
【答案】将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．
【解析】
代入，
得：，解得：．
，
抛物线顶点D的坐标为．
将抛物线沿y轴平移后，顶点D落在x轴上，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
平移后的抛物线为，即．
若将抛物线向左平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，时，新抛物线对应的函数有最小值2，
新抛物线必过点，
，
解得：舍去；
若将抛物线向右平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，时，新抛物线对应的函数有最小值2，
新抛物线必过点．
，
解得：舍去．
将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．
【变式训练】
已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？
【答案】向上平移3个单位．
【解析】
由题意知，必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为，
则，
代入抛物线方程得：，
舍去．
所以向上平移3个单位．
【能力提升】
已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．
（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的项点坐标；
（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．
【答案】（1）y＝（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．【解析】
（1）y=x（x﹣2）+2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；
（2）∵将抛物线y=x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：
y=（x﹣1）2．
高中必备知识点2：对称变换
在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
典型考题
【典型例题】
如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B 的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P()．
【解析】
(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：a=1，c=﹣8．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴D(1，﹣9)．
(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，
∴B(4，0)．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴E(1，0)．
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，
∴EP为∠BEF的角平分线．
∴∠BEP=45°．
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．
将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P在第四象限，
∴x=．
∴y=．
∴P()．
【变式训练】
已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,）.
(1)求函数的解析式;
(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.
【答案】（1）y=(x-3)2-2.（2）m>n.
【解析】
(1)由题意设函数的解析式为y=a(x-3)2-2,
根据题意得9a-2=
解得a=，
所以函数解析式是y=(x-3)2-2.
(2)因为a=>0,所以抛物线开口向上,
又因为二次函数的对称轴是直线x=3.
所以当x>3时,y随x增大而增大,
因为p>q>5>3,
所以m>n.
【能力提升】
已知抛物线经过点（1，-2）．
（1）求的值；
（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）a=-1；（2）y1＜y2．
【解析】
(1)、∵抛物线经过点（1，-2），∴，解得a=-1；
(2)、∵函数的对称轴为x=3，
∴A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，
又∵抛物线开口向下，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∵m＜n＜3，∴y1＜y2．
高中必备知识点3：分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．典型考题
【典型例题】
函数
1
()0
1
x
f x
x
-
⎧
⎪
=⎨
⎪+
⎩)0
(
)0
(
)0
(
<
=
>
x
x
x
，则))
1(
(f
f的值是___．
【答案】0 【解析】
∵函数f（x）
10
00
10
x x
x
x x
-
⎧
⎪
==
⎨
⎪+
⎩
，＞
，
，＜
，
∴f （1）＝1﹣1＝0， f （f （1））＝f （0）＝0． 故答案为：0．
【变式训练】
已知函数，若
，则
_________．
【答案】
【解析】
，故
，填
．
【能力提升】
函数__________．
【答案】1. 【解析】 由题意得．
故答案为：1．
专题验收测试题
1．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，
Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC
运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2
cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，
AB 2=42+（6-3）2， 解得，AB=5cm ． 下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，2144
