解不等式(知识点、题型详解)word版本

不等式的解法

1、一元一次不等式ax b >

方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则b

x a

>

；若0a <,则b

x a

<

；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。 【例1-1】（1）21

33

ax ->

解：此时，因为a 的符号不知道，所以要分：a =0，a >0, a <0这三种情况来讨论. 由原不等式得a x >1, ①当a =0时，⇒ 0>1.所以，此时不等式无解. ② 当a >0时，⇒ x >

a 1, ③当a <0时，⇒x

1. 【例1-2】已知不等式0)(6)23(<-++b a x b a 与不等式01)1(32

2

<+-++-a a x a a 同解，解不等式

0)3(2)2(3>-+-a b x b a 。

解：R a ∈，012>+-a a ∴ 01)1(32

2<+-++-a a x a a 的解为3

1-

+b a ∴ 解b a b a x 23)(6+--

< 由题意b

a b a 23)

(631+--=-

∴ 043>=b a 代入所求：062>--b bx ∴ 3-

要注意：当一元一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于0、大于0、小于0这三种情况来讨论.

2、一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示吗？ 基本步骤：

① 把二次项系数a 化为正

②求对应的一元二次方程的根（先考虑十字相乘法，不能因式分解的再考虑用求根公式）

③利用二次函数的图像（下图，三个“二”的关系）求出对应的解集，用集合或区间表示设0a >,12,x x 是

方程2

0ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则其解集如下表：

二次函数、方程

20

ax bx c ++>

20ax bx c ++≥ 20ax bx c ++< 20ax bx c ++≤

0∆>

1{|x x x <或 2}x x >

1{|x x x ≤或

2}x x ≥

12{|}x x x x << 12{|}x x x x ≤≤

0∆=

{|}2b x x a

≠-

R

φ {|}2b x x a

=-

0∆<

R R

φ φ

【例2-1】解下列关于x 的不等式：

(1) 2x 2-3x -5>0； (2) 3x 2-4x -1≤0； (3) x 2-2x +1≤0； (4) x 2-2x +1>0； (5) x 2-2x +3>0； (6) x 2-2x +3≤0. 解析：（1）（2）代表判别式大于0的一元二次不等式的题目.只不过（1）对应的一元二次方程容易因式分解求两根，（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.（3）（4）代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.（5）（6）代表判别式小于0的一元二次不等式的题目.

（1）因为对此不等式对应的一元二次方程x 22

-3x -5=0因式分解得

(2x -5)(x +1)=0. 所以该方程的两根为：x 1=

2

5

,或x 2=-1. 又因为此不等式对应的一元二次函数y =2x 2

-3x -5的抛物线开口向上， 所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理， 可以直接写出不等式2x 2

-3x -5>0的范围： x >

2

5

，或x <-1； （2）与上题解法类似.∵3x 2

-4x -1=0的判别式∆=42

-4⋅3⋅(-1)=28>0, ∴一元二次方程3x 2

-4x -1=0有两个不同的实数根为 x 1=372+, 或x 2=3

7

2-. ∴此不等式中x 的取值范围是

372-≤x ≤3

7

2+； （3）∵x 2

-2x +1=0的判别式∆=0.

∴x 2

-2x +1=0有两个相等的实数根， x 1=x 2=1.

所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，

不等式x 2

-2x +1≤0中x 的取值范围是 1≤x ≤1,即x =1； （4）与（3）类似分析，可知

不等式x 2

-2x +1>0中x 的取值范围是x >1，或x <1,即x ≠1；

（5）因为方程x 2-2x +3=0的判别式∆<0.所以方程x 2

-2x +3=0没有实数根.

此时，就不能根据“大于在两边，小于在中间”的原理了， 这时，可以用配成完全平方式的方法.

∵x 2

-2x +3=x 2

-2x +1+2=2

1）

（-x +2>0， ∴不等式x 2

-2x +3>0中x 的取值范围是 x ∈R ；

（6）与（5）类似分析，可知

不等式x 2

-2x +3≤0中x 的取值范围是空集. 【例2-2】解下列关于x 的不等式：

22232(1)(1)0(2)()0(3)10.x a x a x a a x a ax ax -++>-++≤++≤；；

解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式. 解这类题的关键是：把参数a 以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一（二）次不等式的基本方法来做. ；

，或时，当，或时，当时，当）（易知原不等式因式分解，所以，

方法一：因为本题容易a x x a x a x a x a x a x <><<>>≠=>--⇔11.11.11.0)1()1(