2012届高三数学复习课件(广东文)第2章第2节__函数的奇偶性与周期性

反思小结：在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件， 一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的； 二是判断f ( x ) 与f (－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性 的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 成立，这样能简化运算．如本题中( 4 )，判断f ( x )＋f (－x) 性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函 数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x > 0或x < 0来寻找 等式f (－x)＝f ( x ) 或f (－x)＝－f ( x ) 是否成立，只有当对称 的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇 偶性． ( f ( x )＋f (－x)＝0(奇函数)或f ( x )－f (－x)＝0(偶函数))是否
1 1 解析：数形结合，易知方程f ( x )＝0在区(－ 3, )( , 3) 2 2 上各有一个根，故原方程共有2个根．
1 5.设函数 f ( x ) 为 R上的奇函数， f (1)＝ , 2 5 f ( x + 2)＝ f ( x ) + f (2), f (5) = 2 .
解析：取x＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f ( 2 )＝－f (1)＋f ( 2 )， 得f ( 2 )＝2 f (1)． 1 因为f (1)＝ ，所以f ( 2 )＝1. 2 故f ( 5 )＝f (3＋2)＝f ( 3)＋f ( 2 )＝f (1＋2)＋f ( 2 ) 5 ＝f (1)＋2 f ( 2 )＝ . 2
所以在 [ 0, 2011] 上共有503个x使f ( x )＝1.
反思小结：判断函数的周期只需证明f ( x＋T )＝f ( x ) (T ≠ 0)，便可证明函数是周期函数．函数的周期性常 与函数的其他性质综合命题，合理地进行转化是解决 这类问题的关键． 这类问题的关键．
拓展练习： f ( x ) 是定义在R上的函数，f (2＋x)＝ 已知 1 －f (2－x)，f ( x＋2)＝－ . f ( x)
＝0是否成立，要方便得多．本题 ( 3) 是分段函数判断奇偶
拓展练习：判断下列函数的奇偶性． lg(1 − x 2 ) ； 1) f ( x ) = 1-x 2 + x 2 -1；2 ) f ( x ) = ( ( | x- 2 | -2 3) f ( x ) =lg( x+结： 函数的奇偶性反映了函数图象的特殊的对称 性．一个函数若是奇函数(或偶函数)，则若能作出它在 y轴右边的图象，也就能很容易作出其在y轴左侧的图 象；同时，若知道它当x > 0时的解析式、单调性或函数 值的范围，则它在x < 0时对应的内容也就知道了．因此， 奇偶性在作函数图象、求函数的解析式、讨论函数的单 调性及求值(或求值域)等方面都有着重要的应用．
解析： ) 因为定义域{－1,1}关于原点对称，且 (1
f (－x)＝ ± f ( x )＝0,所以原函数既是奇函数又是偶函数．
或0 < x < 1，则 | x－2 | －2＝－x，且f (－x)＝－f ( x )， 故原函数是奇函数． 3) 因为定义域为全体实数，且f (－x)＝lg( 1＋x 2－x) ( ＝lg 1 1＋x 2＋x 故原函数是奇函数． ＝－lg( x＋ 1＋x 2 )＝－f ( x )，
0) ( 3) 定义域为(－∞， U (0，＋∞)，它关于原点对称． 又当x > 0时，f ( x )＝x 2＋x，则当x < 0时，－x > 0， 故f (－x)＝x 2－x＝f ( x )； 当x < 0时，f ( x )＝x 2－x，则当x > 0时，－x < 0， 故f (－x)＝x 2＋x＝f ( x )．故原函数是偶函数． ( 4 )因为f ( x )的定义域为R， 1 1 2x 1 1 1 且f (－x)＝ − x － ＝ － ＝ － x ＝－f ( x )， x 2 −1 2 1+ 2 2 2 2 +1 故原函数是奇函数．
判断函数的奇偶性
例题1: 判断下列函数的奇偶性． 1− x 1) f ( x )＝lg ； 1+ x 1+ x ) f ( x )＝( x－1) ； (2 1− x
x 2 + x ( x > 0) 1 1 ； 4 ) f ( x )＝ x － . ( 3 ) f ( x )＝ 2 ( 2 +1 2 x − x ( x < 0)
2 )由1－x 2 > 0，且 | x－2 | －2 ≠ 0，得－1 < x < 0 (
函数奇偶性的应用
例题2：已知f ( x )＝x5＋x 2＋ax3＋bx，且f (－2)＝10， 求f ( 2 )的值．
解析： 解析：f ( x )＝x 5＋ax 3＋bx＋x 2＝g ( x )＋x 2， 其中g ( x )＝x 5＋ax 3＋bx是奇函数． 由f (－2)＝g (－2)＋(－2) 2＝10，得g (－2)＝6. 因为g ( x ) 是奇函数，所以g ( 2 )＝－6， 从而f ( 2 )＝g ( 2 )＋22＝－2.