2255
y t t t ==,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=2
1448cm 2⨯⨯=;
当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()21
1226,2
y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ． 故选：B ．
2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，DC ＝4cm ，BC ＝6cm ，AD ＝3cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA ﹣AD ﹣DC 运动到点C ，点Q 以1cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发xs 时，△BPQ 的面积为ycm 2．则y 与x 的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
作AE⊥BC于E，根据已知可得，
AB2＝42+（6﹣3）2，
解得，AB＝5cm．
当0≤x≤2.5时：P点由B到A，△BPQ的面积从小到大，且达到最大此时面积＝1
2
×2.5×4＝5cm2．
当2.5≤x≤4时，即P点在AD上时，
1
42
2
y x x
=⨯=，且增大值为：2
1
448cm
2
⨯⨯=；
当4≤x≤6时，即P点从D到C时，y＝1
(122)
2
x x
⋅-＝﹣x2+6x．
故符合y与x的函数图象大致是B．
故选B．
3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E，设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
解：如图，连接DE ，∵△PC′D 是△PCD 沿PD 折叠得到， ∴∠CPD ＝∠C′PD ， ∵PE 平分∠BPC′， ∴∠BPE ＝∠C′PE ， ∴∠EPC′+∠DPC′＝
12
×180°＝90°， ∴△DPE 是直角三角形，
∵BP ＝x ，BE ＝y ，AB ＝3，BC ＝5，
∴AE ＝AB ﹣BE ＝3﹣y ，CP ＝BC ﹣BP ＝5﹣x ， 在Rt △BEP 中，PE 2＝BP 2+BE 2＝x 2+y 2，
在Rt △ADE 中，DE 2＝AE 2+AD 2＝（3﹣y ）2+52， 在Rt △PCD 中，PD 2＝PC 2+CD 2＝（5﹣x ）2+32， 在Rt △PDE 中，DE 2＝PE 2+PD 2， 则（3﹣y ）2+52＝x 2+y 2+（5﹣x ）2+32， 整理得，﹣6y ＝2x 2﹣10x ， 所以y ＝215
33
x x -
+（0＜x ＜5）， 纵观各选项，只有D 选项符合． 故选：D ．
4．某种圆形合金板材的成本y （元）与它的面积（cm 2）成正比，设半径为xcm ，当x ＝3时，y ＝18，那么当半径为6cm 时，成本为（ ） A ．18元 B ．36元
C ．54元
D ．72元
【答案】D 【解析】
解：根据题意设y ＝k πx 2， ∵当x ＝3时，y ＝18， ∴18＝k π•9，
则k＝2π
，
∴y＝kπx2＝2
π
•π•x2＝2x2，
当x＝6时，y＝2×36＝72，
故选：D．
5．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系
为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
∵a≥0，由题意得方程
10t-t2=a有两个不相等的实根
∴△=b2-4ac=102+4××a＞0得0≤a＜50
又∵0≤t≤14
∴当t=14时，a=h=10×14-×142=42
所以a的取值范围为：42≤a＜50
故选：C．
6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s=-6t2+bt（b为常数）．已知t=时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（）
A．米B．8米C．米D．10米
【答案】C
【解析】
解：把t=，s=6代入s=-6t2+bt得，
6=-6×+b×，
解得，b=15
∴函数解析式为s=-6t2+15t=-6（t-）2+，
∴当t=时，s取得最大值，此时s=，
故选：C．
7．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（）
A．1 B．C．2﹣D．2+
【答案】A
【解析】
设B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足为D连接AB，AC，
∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点A（2，﹣1），
AD＝n﹣（﹣1）＝n+1
∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、C，
∴（x﹣2）2﹣1＝n，
化简，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，
x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，
∴BC＝|x1﹣x2|＝，
∵点B、C关于对称轴直线AD对称，
∴D为线段BC的中点，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝BC，
即BC＝2AD
＝2（n+1），
∴（2+2n）＝（n+1）2，
化简，得n2＝1，
∴n＝1或﹣1，
n＝﹣1时直线y＝n经过点A，不符合题意舍去，
所以n＝1．
故选：A．
8．如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）
A．10m B．20m C．15m D．22.5m
【答案】C
【解析】
根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），
则，
解得：，
所以x=-=15（m）．
故选C．
9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
解：由题意，抛物线的解析式为y=at(t-9)，把(1，8)代入可得a=-1，
∴y=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，
∴正确的有②③.
故选B.
