胡海岩机械振动基础第一章课件

P
EI
l
l
2
2
振动工程研究所
系统自由振动方程为 m u (t) keu (t) 0 振动固有频率
n
ke m
48EI ml3
悬臂梁、固支梁情况类似，关键在于确 定自由度与给出等效刚度
振动工程研究所
*用能量法确定固有频率
（一种简单方法，也可发展用于近似求多自由 度系统固有特性）
固有振动是简谐 振动，其位移和 速度分别为
4
不两
u +u
a(t)
12
同个
2
的振
谐幅 振、
u0
F1 F2
动 合 成
相 位 、
-2
F3
频 率
-4 0 2 4 6 8 10 12
都
t
同振幅谐振动的包络线通过零点。由两个频率接近的简谐振动合成的拍是一种普遍的物理现象。
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李沙育（Lissajous）图
• 振动方向相互垂直的简谐振动合成 • 示波器观测频率与象位的传统工具
m u ( t) c u ( t) k u ( t) 0
由 繁
• 无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特入点 简
m u (t) k u (t) 0
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1.2无阻尼单自由度系统的自由振动
方程 &&
注意
mu(t)k(ut)0
特点 二阶常系数齐次方程
初始条件 (定解条件)
u (0 ) u 0 , u (0 ) u 0
u (t)0asi n0t(2)
注意位移、速 度、加速度之间 得相位关系
u ( t ) 0 2 a si 0 t n ) ( 0 2 u ( t )
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旋转向量法（几何法）——纵轴投影
Im
P
Q
u
a 0t
0
O
Re
Im
Im
a
0
a 0a
0
O
Re
a
2 0
O
Re
a
b
c
– 复数法 z a j e e j 0 t a j ( 0 t e )
f
k
d e f
fs(t) k(t) k [u 1 (t) u 2(t)]
• 弹性恢复力与弹簧两端的相对位移（变形）成 正比，方向相反。
• 弹簧受力有势能；松弛完全放势能（无阻尼）。
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方程中的阻尼项
u 2
u1
fd
f
• 粘性阻尼力与物体在介质中的相对运动速度成 正比，方向相反。（最简阻尼形式）
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几个概念
• 拍:周期振动的一种 • 拍频:注意是拍的节律,不是包络线频率
(差一倍) • 包络线:有两条
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a(t)d ef2 aco s(2 1t2 1)
2
2
(t)1 2
2
a((tt)) a 11 2 taa n2 2 1 a 2 1a a 1 2 a a s2 2 in c c[o o (s s[[((2 2 2 1 )t1 1) )tt( ((2 2 2 1 )]1 1))]]
取虚部
向Y轴投影
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• 简谐振动的合成
频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动， 且频率不变。
u1(t)a1sin0(t1) u2(t)a2sin0(t2) 用复数法
u(t)u1(t)u2(t) Ima1[ej(0t1) a2ej(0t2)]
Im{a1[c(os1a2cos2)j(a1sin1a2sin2)]ej0t}
建模步骤
• 建立坐标系
原点为静止点 坐标正向为标示外力方向
• 分离体法（材力，结力）
对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力
• 力平衡
达朗贝尔原理
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方程分类
• 单自由度系统振动方程
m u ( t ) c u ( t ) k u ( t ) f ( t )
• 自由振动方程——无外激励 偏离静平衡 初始条件
m k
由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为
T2kav0 mk
钢丝绳中总张力的最大值是
T T 1 T 2 m g v 0m k
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1.3 等效单自由度系统
• 物理系统多样
数学模型唯一(等效性)
• 工程实际简化例子 汽车乘员抗颠簸性研究 翼尖挂弹环境研究 摩天轮刹车性能研究
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摆
微段弹簧质量： m s dx l
v(x) x u l
动能：
Ts
l 1 ms v 2 (x)dx 02 l
1 ms 23
u 2
1 2
振M动工s程u研2究所
等效质量：
Ms
ms 3
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无阻尼单自由度系统求解目的
• 求固有特性（固有频率，周期） （主要目的）
• 研究极小阻尼下响应
