截面·平面图形几何性质

4.1
4.1.1 形心和静矩
截面图形・形心和静矩
杆件的横截面是一个平面图形，现取任意平 面图形，设其面积为 A，如图 4.1 所示。平面图形 的几何中心 C 称为形心。若将此平面图形视为均质 等厚的超薄板，由静力学可知，则该薄板重心、质 心和薄板图形的形心三者在 oyz 平面内重合。 在 yoz 坐标系中，取平面图形任意点（ y ， z ）处微面积 dA，则该薄板的重心、质心、形心在 yoz 坐标系中 的坐标为 yc = ( Aρ g )
0
b bh 2 ( h − z ) i dz = 6 h
bh 2 / 6 = h/3 A bh / 2 【例 4.2】 求图 4.3 所示半圆截面的静矩 Sy，Sz 及形心 C 位置。已知圆的半径为 R。 【解】 （1）求静矩。由于 y 轴为对称轴，故有 zc = =
Sy
Sy = 0
取平行于 z 轴的狭长条作为微面积 dA，则有 dA = 2 R cosθ dy 则 即
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第4章
截面·平面图形几何性质
计算杆件在外力作用下的应力和变形等，都要用到与杆件截面的几何形状及尺寸有关的 一些几何量。例如在轴向拉压的计算中所用到的横截面面积 A，圆轴扭转计算中所用到的极 惯性矩 IP 和抗扭截面系数 Wt 。在后面的几章中还要涉及杆件横截面的形心、静矩、惯性 矩、惯性半径、惯性积、形心主轴及形心主惯性矩等，这些与材料的力学性质无关的几何量 统称为截面的几何性质。
yc =
∑Ay
i =1 3 i
3
ci
∑A
i =1
=
i
A1 yc1 + A2 yc 2 + A3 yc 3 A1 + A2 + A3
=
3000 mm 2 × 75 mm + 3000 mm 2 × 75 mm + 8000 mm 2 × 160 mm = 123.6 mm 3000 mm 2 + 3000 mm 2 + 8000 mm 2
图 4.3 例 4.2 图
dy = R cosθ dθ ， y = R sin θ dA = 2 R 2 cos 2 θ dθ
将上式代入式（4.2），得半圆形截面对 z 轴的静矩
π
S z = ∫ ydA = ∫ 2 R sin θ i 2 R 2 cos 2 θ dθ =
A
0
2 3 R 3
（2）求形心坐标。由式（4.3a）得形心坐标
S z = A i yc ，
S y = A i zc
（4.3b）
由式（4.1）～式（4.3）可以得出如下结论： ·80·
第4章
截面·平面图形几何性质
（1）截面的静矩是对某一坐标轴而言的，同一图形对不同坐标轴有不同的静矩，其值可 正，可负，也可为零。静矩的量纲为长度的三次方。 （2 ）若某一坐标轴通过平面图形的形心，则平面图形对该形心轴的静矩必等于零。反 之，若平面图形对某轴的静矩等于零，则该轴必为通过此图形形心的形心轴。 （3）若平面图形有对称轴，则形心必在该对称轴上。因此平面图形对其对称轴的静矩必 为零。通过截面形心的坐标轴称为形心坐标轴。 【例 4.1】 试计算图 4.2 所示等腰三角形 ABD 对 y 轴和 z 轴的静矩，并确定其形心位置。 【解】：由于 z 轴为等腰三角形 ABD 的对称轴，故有 Sz = 0
·82·
第4章
截面·平面图形几何性质
【注意】：确定截面形心坐标这类题目其解法的关键在于：选参考坐标时，尽量将截 面放在第一象限，这样就可以避免正负号问题。对于截面上开有孔洞的部分，应按负面 积处理。
图 4.1
任意横截面图形及形心和静矩的定义
A ⎪ wenku.baidu.com⇒ z d W z d(Mg) z (d A ρ g ) z d A ∫ ∫ ∫ ∫ ⎪ = = = zc = ⎪ W ( Mg ) ( Aρ g ) A ⎭ W ( Mg )
S y = ∫ zdA
A
∫ ydW = ∫ yd(Mg) = ∫ y(dAρ g ) = ∫ ydA ⎫ ⎪
2 3 R Sz 4R = 3 = yc = ， zc = 0 A 1 πR 2 3π 2
·81·
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4.1.2
组合图形的形心和静矩
在工程实际中，许多杆件的截面图形由若干个简单的基本几何图形 （如矩形、圆形、 三角形等）组成，这种截面称为 组合截面 。由式（ 4.2 ）得到 分块积分原理 ，即整个平面 图形对某一轴的静矩应等于其所有基本几何图形对该轴静矩的代数和。因此由式（ 4.3a） 可得
yc = zc =
∫ ydA
A ∫ zdA A
（4.1）
式（4.1）即为计算平面图形形心 C 的坐标公式。其中的二个积分项写为
S z = ∫ ydA
A
（4.2）
式中，Sy、Sz 分别定义为平面图形对于 y 轴和 z 轴的静矩（平面矩），也称为一次矩。 由式（4.1）和式（4.2）可以得出静矩与形心的关系式 S S （4.3a） yc = z ， zc = y A A 或
图 4.4
例 4.3 图（单位：mm）
【解】：取参考坐标系 xoy，将截面分成 3 个小矩形(I、II、III)，如图 4.4 所示。因截面 有一条对称轴 y，所以截面形心 C 的横坐标
xc = 0
矩形Ⅰ、矩形Ⅱ： A1 = A2 = 20 mm × 150 mm = 3000 mm 2 ， yc1 = yc 2 = 75 mm 矩形Ⅲ： A3 = 20 mm × 400 mm = 8000 mm 2 ， yc 3 = 160 mm 故组合截面形心 C 的纵坐标
yc =
Sz = A
∑S
i =1 n i =1 n
n
zi
∑A ∑S
i =1 n i =1
=
∑Ay
i =1 n i
n
ci
i
∑A
i =1
i
zc =
Sy A
=
yi
∑A
=
∑Az
i =1 n
n
（4.4）
i ci
i
∑A
i =1
i
式中：Ai 为第 i 个简单基本图形的面积，yci 和 zci 为第 i 个简单基本图形的形心坐标。 【例 4.3】 试确定图 4.4 所示图形的形心位置。
yc = 0
根据静矩的定义，可将该三角形分割为若干个平行于 y 轴 的微面积元（如图 4.1 中阴影部分所示）。由相似三角形的几 何关系知
图 4.2 例 4.1 图
b( z) b
根据式（4.2）
=
(h − z)
h
h
， dA = b ( z ) i dz =
b ( h − z ) i dz h
S y = ∫ zdA = ∫ z i