10．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S ＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．
A．600 B．300 C．40 D．20
【答案】D
【解析】
解：由题意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故选：D．
11．如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处双测P处，仰角分别为α、β，
且tanα＝1
2
，tanβ＝
2
3
，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．P点坐标为_____；若水面上
升1m，水面宽为_____m．
【答案】33,2⎛⎫
⎪⎝⎭
； 22 【解析】
解：（1）过点P 作PH ⊥OA 于H ，如图． 设PH ＝3x ， 在Rt △OHP 中， ∵tanα＝
PH 1
OH 2
=， ∴OH ＝6x ． 在Rt △AHP 中， ∵tanβ＝
3
2
PH AH =， ∴AH ＝2x ，
∴OA ＝OH +AH ＝8x ＝4， ∴x ＝
12
， ∴OH ＝3，PH ＝
2
3， ∴点P 的坐标为（3，2
3）； 故答案是：（3，
2
3
）； （2）若水面上升1m 后到达BC 位置，如图，
过点O （0，0），A （4，0）的抛物线的解析式可设为y ＝ax （x ﹣4），
∵P （3，
2
3
）在抛物线y ＝ax （x ﹣4）上， ∴3a （3﹣4）＝23
，
解得a ＝﹣1
2
，
∴抛物线的解析式为y ＝﹣1
2
x （x ﹣4）．
当y ＝1时，﹣1
2
x （x ﹣4）＝1，
解得x 1＝2+2，x 2＝2﹣2，
∴BC ＝（2+2）﹣（2﹣2）＝22． 故答案是：22．
12．某一房间内A 、B 两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB 之间经过时，将触发报警．现将A 、B 两点放置于平面直角坐标系xOy 中（如图）已知点A ，B 的坐标分别为（0，4），（5，4），小车沿抛物线y =ax 2-2ax -3a 运动．若小车在运动过程中只触发一次报警，则a 的取值范围是______
【答案】a ＜-43或a ＞1
3
【解析】
解：抛物线y=ax 2-2ax-3a=a （x+1）（x-3），
∴其对称轴为：x=1，且图象与x 轴交于（-1，0），（3，0）． 当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得4=-3a ， ∴a=43-
，由对称轴为x=1及图象与x 轴交于（-1，0），（3，0）可知，当a ＜43
-时，抛物线与线段AB 只有一个交点；
当抛物线过点（5，4）时，代入解析式得25a-10a-3a=4，
∴a=
13，同理可知当a ＞1
3
时，抛物线与线段AB 只有一个交点． 故答案为：a ＜4
3-或a ＞13
．
13．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是___m2．
【答案】300．
【解析】
如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，
∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，
∴矩形区域ABCD的面积S＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，
∵a＝﹣x+10＞0，
∴x＜40，
则S＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；
∵S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，
∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．
故答案为：300．
14．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退_____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
【答案】5
【解析】
由图可知：A(0，21.2)，B(0，9.2)，C(0，6.2)，D(0，1.2)，
∵点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，
∴E(20，9.2)，
设AE的直线解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴y＝﹣x+21.2，
∵A，E，F在同一直线上．
∴F(25，6.2)，
设过D，E，F三点的抛物线为y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
水流抛物线向上平移5m，设向左退了m米，
∴D(0，6.2)，
设平移后的抛物线为，经过点F，
∴m＝5或m＝﹣25(舍)，
∴向后退了5米．
故答案为5．
15．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元件/时，每天可售出100件，经市场调查发
现，销售单价每降1元，每天销量增加10件.当销售单价为__________元时，每天获取的利润最大.
【答案】50
【解析】
解：设当销售单价为x元时，每天获取的利润为y元，
则y=（x-30）[100+10（60-x）]
=-10x2+1000x-21000
=-10（x-50）2+4000，
∴当x=50时，y有最大值，且为4000，
故答案为：50．
16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为
.由此可知，铅球推出的距离是__________m.
【答案】10
【解析】
在中，
当，
解得（舍去）.
即铅球推出的距离是10m．
故答案为：10
17．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．
【解析】
解：（1）图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，
可按5元/kg批发，
图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发；
（2）由题意得：
5(2060)
4(60)
m m
w
m m
≤≤
⎛
=
<
⎝
，
函数图象如图所示．
由图可知批发量超过60时，价格在4元中，
所以资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果；（3）设日最高销售量为xkg（x＞60），日零售价为p，
设x＝pk+b，则由图②该函数过点（6，80），（7，40），
代入可得：x＝320﹣40p，于是p＝320
40
x
-
,
销售利润y＝x（320
40
x
-
﹣4）＝﹣
1
40