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由 Rayleigh 商 得
系统固有频率为
n
Vmax Tref
2g 3(Rr)
关键是确定便于建模的独立自由度，简化三角函数
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* 弹性元件的分布质量及其简化
（1）假设速度分布 （2）计算分布质量动能 （3）根据动能相等计算等效集中质量 例：一端固定弹簧，以自由端为分析自由度
弹簧上距固定端x处点的位移：
f
f
k2
u3 u2 u1
f
f
k2 k1
f
两个并联弹簧刚度增加,
k
k1
k2
两个串联弹簧刚度削弱, k k1k2 k1 k2
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例: 升降机钢丝绳中最大张力
v0
k
v0
m
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解：
方程 m u k u 0固有频率 n
k m
初始条件 u 0 0 , u 0 v 0
振幅
a u0 2( u 0n)2 v0nv0
fd ( t) c [ u 1 ( t) u 2 ( t) ] f
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方程中的惯性项
u
mu
m
f
• 根 据 D’Alembert 原 理 （ 动 静 转 换 ） ， 质 量 块 （无变形）提供与外力大小相同、方向相反的 惯性力
fm ( t) f( t) m u ( t)
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研究的起点----单自由度系统的确定振动
• 是以后研究复杂系统的基础。 • 有助于理解实际工程振动问题。 • 很多实际问题可简化为单自由度问题。
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1.0 振动的描述
1.0.1 简谐振动的表示 • 三要素：振幅、频率、相位（概念复习）
简谐振动的三种表示法
– 三角函数法
u (t) a s in (0 t)
u(t)u0sinn(t), u(t)u0ncosnt()
根据机械能守恒条件可得
Tm axVm ax
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计算系统固有频率的方法
Tma x 2n2m02u1 2k0 u 2Vmax
2 n
Vmax Tref
右端称作 Rayleigh商，
其中参考动能：
Tref
def
1 2
mu02
参考动能求法：将最大动能中的速度 项换成位移项既成参考动能。
考虑小角度条件 sin
C
J0m gl0
固有频率及固有周期
mg
n
mgl ,
J0
Tn 2π
J0 mgl
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与材料力学联系
单自由度扭振
假定盘和轴都为均质体，不考 虑轴的质量。设扭矩作用在盘 面，此时圆盘产生一角位移，
T l 其中 I π d 4
GI
32
定义轴的扭转刚度为
GI kT
l
kT
T
GI l
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扭转振动方程
JkT0
扭转振动固有频率
n
kT J
系统对初始扰动的自由振动响应
(t)(0)co nts (0 n)siLeabharlann Baidun nt
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梁横向振动
例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部 集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的 位移，静态挠度 ：
等效刚度
ke
P
48EI l3
Ima(ejej0t)
asin(0t)
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• 不同频率的简谐振动的合成不再是简谐 振动
1. 周期振动(频率可通约)
关键
u1(t)a1sin1(t1) 整数倍数 u2(t)a2sin2(t2)
证
1 m
明 2 n
T2 m, T1 n
T0 T1mT2n
u(tT 0)u1(tm1)T u2(tn2T ) u1(t)u2(t)u(t)
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解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入 （2）用初始条件定系数
实际经验
u(t)uest
(m2sk)u0
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因为u0 ,故得到有特征方程
（以s为变量的代数方程）
m s2k0
特征解（根）为 sjn
def
其中 n
k m 为固有圆频率.
或
fn
n
g l
周期与摆线长关系
l
gT
2 n
4π 2
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周期误差与角度关系
0
6
3
2
TT01 1.021.071.18
大角度简化方法
sin357
3! 5! 7!
