二次函数的简单应用- 初升高数学衔接(解析版)

二次函数的简单应用- 初升高数学衔接（解析版）

高中必备知识点1：平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．

典型考题

【典型例题】

如图，抛物线经过两点，顶点为D．

求a和b的值；

将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．

求平移后所得图象的函数解析式；

若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．

【答案】将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．

【解析】

代入，

得：，解得：．

，

抛物线顶点D的坐标为．

将抛物线沿y轴平移后，顶点D落在x轴上，

平移后的抛物线的顶点坐标为，

平移后的抛物线为，即．

若将抛物线向左平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，时，新抛物线对应的函数有最小值2，

新抛物线必过点，

，

解得：舍去；

若将抛物线向右平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，时，新抛物线对应的函数有最小值2，

新抛物线必过点．

，

解得：舍去．

将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．

【变式训练】

已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？

【答案】向上平移3个单位．

【解析】

由题意知，必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为，

则，

代入抛物线方程得：，

舍去．

所以向上平移3个单位．

【能力提升】

已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．

（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的项点坐标；

（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．

【答案】（1）y＝（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．【解析】

（1）y=x（x﹣2）+2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；

（2）∵将抛物线y=x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：

y=（x﹣1）2．

高中必备知识点2：对称变换

在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

典型考题

【典型例题】

如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B 的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P()．

【解析】

(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：a=1，c=﹣8．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．

∵y=(x﹣1)2﹣9，

∴D(1，﹣9)．

(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，

∴B(4，0)．

∵y=(x﹣1)2﹣9，

∴抛物线的对称轴为x=1，

∴E(1，0)．

∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，

∴EP为∠BEF的角平分线．

∴∠BEP=45°．

设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，

∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．

将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P在第四象限，

∴x=．

∴y=．

∴P()．

【变式训练】

已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,）.

(1)求函数的解析式;

(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.

【答案】（1）y=(x-3)2-2.（2）m>n.

【解析】

(1)由题意设函数的解析式为y=a(x-3)2-2,

根据题意得9a-2=

解得a=，

所以函数解析式是y=(x-3)2-2.

(2)因为a=>0,所以抛物线开口向上,

又因为二次函数的对称轴是直线x=3.

所以当x>3时,y随x增大而增大,

因为p>q>5>3,

所以m>n.

【能力提升】

已知抛物线经过点（1，-2）．

（1）求的值；

（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．

【答案】（1）a=-1；（2）y1＜y2．

【解析】

(1)、∵抛物线经过点（1，-2），∴，解得a=-1；

(2)、∵函数的对称轴为x=3，

∴A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，

又∵抛物线开口向下，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∵m＜n＜3，∴y1＜y2．

高中必备知识点3：分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．典型考题

【典型例题】

函数

1

()0

1

x

f x

x

-

⎧

⎪

=⎨

⎪+

⎩)0

(

)0

(

)0

(

<

=

>

x

x

x

，则))

1(

(f

f的值是___．

【答案】0 【解析】

∵函数f（x）

10

00

10

x x

x

x x

-

⎧

⎪

==

⎨

⎪+

⎩

，＞

，

，＜

，