（x﹣80）2+160
当x＝80时，y最大值＝160，
此时p＝6，
即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，
当日可获得最大利润160元．
18．某商品现在的售价为每件30元，每星期可卖出160件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出2件．已知商品的进价为每件10元．
（1）在顾客得到实惠的情况下，如何定价商家才能获得4200元的利润？
（2）如何定价才能使利润最大？
【答案】（1）在顾客得到实惠的情况下，售价为40（80舍）元时商家才能获得4200元的利润；（2）售价为60元时利润最大为5000元．
【解析】
（1）设商品的涨价x元，由题意得：（30+x-10）（160-2x）=4200，
整理得：x2-60x+500=0，
解得：x=10或50，
故为尽可能让利于顾客并使每周利润为4200元，取x的值为10，
所以，在顾客得到实惠的情况下，售价为40元时商家才能获得4200元的利润；
（2）由题意得：
y=（30+x-10）（160-2x）
=-2x2+120x+3200，
=-2（x-30）2+5000
∵-2＜0，
∴当x=30时，y取得最大值，
此时y=5000（元），
即当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为5000元．
19．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？
（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．
【答案】（1）花园的面积为192m 2，x 的值为12m 或16m ；（2）x 为14m 时，花园面积S 有最大值，最大值为196m 2；（3）当x ＝28﹣a 时，函数有最大值，y=﹣（14﹣a ）2+196．
【解析】
解：（1）依题意得 S ＝x （28﹣x ），
当S ＝192时，有S ＝x （28﹣x ）＝192，
即x 2﹣28x +192＝0，
解得：x 1＝12，x 2＝16，
答：花园的面积为192m 2，x 的值为12m 或16m ；
（2）由题意可得出：
S ＝x （28﹣x ）
＝﹣x 2+28x
＝﹣（x ﹣14）2+196，
答：x 为14m 时，花园面积S 有最大值，最大值为196m 2；
（3）依题意得：
286
x a x -≥⎧⎨≥⎩， 解得：6≤x ≤28﹣a ，
S ＝x （28﹣x ）＝﹣x 2+28x ＝﹣（x ﹣14）2+196，
∵a ＝﹣1＜0，当x ≤14，y 随x 的增大而增大，
又6≤x ≤28﹣a ，
∴当x ＝28﹣a 时，函数有最大值，
∴y ＝﹣（28﹣a ﹣14）2+196＝﹣（14﹣a ）2+196．
20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y 与x 的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣2x+80；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【解析】
试题分析：（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.
(2)列一元二次方程求解.
(3)总利润=单件利润销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.
试题解析：
(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得
∴y＝－2x＋80.
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.
∵售价不低于20元且不高于28元，
当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．21．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题，你能做到吗？
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系；
（2）写出平均每天销售利润W（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系；
（3）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
（4）你认为每天赢利900元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？
【答案】（1）y＝﹣3x+240；（2）w＝﹣3x2+360﹣9600；（3）50；（4）不是，理由见解析.
【解析】
（1）y＝30+3（70﹣x）＝﹣3x+240；
（2）w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360﹣9600；
（3）当w＝900时，
（x﹣40）（﹣3x+240）＝900
整理得：x2﹣120x+3500＝0
∴x1＝50，x2＝70，
∵要使顾客得到实惠，
∴x＝70舍去
∴每箱价格定为50元；
（4）由w＝（x﹣40）（﹣3x+240）
＝﹣3x2+360﹣9600得
w＝﹣3（x﹣60）2+1200
w最大＝1200（元）
∴赢利900元不是销售的最大利润．
22．（本题满分10分）我市某高科技公司生产一种矩形新型材料板，其长宽之比为3∶2，每张材料板的成本c与它的面积成正比例。

每张材料板的销售价格y与其宽x 之间满足我们学习过的某种函数关系(即一次函数、反比例函数和二次函数关系中的一种)，下表记录了该工厂生产、销售该材料板一些数据：
（1）求一张材料板的销售格y其宽x之间的函数关系式（不必写出自变的取值范围）
（2）若一张材料板的利润w 为销售价格y与成本c 的差
①请直接写出一张材料板的利润w 其宽x之间的函数关系（不必写出自变的取值范围）
②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）20300y x =+ ；（2） ① 21203006
w x x =-
++；②当宽为60cm 时，利润最大 ，最大利润为900元.
【解析】 解：（1）根据表中的数据判断，销售价格y 于宽x 之间的函数关系是一次函数，设其解析式为y ＝kx ＋b ， 则24k ＋b ＝780，30k ＋b ＝900，
解得：k ＝20，b ＝300，
将x ＝42，y ＝1140和x ＝54，y ＝1380代入检验，满足条件
所以其解析式为y ＝20x ＋300；
（2）①∵矩形材料板，其长宽之比为3：2，
∴当宽为x 时，则长为1.5x ，
c ＝1.5kx 2；k ＝
9612424 1.59=⨯⨯， 即c ＝16
x 2， ∴w ＝16
-x 2＋20x ＋300； ②由①可知：w ＝16-x 2＋20x ＋300＝16
-（x−60）2＋900， ∴当材料板的宽为60cm 时，一张材料板的利润最大，最大利润是900元．。