拓展练习：已知f ( x ) 是定义在R上的奇函数，且当x > 0 时，f ( x )＝x3＋2x 2－1，求f ( x )的解析式．
解析：当x < 0时，－x > 0， 从而f (－x)＝(－x)3＋2(－x) 2－1＝－x3＋2x 2－1. 因为f ( x ) 是奇函数， 因为f ( x ) 是奇函数，所以f ( 0 )＝0. 所以f ( x )＝－f (－x)＝－(－x3＋2x 2－1)＝x3－2x 2＋1.
1.下面四个结论中，正确的个数是 ( A ①偶函数的图象一定与y轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y轴对称；
)
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f ( x )＝0( x ∈ R )． A． B． 1 2 C． D． 3 4
解析： ①不对；②不对，因为奇函数的定义域里可能 不包含数0；③正确；④不对，既是奇函数，又是偶 函数的函数可以为f ( x )＝0( x ∈ (－a，a)，a > 0)．
1+ x 解析： )由 > 0，得－1 < x < 1. (1 1− x 故f ( x )的定义域关于原点对称． 1+ x 1 + x －1 1+ x 又f (－x)＝lg ＝lg( ) ＝－lg ＝－f ( x ) ， 1− x 1− x 1− x 故原函数是奇函数． 1+ x ≥ 0，得－1 ≤ x < 1. ( 2 )由 1− x 故f ( x )的定义域不关于原点对称， 故原函数是非奇非偶函数．
拓展练习：f ( x ) 是定义在R上的奇函数，满足f ( x＋3)＝ 求x ∈ (－6，－3)时，函数f ( x )的解析式．
解析：因为f ( x ) 在R上是奇函数， 所以f (6＋x)＝f [3＋(3＋x)] ＝f [3－(3＋x)]＝f (－x)＝－f ( x )， 当x ∈ (－6,－3)时，x＋6 ∈ ( 0,3)， 所以f ( x＋6)＝( x＋6) 2＋1， 则f ( x )＝－x 2－12x－37( x ∈ (－6,－3))． 所以f ( x )＝－f ( x＋6)．
lg | x | 3.函数y＝y 的图象大致是( D ) x
解析： 易知题中的函数是奇函数，故可排除A，B； 又显然图象经过了点 (1, 0 )，可排除C，故选D.
1 4.偶函数f ( x ) 在(0，＋∞)上是减函数，若f ( )>0>f( 3), 2 则方程f ( x )＝0的根的个数是 2
即f ( x )＝－f (4－x)．
令u＝2－x，则x＝2－u，故f ( u )＝－f (4－u )， 用－x代x，得f (－x)＝－f ( x＋4)．
结合 (1) 知，f (－x)＝－f ( x )，所以函数f ( x ) 是奇函数．
1.函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函数的 整体性质，而函数的单调性则是函数的局部性质．根据 函数奇偶性的定义，易知奇(偶)函数的定义域 " 关于原点 对称 "．函数为奇(偶)函数的充要条件是其图象关于原点 ( y轴)对称；若函数为奇函数，且在x＝0时有定义，则一 定有f ( 0 )＝0；奇(偶)函数在关于原点对称的区间上，单 调性相同(反)．
2.常见函数的奇偶性 正比例函数f ( x )＝kx(k ≠ 0)是奇函数；反比例函数f ( x ) k 0) ＝ (k ≠ 0)，x ∈ (－∞， U (0，＋∞)是奇函数；三角函数 x 2 是奇函数，f ( x )＝cos x( x ∈ R)是偶函数，多项式函数f ( x ) ＝an x n＋an－1 x n－1＋…＋a1 x＋a0，当奇次项为0时，是偶函 数；当偶次项为0时，是奇函数． f ( x )＝sin x( x ∈ R )，f ( x )＝ tan x({x | x ≠
[ 2,3] 上是 (
周期函数．若f ( x ) 在[－1, 0]上是减函数，那么f ( x ) 在
2.函数f ( x ) 是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的
A
)
A．增函数 C．先增后减的函数
B．减函数 D．先减后增的函数
解析： 因为偶函数f ( x ) 在[－1, 0]上是减函数， 由f ( x )的周期为2知，该函数在 [ 2,3] 上为增函数． 所以f ( x ) 在 [ 0,1] 上是增函数．
f (3－x)．若x ∈ ( 0,3) 时，其解析式为y＝x 2＋1，
函数性质的综合应用
(1) 求证： f ( x ) 是周期函数； ( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，且当0 ≤ x ≤ 1 时， f ( x )＝ x. 求使 f ( x )＝1( x ∈ [ 0, 2011])的 所有 x的个数． 解析： ) 证明：因为f ( x＋2)＝－f ( x )， (1 所以f ( x＋4)＝－f ( x＋2)＝－[－f ( x )]＝f ( x )， 所以f ( x ) 是以4为周期的周期函数． ( 2 ) 当0 ≤ x ≤ 1时，f ( x )＝x.设－1 ≤ x ≤ 0，则0 ≤ －x ≤ 1，