第2章 矢量分析

工程电磁场基础

第2 章矢量分析

主讲人：陈德智

Email: dzhchen@

/hkdq/

华中科技大学电气与电子工程学院

2013年3月

第2章矢量分析

1 关于矢量的一些约定

2 矢量代数

3 坐标系

4 标量场的梯度

5 矢量面积分，通量与散度

6 矢量线积分，环量与旋度

7 亥姆霍兹定理

⑤矢量的坐标分量表示：

⑥法向单位矢量与切向单位矢量：e n ，e t

法向分量：A n 切向分量：A t

关于矢量的基本约定

④坐标单位矢量：

直角坐标系(x , y , z ) ：e x ,e y ,e z ；

x x y y z z

A A A =++A e e e

2．矢量代数

（1）点乘（标积）：

θ

cos :AB u =⋅=B A •A ∥B 时取最大值。

0=⋅B A •A ⊥B ⇔，矢量A 与B 正交。B B A =⋅A e n n A =⋅A e •

矢量的投影（分量）：。法向分量。z

z y y x x B A B A B A ++=⋅B A •

直角坐标系中的计算公式：

，

×

如果单位矢量为一平面的法向，则矢量与该法向单位矢量的叉积表达矢量在平面上的切向信息。

•圆柱坐标系

d d d d d d d z S z z ρφρφρρρφ=++

e e e z

,,φρ坐标变量,,z

ρφe e e 坐标单位矢量z z

ρρ=+r e e 位置矢量d d d d z z

ρφρρφ=++l e e e 线元矢量

z

V d d d d φρρ=体积元

面元矢量圆柱坐标系

圆柱坐标系中的线元、面元和体积元

球坐标系

球坐标系中的线元、面元和体积元

坐标系

•在各种坐标系中，直角坐标系是唯一一种方向不变的坐标系。

•原则上，所有问题都可以使用直角坐标系描述。但是根据问题的不同类型，选取不同的坐标系可能更方便，例如用圆柱坐标系描述轴对称问题，用球坐标系描述球对称问题等。

•直角坐标系中的运算公式要求熟练掌握；其它坐标系要求会用，不同坐标系中的转换关系可以查表解决。

4．标量场的梯度

（1）标量场的图形表示——等值面（线）

地形图与等高线

()const f=

r

标量场的图示

——绘制场图（草图）是工程电磁场中最重要和最常用的分析方法之一，也是最基本的技能。

电场等位线（面）

函数在空间的变化量、方向导数、全微分

标量场的梯度

（3）梯度的物理意义和性质

d d f =⋅G r

•梯度就是导数，就是变化率;•梯度指向函数变化最快的方向;

d d d d l l f l G l =⋅=⋅=G l G

e l f

G l

∂=

∂•

方向导数等于梯度与方向单位矢量的点积（投影）

•梯度是所有可能的方向导数中取值最大的那个；•

梯度G 垂直于函数的等值面;

x x f x f d )()(d ′=回顾：d r 与d l 均可用来表示空间的位移微元，没有本质区别。

不成文的习惯：沿特定方向或特定路径时用d l ，而表示一个任意位移时用d r 。

标量场的梯度

梯度及其方向

标量场的梯度
此外，在不同坐标系中，算子具有不同的表达形式。
【例1】求标量场 度。
f (r) = x3 + y2 + z 和
ϕ (r)
=
q
4πε 0r
的梯
解：
∇f
=
∂f ∂x ex
+
∂f ∂y ey
+
∂f ∂z
ez
= 3x2ex
+ 2 yey
+ ez
在球坐标系中，
∇
=
∂ ∂r
er
+
1 r
∂
∂θ
eθ
+
1
r sinθ
∂
∂φ
eφ
故
∇φ
=
∂ ∂r
q
( 4πε0r )er
=
−
q
4πε 0 r 2
er
E = −∇ϕ

【例2】用 r = ex x + ey y + ez z 和 r′ = ex x′ + ey y′ + ez z′ 表示空间两
个不同的点，R
=
r
−
r′
表示其距离矢量。求
∇
⎛ ⎜⎝
1 R
⎞ ⎟⎠
。
解：R = (x − x′)2 + ( y − y′)2 + (z − z′)2
∂R = ∂ (x − x′)2 + ( y − y′)2 + (z − z′)2 = (x − x′)
∂x ∂x
R
∂ ∂x
(1) R
=
−
1 R2
∂R ∂x
=
−
(x − x′) R3
因此，∇(
1 R
)
=
∂ ∂x
(
1 R
)ex
+
∂ ∂y
(
1 R
)ey
+
∂ ∂z
(
1 R
)ez
= − (x − x′)ex + ( y − y′)ey + (z − z′)ez = − R = − eR
R3
R3
R2