系统振动的Duffin方程
(t)g(t)g3(t)0
l 6l
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刚体摆
质量为m，质心C距铰中心O距离为l
O l
绕固定铰使用动量矩定理
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复数法的位移、速度、加速度关系
z a j e e j 0 t a j ( 0 t e )
z j 0aj( e0t )0aj( e0t /2)
jej/2
z0 2aj(e 0t )0 2aj(e 0t )
1ej
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三种表示法的差异
三角函数最直接、最常用。 旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。 复数法与三角函数是一致的。
def
1
2
k m
固有频率
Hz
（固有
周期？）
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自由运动方程的通解可取为:
u ( t ) a 1 c o sn t a 2 s i n n t
或 u (t) a s in (n t)
其中 a1, a2 或 a,为积分常数。由初
始条件定。
a1u0,
a2
u0
n
au0 2(u 0)2,
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2. 调制信号——用高频传递低频信号
u(t)2aco2 s (1t21)si n2 (1t21)
2
2
2
2
a(t)si n2 [1t(t)]
2
谐同两 振、个 动频振 合率幅 成接相
近同 且， 可而 通相 约位 的不
4
u +u 12
a(t)
2
u0
-2
-4 0 2 4 6 8 10 12
t
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例 圆柱体的微振动
半径为r、质量为m的圆柱体在半径为R的内圆柱面上绕 最低点作纯滚动，试求其微振动的固有频率。
解：设圆柱体作纯滚动，
圆柱体的动能是
T2 1m vc 22 1Jc 24 3m (Rr)2 2
O
R
vc
r
C
A
B
重力势能为 Vmgh1mg(Rr)2
2
V m a x 2 1 m g (R r)m 2, T re f 4 3 m (R r)2m 2
1.4 粘性阻尼单自由度系统的自由振动
含阻尼元件：线性阻尼
无外激励
求解初值问题：
mu (t)cu(t)ku(t)0 u(0)u0, u(0)u0
它的解具有如下形式
平凡解 u0
u(t)uest
非平凡解特征方程 m s2 c s k 0
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解出一对特征根
s1,2
c 2m
( c )2 k 2m m
u (0 ) (2 1 )n a 1 (2 1 )n a 1 u 0
积分常数
a1u0(2n
21)nu0 21
a2u0(2 n2 2 11)振n动u0工程研究所
u ( t ) e n t[ a 1 c (n h2 1 ) t a 2 s (h n 2 1 ) t ]
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1.1 单自由度系统振动方程
• 振动系统的组成
三要素：质量，刚度，阻尼
c
k
必须要素
• 振动系统的数学模型:
运动方程（力平衡给出方程）
m u(t) f(t)
m u ( t ) c u ( t ) k u ( t ) f ( t )
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方程中的弹性项
fs
u2
u1
f
n
tan 1u n0 u0
无阻尼系统的自由振动是简谐振动
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无阻尼自由振动的时间域响应(时间历程) 可表达为
u(t)u0cosnt u 0 nsinnt
或
（易记忆）
u(t)u0 2(u 0 n)2sin nt (ta 1nu nu 00)
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刚度元件的串并联
u2 k1 u1
固有频率
d ef
n
k m
阻尼比定义
def
c
c
2 mk 2mn
s1,2nn 21
阻尼比不同，解形式不同。
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（1）过阻尼情况，特征根是一对互异实根 1
u ( t) a 1 e ( 2 1 ) n t a 2 e ( 2 1 ) n t
引入初始条件
u (0 ) a 1 a 2 u 0
第一章 单自由度系统的振动
1
振动分类（自由度）
• 单自由度 • 多自由度（有限自由度）－>大自由度 • 连续体（无限自由度）
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振动分类（运动特点）
• 简谐振动 • 周期振动（可分解为若干简谐振动之和） • 非周期确定性振动
（可分解为无限个简谐振动之和）
*概周期振动 *一般确定性运动 • 随机振动 • 混沌振动
• 振动系统中不存在弹性元件，恢复力由摆锤重 力提供。 (势能提供者为重力，地球是储能元
件) 动力矩方程或力矩平衡方程
O
m 2 ( t) l m sg i ( t) n l 0
l m
(t)gsin(t)0
l 振动的幅度很小时
sin
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小角度简化方程为
(t) g(t)0
l
系统振动的固有频率