点差法解决弦中点问题

点差法解决弦中点问题
例5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交F 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( D )
A ．x 245＋y 236
＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29
＝1 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2
＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，又由AB 的中点坐标为(1，－1)，直线AB 的斜率为12，可得a 2＝2b 2，又a 2－b 2＝9，所以a 2＝18，b 2＝9，选D ．
名师点拨 ☞
若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A ，B ，一般地，首先设出A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论． 〔变式训练4〕
过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋a 2
b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于__22
___. [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2
＝0， 变形得－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝y 1－y 2x 1－x 2
，即－2b 22a 2＝－12， a 2＝2b 2，e ＝c a ＝1－(b a )2＝22.故填22.。