3线性规划人工变量法解析

1
0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3
0
0 0
8/3
—— —— 31/3 ——
j
x2 x5 x3 x2 x1 x3
x3
→
j
j
单纯形法的进一步讨论－两阶段法
用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造成 计算机上的错误，故多采用两阶段法。 第一阶段： 在原线性规划问题中加入人工变量，构造如下模型：
-M
-M Z 0
x6
x7
3
1 -4M
-4
-2 3-6M 3
1
0 -1+M -2
2
1 -1+3M 0
0
0 0 1
-1
0 -M 0
1
0 0 0
0
1 0 -1
3/2
1
→ →
x4
10
－
-M
-1 Z
x6
x3
1
1 -M-1
0
-2 1
1
0 -1+M
0
1 0
0
0 0
-1
0 -M
1
0 0
-2
1 -3M+1
1
－
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
故人为地添加两个单位向量x6和x7 ，得到含人工变量的单纯形 法数学模型：
max Z 3x1 x2 x3 +0x4 +0x5－Mx6 Mx7
3 x1 x2 x3 x4 4x x 2 x 1 2 3 x3 2 x1 x j 0, j 1, 2, L , 7
－
－
x1
4
-1
-1 Z
x2
x3
1
9 2
0
0 0
1
0 0
0
1 0
0
2/3 -1/3
-1
-4/3 -1/3
1
4/3 -M+1/3
-2
-7/3 -M+2/3
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.11 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 4 x1 x 2 2 x 3 10 2 x 1 2 x 2 x 3 1 x1、x 2、x 3 0
运 筹 帷 幄 之 中
第一章
线 性 规 划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
人工变量法： 前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易 确定一组基可行解（“≤”）。 在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到 一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组 虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工 变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求 解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。
11 x5 +x6 3 x7 1
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
cj CB 0 XB x4 b 11 3 x1 1 -1 x2 -2 -1 x3 1 0 x4 1 0 x5 0 -M x6 0 -M x7 0 11
max Z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 x4 11 4 x x 2 x1 x j 0, j 1, 2, L ,5
系数矩阵中不存在单位 矩阵，要找基解和基可 行解。 无法建立初始单纯形表。
j
0
-1 2 0 -1 2 3 -1
→ →
x5
8
1 3/5 31/5 11/5 13 31/3 19/3
-3
2 5-6M －6/5 3/5 －2/5 5 0 1 0 0
3
-2 5M 1 0 0 0 1 0 0 0
0
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0
0 -M －1/5 3/5 －2/5 0 1 1 0 -5
min xn 1 L xn m 0 x1 L 0 xn b1 a11 x1 L a1n xn xn 1 M M O xn m bm am1 x1 L amn xn x1 L xn m 0
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用上节介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
cj CB -M 0 -M -M XB x6 x5 x7 x6 b 4 10 1 3 3 x1 -4 1 2 3-2M -6 2 x2 3 -1 -2 2+M 5 -1 x3 1 2 1 -1+2M 0 0 x4 -1 0 0 -M -1 0 1 3/5 0 x5 0 1 0 -M x6 1 0 0 -M x7 0 0 1 θi 4 5 1
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 +x3 1 2 x1 x1、x2、x3 0
解：首先将数学模型化为标准形式
解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x 2 x 3 4 x1 3 x 2 x 3 x 4 4 x1 x 2 2 x 3 x 5 10 2 x1 2 x 2 x 3 1 x j 0, j 1,2, ,5
cj CB 0 XB x4 b 12 3 x1 3 -1 x2 0 -1 x3 0 0 x4 1 0 x5 -2 -M x6 2 -M x7 -5 4
→
-1
-1 Z 3
x2
x3
1
1 -2
0
-2 1 1
1
0 0 0
0
1 0 0
0
0 0 1/3
-1
0 -1 -2/3
1
0 -M+1 2/3
-2
1 -M-1 -5/3
系数矩阵中不存在单位 矩阵，要找基解和基可 行解。 无法建立初始单纯形表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
故人为地添加两个单位向量x6和x7，得到含人工变量的单纯形 法数学模型：
max Z 3x1 2 x2 x3－Mx6 Mx7
x6 4 4 x1 3 x2 x3 x4 x x 2x x5 10 1 2 3 x7 1 2 x1 2 x2 x3 x j 0, j 1, 2, L , 7